Logarithmen 1. Einführung 2. Logarithmische Gesetze 3. Historisches 4. Logarithmen überall 5. Lineares und exponentielles Wachstum

L o g a r i t h m e n potenzieren: 2 hoch 3 = 8 1 8 2 hoch -3 = radizieren: 2 L o g a r i t h m e n logarithmieren: 2 hoch ? = 8 3 = log2 (8) Sprechweise: 3 ist der Logarithmus von 8 zur Basis 2 Bezeichnung: 2: Basis des Logarithmus ; 8: Numerus

2. Logarithmische Gesetze bx = a ; x = logba ; b: Basis des Logarithmus ; a: Numerus ; a,b,x ∈R Der Logarithmus x ist (falls existent) die Lösung der Gleichung bx = a, d.h. der Logarithmus von a zur Basis b gibt an, mit welchem Exponenten x man die Basis b potenzieren muss, um den Numerus a zu erhalten („b hoch wieviel ergibt a“). Die logarithmischen Gesetze ergeben sich aus den bekannten Potenzgesetzen: (1): additives Gesetz: x = logba ⇔ bx = a ; y = logbc ⇔ by = c a·c = bx · by = bx+y ⇔ x + y = logb(a·c) = logba + logbc Der Logarithmus eines Produkts lässt sich in die Summe zweier Logarithmen zerlegen analog: logb(a/c) = logba - logbc Der Logarithmus eines Quotienten lässt sich in die Differenz zweier Logarithmen zerlegen (2): multiplikatives Gesetz: x = logba ⇔ bx = a ap = (bx)p = bx·p = bp·x ⇔ p·x = logb(ap) = p·logba Der Logarithmus einer Potenz lässt sich in ein Produkt zerlegen Der Übergang von der ‚gewöhnlichen‘ Zahlenarithmetik zum logarithmischen Rechnen ermöglicht das Herabsetzen der Operationsstufe: vom multiplizieren/dividieren zum addieren/subtrahieren und vom potenzieren/radizieren zum multplizieren/dividieren (historische Bedeutung der Logarithmen)

3. Historisches: Michael Stiefel (1487 - 1567): Gesetzmässigkeit ; 1. Logarithmische Tabellen Jost Bürgi (1552 - 1633) Verfeinerte Tabellen; Basis e (natürliche Logarithmen) Henry Briggs (1556 - 1630) Tabellen (14-stellig) Basis 10 (Zehnerlogarithmen)

4. Logarithmen überall: Beispiele Schmerzempfinden: Die Empfindlichkeit der Sinnesorgane folgt dem logarithmischen Gesetz von Weber-Fechner (1843), wonach eine Vervielfachung der Reiz- stärke nur eine lineare Zunahme des wahrgenommenen Reizes bewirkt. Lautstärke Dezibel dB Eine Vervielfachung der tatsächlichen Lautstärke (Energie) entspricht einer linearen Zunahme in der Bel-Skala (1dB = 1/10 B) Belebte Natur In der belebten Natur finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen. Beispiele: Schneckenhäuser, Sonnenblumenkerne, Tannzapfen Richterskala Die Richterskala, die zur Beschreibung von Erdbebenstärken genutzt wird, basiert auf einer logarithmischen Einteilung. Die Erdbebenstärke steigt daher von Stufe zu Stufe exponentiell. Sternhelligkeiten werden in anstronomischen Grössenklassen angegeben, die ein logarithmisches Mass der tatsächlichen Strahlungsstärke darstellt

5. Lineares und exponentielles Wachstum Bildungsgesetz lineares Wachstum: Beim linearen Wachstum nimmt der Funktinswert von x zu x+1 jeweils um den gleichen Summanden d zu: f(x+1) = f(x) + d Lineares Wachstum wird durch eine lineare Funktion von der Form f(x) = m·x + q dargestellt. Bildungsgesetz exponentielles Wachstum: Beim exponentiellen Wachstum nimmt der Funktinswert von x zu x+1 jeweils um den gleichen Faktor q zu: f(x+1) = f(x)·q Exponentielles Wachstum wird durch eine Exponentialfunktion von der Form f(x) = a·bx dargestellt (a: Anfangswert f(0) ; b: Wachstumsfaktor) Bei angewandten Wachstums und Zerfallsprozessen verwendet man meistens an Stelle der Variable x die Zeitvariable t und damit auch nur die positive Koordinatenachse t ≥ 0