Analysis I: Grundlagen 1. Mittlere Änderungsrate 2. Differenzenquotient und Sekante 3. Differentialquotient und Tangente 4. Allgemeine Lösung des Steigungsproblems 5. Ableitungsregeln 1 6. Einfache geometrische Anwendungsbeispiele

1. Mittlere Änderungsrate Bsp: Wanderung Zeit t (h) Weg s (km) 1 4.3 2 6.5 3 12.4 4 15.2 5 20.5 Durchschnittsgeschwindigkeit ganze Wanderung: Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen t=1 und t=2: Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen t=2 und t=4:

2. Differenzenquotient und Sekante Bsp: Freier Fall: Zeit t (s) Weg s (m) 1 5 2 20 3 45 4 80 125 Durchschnittsgeschwindigkeit Im Zeitintervall t = 0 bis t = 5: Differenzenquotient Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht der Steigung der Sekante durch (0/0) und (5/125) Neue Fragestellung: Momentangeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt Zu jedem Zeitpunkt t ändert sich die Momentangeschwindigkeit !

3. Differentialquotient und Tangente Bsp: Freier Fall: Gesucht: Momentangeschwindigkeit im Zeitpunkt t = 2 (im Punkte P = (2/20)) 1. Näherung: P 2. Näherung: 3. Näherung: Die stetige Verkleinerung des Zeitintervalls Dt = t – 2 liefert immer bessere Näherungswerte ! Die Momentangeschwindigkeit ergibt sich aus dem Grenzwert Dt → 0 des Differenzenquotienten: Die Momentangeschwindigkeit entspricht der Steigung der Tangente im Punkte P Differenzenquotient Differentialquotient

4. Allgemeine Lösung des Steigungsproblems Steigung im Punkte P = (x/y) der Funktion y = f(x) Symbolik: f(x) f(x+h) Dx = h Dy = f(x+h) - f(x) h Differenzenquotient (Steigung der Sekante): Differentialquotient (Steigung der Tangente) f‘(x): 1. Ableitung der Funktion y = f(x) Der Grenzprozess an den Punkt P lässt sich von beiden Seiten durchführen: Eine Funktion y = f(x) ist differenzierbar, falls der beidseitige Grenzwert existiert und übereinstimmt.

5. Ableitungsregeln 1 Beispiele: (1) Potenzregel f(x) = xn f‘(x) = n·xn-1 f(x) = x3 f‘(x) = 3·x2 Die Potenzregel gilt auch für negative und gebrochene Exponenten (2) Konstantenregel f(x) = c·g(x) f‘(x) = c·g‘(x) f(x) = 5x2 f‘(x) = 5·2x = 10x (3) Summenregel f(x) = g(x) + h(x) f‘(x) = g‘(x) + h‘(x) f(x) = 2x3 - 4x2 f‘(x) = 6x2 - 8x

6. Einfache geometrische Anwendungsbeispiele 6.1 Winkelberechnungen Bsp. 1: Berechne die Winkel a und b , welche der Graph der Funktion f(x) = 0.8x2 – 3x + 2 mit den Koordinatenachsen einschliesst. Lösung: P: f‘(0) = -3 ; a‘ = tan-1(-3) = -71.6° ; a = 180° + a‘ = 108.4° Q: Nullstelle von f(x): f(x) = 0 x2 = 2.88 ; f‘(2.88) = 1.61 b = tan-1(1.61) = 58.2° Bsp. 2: Berechne die Winkel a, welche die Graphen der beiden Funktionen f(x) = 1⁄4 x2 und g(x) = -x2 + 10x -15 einschliessen. Lösung: Schnittpunkt A: f(x) = g(x): x1 = 2 ; f‘(2) = 1 ; g‘(x) = 6 ; a = tan-1(6) - tan-1(1) = 35.5°

6.2 Tangente und Normale Bsp. 3: Bestimme im Punkte P = (6/6) des Graphen von f(x) = -1⁄3x2 + 2x + 6 die Gleichung der Tangente t und der Normalen n. Lösung: Tangente t: y = m·x +q ; m = f‘(6) = -2 ; y = -2x + q P = (6/6) einsetzen: 6 = -12 + q ; q = 18 ; y = -2x + 18 Normale n: y = 1⁄2x + q ; P = (6/6) einsetzen: 6 = 3 + q ; q = 3 ; y = 1⁄2x + 3 Bsp. 4: Vom Punkte P = (3 / 0) wird die Tangente an den (positiven) Graphen der Funktion f(x) = -x2 + 2 gezogen. Bestimme die Koordinaten des Berührungspunktes B und die Gleichung der Tangente t. Lösung: B = (x / y) ; Steigungsgleichung: B = (0.35 / 1.87) t: y = -0.71x + 2.13