Kapitel 2: Klassifikation Maschinelles Lernen und Neural Computation

und Neural Computation Ein einfacher Fall Ein Feature, Histogramme für beide Klassen (z.B. Glukosewert, Diabetes ja/nein) Keine perfekte Trennung möglich Entscheidung: Schwellwert Frage: Wo setze ich ihn am besten hin? C1 C2 ‘nein’ ‘ja’ Maschinelles Lernen und Neural Computation

Der allgemeine Fall: Bayes‘sches Theorem Ann: Daten fallen in k Klassen, wähle für eine Beobachtung xj die Wahrscheinlichste aus Wahrscheinlichkeit für Beobachtung, wenn in Klasse i („likelihood“, „class-conditional“) Wahrscheinlichkeit für Klasse i vor der Beobachtung („a priori“) Wahrscheinlichkeit, dass Beobachtung Zur Klasse i gehört („a posteriori“) Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Beobachtung Nenner ist Summe aller möglichen Zähler (aller Fälle) Maschinelles Lernen und Neural Computation

Der optimale Klassifikator Klassifikation: wähle die Klasse i mit der höchsten a-posteriori Wahrscheinlichkeit Erzielt das bestmögliche Resultat Bayes‘sche Formel erleichtert das Problem, da Wahrscheinlichkeiten auf der rechten Seite meist leichter zu bestimmen sind Da p(x) für alle Klassen gleich ist, kann es oft weggelassen werden Maschinelles Lernen und Neural Computation

Einschub: Wahrscheinlichkeitsdichten Für diskrete Variablen (endliche Werte): Wahrscheinlichkeit, z.B.: P(ci) Für kontinuierliche Variablen nicht möglich: P(xj)=0 Stattdessen: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p(x) p(xj) ... Dichte an diesem Punkt (kann größer als 1 sein) Wahrscheinlichkeit, dass x in einem kleinen Intervall liegt Dichte kann wie Wahrscheinlichkeit behandelt werden Maschinelles Lernen und Neural Computation

Beispiel: 1 Variable, 2 Klassen Verteilung der Werte für Klasse 1 („class-conditional“) Annahme: in beiden Klassen sind Beobachtungen normalverteilt für Klasse 2 Entscheidungsgrenze: Schnittpunkt der beiden Kurven Multiplikation mit a-priori Wahrscheinlichkeiten: Entscheidungsgrenze verschiebt sich Durchdividieren durch Summe ergibt Wahrscheinlichkeit für Klasse Entscheidungsgrenze Maschinelles Lernen und Neural Computation

Beispiel: 2 Variablen, 2 Klassen 2-dim. Gaussverteilungen Lineare Entscheidungsgrenze Maschinelles Lernen und Neural Computation

und Neural Computation Klassifikatoren Problem: Dichteverteilungen meist unbekannt Lösung: Schätzen der Verteilungen Schätzen der Entscheidungsgrenze Schätzen von Diskriminanzfunktionen: Wähle für jede Klasse Fkt. gi(x) Klasse ci, wenn gi(x)>gj(x) für alle ji z.B.: Keine Wahrscheinlichkeiten mehr Maschinelles Lernen und Neural Computation

Diskriminanzfunktionen für Normalverteilungen Streuung in alle Richtungen gleich („sphärisch“): Log-Fkt. Und multiplikative Faktoren ändern nichts an Größenverhältnis: Quadratische Funktion Entscheidungsgrenze: g1(x)=g2(x), auch quadratisch wenn 1= 2: linear Maschinelles Lernen und Neural Computation

Visualisierung: Normalverteilungen Maschinelles Lernen und Neural Computation

Allgemeiner Ansatz: Diskriminanzanalyse Lineare Diskriminanzfunktion: entspricht dem Perceptron mit 1 Output Unit pro Klasse Quadratisch linear: entspricht einer „Vorverarbeitung“ der Daten, Parameter (w,v) noch immer linear Maschinelles Lernen und Neural Computation

Der Schritt zum neuronalen Netz Allgemein linear: beliebige Vorverarbeitungsfunktionen, lineare Verknüpfung Neuronales Netz: NN implementiert adaptive Vorverarbeitung nichtlinear in Parametern (w) MLP RBFN Maschinelles Lernen und Neural Computation

und Neural Computation Beispiel: XOR (0 0)  0 (1 0)  1 (0 1)  1 (1 1)  0  Exklusives Oder 4. Muster ist Summe des 2. und 3. (lineare Abhängigkeit) Punkte lassen sich durch keine Gerade trennen Maschinelles Lernen und Neural Computation

und Neural Computation Hidden Units Zwei Perceptrons + nichtlineare Transferfunktion: 0 0 1 1 1 0 1 -1 1 1 1 -1 1 0 0 0 Schwellwertfunktion bricht lineare Abhängigkeit Maschinelles Lernen und Neural Computation

Beliebige Klassifikationen Jede Hidden Unit teilt Raum in 2 Hälften Output Units wirken wie “AND” Sigmoide: verlaufende Bereiche Maschinelles Lernen und Neural Computation

und Neural Computation Beispiel: MLP MLP mit 5 Hidden und 2 Output Units Lineare Transferfunktion am Output Quadratischer Fehler Maschinelles Lernen und Neural Computation

MLP zur Diskriminanzanalyse MLP (und RBFN) ist direkte Erweiterung klassischer Modelle Stärke: beliebige nichtlineare Diskriminanzfunktionen Hidden Units: Adaptive Vorverarbeitung des Inputs Form der Diskriminanzfunktion außerhalb der Entscheidungsgrenze belanglos Perceptron ist identisch mit linearer Diskriminanzanalyse Maschinelles Lernen und Neural Computation

Alternativer Ansatz: Schätzung der Verteilungen Beim Ansatz mittels Diskriminanzfunktionen geht ein wesentlicher Aspekt verloren: Wahrscheinlichkeiten der Klassenzugehörigkeit  mehr an Bayes halten, Dichtefunktion schätzen (vor allem p(x|ci)) Parametrisch: Form ist bekannt, weniger Parameter zu schätzen Nichtparametrisch: Form ist unbekannt, theoretisch beliebig Maschinelles Lernen und Neural Computation

Parametrisch: Maximum Likelihood (ML) Ann.: Verteilung hat eine bestimmte, analytisch beschreibbare Form (z.B. Normalverteilung) mit Parametern  (z.B. Zentrum und Weite) Likelihood: Entspricht der „Wahrscheinlichkeit“, dass Daten beobachtet werden, wenn die Verteilung richtig ist ML: Finde jenes , das die Beobachtungen am wahrscheinlichsten macht: Maximiere L() Vor: Beobachtungen (Daten) sind unabhängig voneinander Menge aller Datenpunkte Maschinelles Lernen und Neural Computation

Beispiel: eindimensionale Normalverteilung Vereinfachung (ähnlich wie zuvor): logarithmieren, Vorzeichen ändern, Konstante weglassen, minimieren minimiere die negative log-Likelihood Minimierung: 1. Ableitung auf 0 setzen Erwartetes Ergebnis: Mittelwert und Varianz Maschinelles Lernen und Neural Computation

Likelihood-Funktionen für die Normalverteilung L() für Punkte 1, 2 und 3, =1 L() für Punkte 1, 2 und 3,  =1 (wieder Gauss-Fkt.) L() für einen Punkt 1,  =1:  ML nicht immer sinnvoll! Maschinelles Lernen und Neural Computation

Nichtparametrisch: Parzen-Windows Wenn Form beliebig, keine Likelihood angebbar Wähle einen kleinen (Hyper-)Würfel, zähle wieviel Punkte drin liegen (ki) Geschätzte Dichte: Volumen Wenn n, Vi0, dann immer genauer Entspricht einem normalisierten Histogramm Maschinelles Lernen und Neural Computation

Der Fluch der Dimensionalität (Bellman 1961): bei nichtparametrischen Fällen steigt die Anzahl der benötigten Beispiele exponentiell mit der Dimensionalität des Input! Parzen: wenn Fenster klein, muss es noch genügend Beispiele enthalten je mehr Dimensionen, desto dünner gesät  möglichst wenige Inputs, viele Daten Maschinelles Lernen und Neural Computation

Semiparametrisch: Gaussian Mixtures (GMM) Nähere beliebige Verteilung durch eine Mischung von Normalverteilungen an Gleiches Prinzip wie bei neuronalen Netzen Maximum Likelihood:  -logL, Gradientenverfahren Maschinelles Lernen und Neural Computation

und Neural Computation Beispiel (90 gedreht) Class-conditionals: Posterior: Entscheidungsgrenze: Maschinelles Lernen und Neural Computation

MLP zur Klassifikation Beweis existiert: MLP nähert die a-posteriori Wahrscheinlichkeit an Aktivierungsfunktion: Softmax (eigene Fehlerfunktion notwendig; siehe später) A-priori Wahrscheinlichkeiten: Verteilungen im Trainingsset Maschinelles Lernen und Neural Computation

und Neural Computation Die Softmax-Funktion Erzwingt, dass Outputs als Wahrscheinlichkeiten interpretierbar sind Bezug zum Bayes’schen Theorem Spezialfall: Sigmoide Funktion nur 2 Klassen, 1 Output Unit: durchdividieren Wenn Expontentialverteilung  Softmax Nettoinput ist log. von Dichte Maschinelles Lernen und Neural Computation

Warum Wahrscheinlichkeiten? Mehr Information Ablehnung von unsicheren Fällen: Performanz steigt, aber einige Fälle unentscheidbar Einfache Berücksichtigung von anderen a-priori Wahrscheinlichkeiten Berücksichtigung von Kosten für Fehler Verknüpfung mit anderen Quellen Maschinelles Lernen und Neural Computation

NN als semiparametrische Methoden Semiparametrisch: Form relative beliebig, aber dennoch durch Anzahl der Hidden Units („Modellkomplexität“) beschränkt Fluch der Dimension abgeschwächt, aber immer noch gegeben: Bedarf steigt ungefähr quadratisch  NN haben gute Eigenschaften, wenn Dichten unbekannt, aber immer noch gilt: wenige Inputs, viele Daten! Maschinelles Lernen und Neural Computation

Nachtrag: k-nearest neighbor Speichere alle Trainingssätze mit zugehöriger Klasse Neuer Fall: wähle die k nähesten Trainingsfälle, nimm Klasse, die am häufigsten vorkommt Duda & Hart 1974: Nearest Neighbor (k=1) hat maximal den doppelten Fehler des bayesoptimalen Klassifizierers (für große Fallzahl)  kann als Benchmark verwendet werden Approximiert auch die a-priori Wahrscheinlichkeit direkt nichtparametrisch k=4: 3 Klasse 2 1 Klasse 1  Klasse 2 (posterior ¾) Maschinelles Lernen und Neural Computation

und Neural Computation Zusammenfassung NN sind semiparametrische Methoden zur Klassifikation Lt. Bayes sind Wahrscheinlichkeiten angebbar, bringt mehr Information Es existieren gleichmächtige Alternativen (z.B. GMM) Nearest Neighbor als Benchmark Maschinelles Lernen und Neural Computation