Ebenengleichungen gibb BMS Hans Berger © 2000
Das Koordinatensystem
Die Ebene E E
Der Stützvektor E r0
Die Richtungsvektoren a r0 b
Die Parametergleichung t,sR = r0 + s.a + t.b E a r r0 b
Die Parametergleichung t,sR = r0 + s.a + t.b xyz x0 y0 z0 ax ay az bx by bz = + s. + t. Die Komponentengleichung
Die Komponentengleichung xyz x0 y0 z0 ax ay az bx by bz s. = + + t. x = x0 + s.ax + t.bx y = y0 + s.ay + t.by z = z0 + s.ay + t.bz Das Gleichungssystem
Die Koordinatengleichung Durch Elimination von s und t aus: x = x0 + s.ax + t.bx y = y0 + s.ay + t.by z = z0 + s.ay + t.bz folgt ux + vy + wz = d u, v, w, d R u, v, w, d nicht alle 0
Die Koordinatengleichung ux + vy + wz = d u v w ist ein Normalen-vektor auf die Ebene E n n = E
Die Koordinatengleichung ux + vy + wz = d Für P Ebene E gilt: n P r0 n = d r0 Skalarprodukt E
Die gegenseitige Lage 1. E F F E Q P anx + bny + cnz = d emx + fmy + gmz = k die Normalenvektoren n und m sind kollinear F m Es ist d k E Q n P
Die gegenseitige Lage 2. E = F E F P Q anx + bny + cnz = d emx + fmy + gmz = k die Normalenvektoren n und m sind kollinear Die Gleichung E = F m anx + bny + cnz = d ist ein Vielfaches der Gleichung n P Q emx + fmy + gmz = k
Die gegenseitige Lage 3. E schneidet F F Q P E anx + bny + cnz = d die Normalenvektoren n und m sind NICHT kollinear emx + fmy + gmz = k Die Lösung des Gleichungs-systems F m Q anx + bny + cnz = d n emx + fmy + gmz = k P gibt eine Parametergleichung der Schnittgeraden s E
Gerade und Ebene 4. g liegt in E g rn = 0 E n r Der Richtungsvektor r und der Normalenvektor n sind rechtwinklig g n Das Skalarprodukt ist rn = 0 r Jeder Punkt der Geraden g ist ein Punkt der Ebene E E
Gerade und Ebene 5. g ist parallel zu E g rn = 0 E r n Der Richtungsvektor r und der Normalenvektor n sind rechtwinklig r g Das Skalarprodukt ist rn = 0 n Kein Punkt der Geraden g ist ein Punkt der Ebene E E
Gerade und Ebene 6. g schneidet E g rn 0 D E r n Der Richtungsvektor r und der Normalenvektor n sind NICHT rechtwinklig g r Das Skalarprodukt ist rn 0 n D Der Durchstosspunkt D ist die Lösung des Gleichungssystems E