Wahrscheinlichkeitsrechnung: Mathematik des Zufalls 1. Einführung: „Wie zufällig ist der Zufall ?“ 2. Laplace-Wahrscheinlichkeiten 3. Mehrstufige Zufallsexperimente: Baumdiagramme 4. Binomische Zufallsexperimente 5. Bedingte Wahrscheinlichkeiten 6. Zusammenfassung Grundgesetze

1. Einführungsbeispiel: „Wie zufällig ist der Zufall ?“ A. Daten erheben: sammelnde Statistik Schreibe ‚möglichst zufällig‘ eine Folge von hundert Münzwürfen auf („Zahl“ = 0, „Kopf“ = 1) 1 B. Daten auszählen: beschreibende Statistik a. Anzahl „Kopf“ (1): 51 b. Anzahl ‚Paare‘ (00, 01,10,11) fortlaufend: 00: 01: 10: 11: 7 15 19 9 c. Anzahl „Wechsel“ 0-1 oder 1-0: 65

C. Daten auswerten und beurteilen: beurteilende Statistik Normalverteilte Zufallskurve: Gauss‘sche Glockenkurve a. Anzahl „Kopf“ : n = 100 ; p = 0.5 ; = 50 ; s = 5 x Der Wert 51 liegt innerhalb der s-Grenze b. Anzahl ‚Paare‘: n = 50 ; p = 0.25 ; = 12.5 ; s = 3.06 x Der Wert 19 für das Paar 10 liegt ausserhalb der 2s-Grenze c. Anzahl „Wechsel“ n = 99 ; p = 0.5 ; = 49.5 ; s = 5.0 x Der Wert 65 liegt ausserhalb der 2s-Grenze • Die Versuchsreihe kann als ‚nicht zufälig‘ beurteilt werden (Sicherheit 95%) • Eine zufällig erzeugte 0-1-Sequenz hat weniger Wechsel

2. Laplace-Wahrscheinlichkeiten (kombinatorische W‘keiten) Voraussetzung: alle Ereignisse (Möglichkeiten) haben die gleiche Wahrscheinlichkeit Formel: Bsp. 1: Historisches Beispiel des ‚Chevalier de Méré‘ Briefwechsel zwischen Blaise Pascal (1623 – 1662) und Pierre de Fermat (1601 – 1665) a. Ein Würfel wird 4 mal geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in diesen 4 Würfen mindestens einmal eine 6 vorkommt ? mögliche Fälle: 64 günstige Fälle: 64 - 54 Wahrscheinlichkeit: 0.52 > 0.5 b. Mit 2 Würfeln wird 24 mal geworfen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in diesen 24 Würfen mindestens einmal eine Doppelsechs vorkommt ? mögliche Fälle: 3624 günstige Fälle: 3624 - 3524 Wahrscheinlichkeit: 0.49 < 0.5 Bsp. 2: Geburtstagsproblem Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 22 zufällig ausgewählten Personen mindestens 2 sind, welche am gleichen Tag Geburtstag haben ? mögliche Fälle: 36522 günstige Fälle: 36522 – 365·364·363· ... ·344 Wahrscheinlichkeit: 0.48

3. Mehrstufige Zufallsexperimente: Baumdiagramme Grafisches Hilfsmittel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten Zweistufiges Zufallsexperiment: Bsp: Astragali („Würfel“ des Altertums) Adler 0.34 0.45 0.10 0.11 Vulkan w(A)=0.34 A V H F w(V)=0.45 Hund A V H F A V H F A V H F A V H F Fürst Berechnen von Wahrscheinlichkeiten: w(H)=0.10 w(F)=0.11 2 Mal „Fürst“: F und F Multiplikation w(2 mal F) = 0.11 · 0.11 = 0.012 2 Mal die gleiche Seite: AA oder VV oder HH oder FF Spiel mit 2 „Würfeln“ Addition w(2 gleiche) = 0.342 + 0.452 +0.102 + 0.112 = 0.34

+ - + - + - 4. Binomische Zufallsexperimente p 1-p p 1-p p 1-p 1. Stufe: p 1-p + - + - p 1-p + - p 1-p 2. Stufe: Wiederholung mit gleichen Wahr-scheinlichkeiten usw. Berechnungsbeispiel: 10 Versuche genau 7 mal + : mindestens 7 mal + : höchstens 7 mal + :

5. Bedingte Wahrscheinlichkeiten Informationen, Kenntnisse usw. über zufällige Ereignisse können deren Wahrscheinlichkeiten verändern Beispiel: Let‘s make a deal Tabelle Baumdiagramm w(A|B) = w(A|B) =

6. Zusammenfassung Grundgesetze Gegenereignis A E A w(nicht A) = w(A) = 1 – w(A) „und“ – Verknüpfung: Multiplikationssatz A B E A∩B w(A und B) = w(A∩B) = w(A/B)·w(B) w(A∩B) = w(A)·w(B) , falls w(A/B) = w(A) (A unabhängig von B) „oder“ – Verknüpfung: Additionssatz A B E A∪B w(A oder B) = w(A∪B) = w(A) + w(B) – w(A∩B)