Übersicht Täuschung des Tages kurze Wiederholung 2D Fourier-Transformation Unschärferelation Koordinatentransformation / Polarkoordinaten Licht / Schwingungen u. Wellen

Rubin'sche Vase I

Rubin'sche Vase II

2D Fourier-Transformation mit Basisfunktionen als Produkt 1dim. kompl. harmon. Schwingungen: 2D Fourier-Transf. kann getrennt nach den einzelnen Variablen durchgeführt werden!

2D Fourier-Transformation Modellvorstellung: Bilder zusammengesetzt aus "Basisbildern": nur ein Pixel = 1, Rest = 0. Basisbilder bilden orthonormale Basis, die einen Vektorraum aufspannt jedes Bild repräsentiert einen Punkt im VR

2D Fourier-Transformation Transformation: ändert Koordinaten ("Blickwinkel"), nicht die Information, also das Bild alle Bilddarstellungen einander äquivalent! Zwei wichtigste Bilddarstellungen: (1) Ortsdarstellung: Basisbilder = Grauwertpunkte. (2) Darstellung im Fourier-Raum: Basisbilder = periodische Muster

Unschärferelation Quantenphysik: zwei komplementäre Variablen nicht gleichzeitig beliebig "scharf" meßbar! Bsp: Ort x und Impuls p: Ursache: Welle-Teilchen-Dualismus von atomaren Teilchen. Signalverarbeitung: Bildverarbeitung:

Diracsche d-Distribution: nD Geometrische Orte, die von k-dim. d-Funktionen im n-dim. Raum belegt werden (x=x1,...,xn): n=1 n=2 n=3 k=1: d(a(x)) Punkte Linien (Geraden) Flächen (Ebenen) k=2: d(a1(x),a2(x)) - k=3: d(a1(x),a2(x),a3(x))

Koordinatentransf./Polarkoord. Substitution in 2D-Integralen: „Jacobimatrix“ oder „ Funktionalmatrix“ where: x(u,v), y(u,v) differenzierbar in Polarkoordinaten und Jacobimatrix:

Koordinatentransf./Polarkoord. Polarkoordinaten und Jacobimatrix:

Was ist Licht? Physik: bis Ende 19. Jh.: Licht = em. Wellen, die sich durch eine Substanz (Äther) fortbewegen, höhere Frequenz entspricht höherer Energie. Quantenphysik: einige Experimente (Photoeffekt) nicht mehr mit Wellenmodell erklärbar. Licht = Teilchen mit festem Energiegehalt (Lichtquanten, Photonen): Kompromiß: "Welle-Teilchen-Dualismus", je nach Anwendung wird das passende Modell zugrunde gelegt.

Licht als Welle harmonische Schwingungen: an jedem Ort harmonischer Zeitverlauf der Frequenz: Kohärenz: zwei Wellen haben feste (zeitl. konst.) Phasenbeziehung; nur dann Interferenz möglich! reel: komplex: mit , zeitunabh., für Berechnungen im Raum benutzt. Es gilt: Vorteile komplex: e-Funktion invariant gegenüber: Differentiation, Integration Fourier-Transformation

Kohärent-optische Fouriertransformation