Analysis II: Anwendungen 1. Spezielle Kurvenpunkte 2. Graphisches Ableiten: schätzen und skizzieren 3. Funktionsgleichung bestimmen 4. Extremalwertaufgaben 5. Ableitungsregeln 2

1. Spezielle Kurvenpunkte eines Funktionsgraphen von f(x) Nullstellen: f(x) = 0 Bsp: x1 = 1.42 ; x2 = 2.63 Schnittpunkt mit y-Achse: y = f(0) Bsp: f(0) = 0.8 Extremalpunkte: f‘(x) = 0 Bsp: x3 = -0.57 ; x4 = 0.31 ; x5 = 2.14 • Maximum, falls f‘‘(xma) < 0 Bsp: f‘‘(x4) = -1.3 ; Max = (0.31 / 0.85) • Minimum, falls f‘‘(xmi) > 0 Bsp: f‘‘(x3) = 1.9 ; Min1 = (-0.57 / 0.65) f‘‘(x5) = 4.0 ; Min2 = (2.14 / -0.64) Wendepunkte: f‘‘(x) = 0 Bsp: Polynomfunktion 4. Grades Bsp: x6 = -0.18 ; W1 = (-0.18 / 0.74 x7 = 1.43 ; W2 = (1.43 / -0.004) f(x) = 0.2x4 - 0.5x3 - 0.3x2+ 0.3x + 0.8 Spezieller Wendepunkt: Terrassenpunkt: f‘(x) = 0 und f‘‘(x) = 0

2. Graphisches Ableiten: schätzen und skizzieren (1) Extremalpunkte von f(x): f(x) Nullstellen von f‘(x) f‘(x) (2) Wendepunkte von f(x): Extremalpunkte von f‘(x) (Steigungen schätzen)

Umkehraufgabe: von der Steigungskurve zur Funktionskurve: schätzen und skizzieren Zusatzangabe: Funktionskurve geht durch den Punkt P = (0 / 1) (1) Steigungszahl in P markieren f‘(x) (2) Nullstellen von f‘(x): f(x) Extremalstellen von f(x) (3) Extremalpunkte von f‘(x): Wendepunkte von f(x) (4) Graph von f(x) ausgehend von P skizzieren

Bestimmen der Funktionsgleichung einer Polynomfunktion aus vorgegebenen Kurveneigenschaften Bsp: Der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades hat im Punkt P = (3 / 0) einen Extremalwert und an der Stelle x = 0 eine Tangente t mit der Gleichung y = x – 3 Lösung: Polynomfunktion 3. Grades: f(x) = a·x3 + b·x2 + c·x + d 4 Gleichungen f‘(x) = 3ax2 + 2bx + c 1. Gleichung: Kurvenpunkt P: f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 0 (1) 2. Gleichung: Kurvenpunkt aus Tangentengleichung: T = (0 / -3): f(0) = 0·a + 0·b + 0·c + d = -3 (2) 3. Gleichung: Extremalwert bei x = 3: f‘(3) = 27a + 6b + c = 0 (3) 4. Gleichung: Steigungszahl aus Tangentengleichung bei x = 0: f‘(0) = 0·a + 0·b + c = 1 (4) Lösung des Gleichunssystems: a = -1/9 ; b = 1/3 ; c = 1 ; d = 1 f(x) = -1/9x3 + 1/3x2 + x – 3

4. Extremalwertaufgaben Eine Spielfigur bestehe aus einem geraden Kreiskegel und einer aufgesetzten Kugel als ‚Kopf‘. Sie wird aus einem zylindrischen Holzblock mit Radius r = 2 cm und Höhe h = 4 cm gedrechselt. Die Grundfläche des Kreiskegels soll mit der Grundfläche des Holzzylinders übereinstimmen und die Kugel soll die Deckfläche des Holzzylinders berühren. Wie muss der Kugelradius gewählt werden, damit das Volumen der gesamten Spielfigur minimal wird ? x 4-2x Lösung: 1. Variable wählen: Kugelradius x 2. Nebenbedingungen: 0 < x < 2 3. (Volumen-) Funktion bestimmen in Abhängigkeit von x: V(x) = VKegel + VKugel = 4. Extremalwerte berechnen: V‘(x) = 0 5. Lösung prüfen: V‘‘(1.2) > 0 , also Minimum für Kugelradius r = 1.2 cm

5. Ableitungsregeln 2 (1) Potenzregel (2) Summen- und Konstantenregel f(x) = xn f‘(x) = n·xn-1 (2) Summen- und Konstantenregel f(x) = a·g(x) + b·h(x) f(x) = 3x4 - 2x2 + 6 f‘(x) = a·g‘(x) + b·h‘(x) f‘(x) = 12x3 - 4x (3) Produktregel f(x) = g(x) · h(x) f(x) = 2x · sin(x) f‘(x) = g‘(x) · h(x) + g(x) · h‘(x) f‘(x) = 2 · sin(x) + 2x · cos(x) (4) Quotientenregel (5) Kettenregel