Arithmetik 4. Die natürlichen Zahlen 1  M n  M  (n + 1)  M.

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3 Arithmetik

4 4. Die natürlichen Zahlen

5 1  M n  M  (n + 1)  M

6 1  M n  M  (n + 1)  M (4.1) (4.2) Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt   M (4.3)

7 Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101 + 101 +...+ 101= 10100 1 + 2 + 3 +... + n = n(n+1)/2 = 5050

8 4.2 Der binomische Satz Die binomische Formel: (a + b) 2 = 1a 2 + 2ab + 1b 2 = = 1 = n= =

9 4.2 Der binomische Satz = = 1 = n= = = = = usw. = =

10 denn (a + b) n liefert genau 2 n Produkte. Blaise Pascal (1623 - 1662)

11 4.1 Man berechne die Binomialkoeffizienten

12 5. Erweiterungen der Zahlenmenge

13 Die natürlichen Zahlen sind zwar abgeschlossen unter Addition und Multiplikation, denn für n, m   ist (n + m)   und (n  m)  . Dagegen ist n - m und n/m nicht immer eine natürliche Zahl. 5.1 Die ganzen Zahlen Die Erweiterung zu den ganzen Zahlen geschah im 13. Jahrhundert, im Zeitalter des aufblühenden Bankwesens, durch Leonardo von Pisa über die Interpretation von negativen Zahlen als Schulden. Leonardo von Pisa (1170 - 1240) = Fibonacci  = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... }

14 x ≤ |x| Die Abbildung Absolutbetrag bildet die ganze Zahl x auf die nicht negative Zahl |x| ab Cauchy-Schwarzsche Ungleichung |x + y| ≤ |x| + |y| |x| =

15 5.3 Die rationalen Zahlen

16 Schon im 14 Jahrhundert hat Nicole von Oresme mit Hilfe von Identitäten wie 4 3 = 64 = 8 2 sogar gebrochene Exponenten eingeführt 4 3/2 = 8 Nicole von Oresme (1323 - 1382) Vorsicht bei negativen Zahlen! (-8) = (-2) 3 = (-2) 6/2 =  64 = 8 ist falsch. Grundsätzlich dürfen nur positive Zahlen mit gebrochenen Exponenten versehen werden.

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18 Wotans Ring Draupnir

19 t/sAnzahl

20 t/sAnzahl 10Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen)

21 t/sAnzahl 10Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen) 11Sterne in der Milchstraße

22 t/sAnzahl 10Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen) 11Sterne in der Milchstraße 14Bakterien im menschlichen Darm

23 t/sAnzahl 10Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen) 11Sterne in der Milchstraße 14Bakterien im menschlichen Darm 20Kombinationen des Rubikwürfels 4  10 19 = 8!  12!  2 11 3 7 /2

24 t/sAnzahl 10Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen) 11Sterne in der Milchstraße 14Bakterien im menschlichen Darm 20Kombinationen des Rubikwürfels 4  10 19 = 8!  12!  2 11 3 7 /2 22Sterne im Weltall

25 t/sAnzahl 10Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen) 11Sterne in der Milchstraße 14Bakterien im menschlichen Darm 20Kombinationen des Rubikwürfels 4  10 19 = 8!  12!  2 11 3 7 /2 22Sterne im Weltall 34Bakterien in den Erdmeeren

26 t/sAnzahl 10Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen) 11Sterne in der Milchstraße 14Bakterien im menschlichen Darm 20Kombinationen des Rubikwürfels 4  10 19 = 8!  12!  2 11 3 7 /2 22Sterne im Weltall 34Bakterien in den Erdmeeren 38größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2 127 -1

27 t/sAnzahl 10Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen) 11Sterne in der Milchstraße 14Bakterien im menschlichen Darm 20Kombinationen des Rubikwürfels 4  10 19 = 8!  12!  2 11 3 7 /2 22Sterne im Weltall 34Bakterien in den Erdmeeren 38größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2 127 -1 59Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen

28 t/sAnzahl 10Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen) 11Sterne in der Milchstraße 14Bakterien im menschlichen Darm 20Kombinationen des Rubikwürfels 4  10 19 = 8!  12!  2 11 3 7 /2 22Sterne im Weltall 34Bakterien in den Erdmeeren 38größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2 127 -1 59Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen 80Protonen im Weltall

29 t/sAnzahl 10Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen) 11Sterne in der Milchstraße 14Bakterien im menschlichen Darm 20Kombinationen des Rubikwürfels 4  10 19 = 8!  12!  2 11 3 7 /2 22Sterne im Weltall 34Bakterien in den Erdmeeren 38größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2 127 -1 59Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen 80Protonen im Weltall 43 min1000! übertroffen

30 t/sAnzahl 10Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen) 11Sterne in der Milchstraße 14Bakterien im menschlichen Darm 20Kombinationen des Rubikwürfels 4  10 19 = 8!  12!  2 11 3 7 /2 22Sterne im Weltall 34Bakterien in den Erdmeeren 38größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2 127 -1 59Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen 80Protonen im Weltall 43 min1000! übertroffen ? 999999

31 t/sAnzahl 10Roms Staatsschulden nach Neros Tod (Sesterzen) 11Sterne in der Milchstraße 14Bakterien im menschlichen Darm 20Kombinationen des Rubikwürfels 4  10 19 = 8!  12!  2 11 3 7 /2 22Sterne im Weltall 34Bakterien in den Erdmeeren 38größte von Menschenhand ermittelte Primzahl 2 127 -1 59Sandkörnerzahl des Archimedes übertroffen 80Protonen im Weltall 43 min1000! übertroffen 11 a 263 d999999

32 5.5 Die reellen Zahlen  2  a/b 2b 2 = a 2 ? Jede Wurzel aus einer natürlichen Zahl, die nicht selbst eine natürliche Zahl ist, kann nicht als Bruch dargestellt werden. Man bezeichnet solche Zahlen als Irrationalzahlen.  =  U  Die Gleichung x 2 = 2 besitzt zwei Lösungen, nämlich  2 und -  2.

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