Approximation (Teil 2) 521.202 / SES.125 Parameterschätzung Torsten Mayer-Gürr

Approximation

Approximation Linearkombination von Basisvektoren: Approximation eines Vektors: Bedingung: Differenzvektor muss senkrecht (normal) auf allen Basisvektoren stehen Normalgleichungssystem 11.11.2015

Approximation Nornalgleichungssystem: m Gleichungen mit m Unbekannten Was wäre, wenn die Basisvektoren a senkrecht aufeinander ständen? Die Lösung wäre einfach: 11.11.2015

Gram-Schmidt Orthogonalisierung

QR Zerlegung QR-Zerlegung mit Gram-Schmidt Algorithmus: Nachteile: Numerisch nicht stabil Orthogonale Basisvektoren nur für den Spaltenraum von A und nicht für den Komplementärraum => In der Praxis berechnet man die QR-Zerlegung mittels Householdertransformationen m r=n-m n 11.11.2015

QR Zerlegung QR-Zerlegung mit der orthogonalen Matrix und der oberen Dreiecksmatrix R m m r=n-m m m n Orthogonale Basisvektoren des Spaltenraums von A Orthogonale Basisvektoren des Komplementärraums von A 11.11.2015

QR Zerlegung Wenn A mit Q gedreht wird QR-Zerlegung m m r=n-m m m n Orthogonale Basisvektoren des Spaltenraums von A Orthogonale Basisvektoren des Komplementärraums von A 11.11.2015

Approximation Die Spaltenvektoren von spannen den Spaltenraum von A auf Der geschätzte Residuenvektor steht senkrecht auf allen Spaltenvektoren Der Beobachtungsvektor l wird in den Spaltenraum von A projiziert Mit der orthogonalen Projektionsmatrix Die Projektion des Beobachtungsvektors l in den Komplementärraum von A ergibt den geschätzten Residuenvektor Projektionsmatrix in den orthogonalen Komplementärraum: 11.11.2015

Orthogonale Projektoren 11.11.2015

Projektoren Beispiel: Orthogonale Projektion eines Vektors in die xy-Ebene Satz: Die Eigenwerte einer Projektionsmatrix sind 0 oder 1 n m r=n-m Satz: Projektionsmatrizen sind idempotent 11.11.2015

Projektoren Orthogonale Projektionsmatrix in den Spaltenraum der Matrix A: Projektionsmatrix in den orthogonalen Komplementärraum: Eigenschaften: m r=n-m n 11.11.2015

QR Zerlegung QR-Zerlegung mit der orthogonalen Matrix und der oberen Dreiecksmatrix R m m r=n-m m m n Orthogonale Basisvektoren des Spaltenraums von A Orthogonale Basisvektoren des Komplementärraums von A 11.11.2015

QR Zerlegung QR-Zerlegung QR-Zerlegung r=n-m m n Normalgleichungsmatrix Projektionsmatrix: Projektionsmatrix: 11.11.2015

Gauß-Markoff mit QR Gauß-Markoff Modell QR-Zerlegung Transformation: Gauß-Markoff Modell mit der Dreiecksmatrix R 11.11.2015

Gauß-Markoff mit QR Gauß-Markoff Modell mit der Dreiecksmatrix R Geschätzte Parameter Schätzung der Beobachtungen: Schätzung der Residuen: Schätzung des Varianzfaktors 11.11.2015

Netzausgleich 11.11.2015

Dreiecksnetz 1. Ordnung Anzahl Punkte: 150 Anzahl Beobachtungen: m = ca. 5*2*150 = ca. 1500 (Strecken und Richtungen zu ca. 5 Nachbarpunkten) Anzahl Parameter? 11.11.2015

Dreiecksnetz 1. Ordnung Anzahl Punkte: 150 Anzahl Beobachtungen: m = ca. 5*2*150 = ca. 1500 (Strecken und Richtungen zu ca. 5 Nachbarpunkten) Anzahl Parameter: n = 450 (x,y,o) 11.11.2015

Dreiecksnetz 1. Ordnung Beobachtungsgleichungen: 11.11.2015

Tafel: Berücksichtigung der Gewichtsmatrix 11.11.2015

Tafel: Dekorrelation & Homogeniserung 11.11.2015