Potenzen, Wurzeln & Logarithmen
Potenzen: wobei n aus natürlichen Zahlen (ohne 0) a wird die Basis genannt, n der Exponent oder die Hochzahl, der gesamte Ausdruck wird die Potenz. a ist aus der Menge der reellen Zahlen es kann durchaus vorkommen, dass eine negative Zahl ist.
Generell gilt jedoch: falls n gerade falls n ungerade Durch Anwendung der Rechenoperationen und für und m > n für und m < n für
Satz von HORNER: Formel zur Berechnung von Praktische Anwendung: Spar- und Zinsrechnung Speziell für b=1: wobei
Falls n : Ansonsten gilt analog :
Wurzeln: „Wurzel“ geht aus dem näherungsweisen Rechnen hervor: Lösung für wobei k und c bekannt x = ? Satz: c aus positiven reellen Zahlen ohne 0, k aus natürlichen Zahlen ohne 0, dann gibt es genau eine nichtnegative Zahl x, für die gilt: . Dabei ist c Radikand und k Wurzel- exponent
Rechenregeln für Wurzeln: Potenzen mit rationalen Exponenten:
Potenzen mit reellen Exponenten und Logarithmen Für a >1 gilt : a<1 :
Der Logarithmus Lösbarkeit der Gleichung , dabei x unbekannt Dabei heisst x der Logarithmus von b zur Basis a. Die in auftretende Zahl heisst Logarithmand. Rechenregeln ( für alle )
Monotonie: Falls a > 1: Für a < 1: ..... 10er-Logarithmus (zur Basis 10) ..... „logarithmus naturalis“ (zur Basis e) ..... Exponentialfunktion (streng monoton steigend, falls a>1 streng monoton fallend, falls 0<a<1)
Potenzfunktion: , wenn d.h. der Graph von f ist symmetrisch zur 2.Achse. so ist der Graph von f symmetrisch zum Ursprung.