Klassischen Probleme der Geometrie Von Jonas Funk, Felix Monninger und Christian Waibel

Gliederung Rekapitulation Winkeldreiteilung Quadratur des Kreises Einführung Beweis der Winkeldreiteilung Lösungen Quadratur des Kreises Der goldene Schnitt und Φ

Rekapitulation

Winkeldreiteilung

Beispiele der Winkeldreiteilung Mögliche Beispiele: 360°, 270°, 180°, 90°, 45°, usw. Jedoch nicht bei: 37°, 178°, 54° → Nicht verallgemeinerbar Bei 360° kann man 2 gleichseitige Dreiecke machen 270° 1 gleichseitiges Dreieck und dazu ein rechter winkel der mit einem glecihseitigen Dreieck subtrahiert wird 180° 1 gleichseitiges Dreieck 90° rechter winkel mit gleichseitiges dreieck 45° gleichseitiges Dreicke, das mit dem winkel subtrahiert wird

Trigonometrie y 1 sin α α cos α x

Probleme Lösung sin (α/3) ≠ sin (α) ÷ 3 Additionstheoreme: cos(α+β)= cos(α)*cos(β)-sin(α)*sin(β) sin (α+β)= sin(α)*sin(β)+cos(α)*cos(β)  cos(3 α) = cos(2 α + α)

Der Beweis 0=4cos³ (α/3) – 3cos (α/3) – cos(α) Substitution: x = cos(α/3)  0= 4x³ - 3x - cos α

Der Beweis II alpha= 60° 0= 4x³ - 3x - 0,5 | *2 0= 8x³ - 6x - 1 | Subst: z = 2x 0= z³ - 3 z -1 0= (a/b)³ - 3(a/b) -1 | * b³ 0= a³ - 3ab² - b³ | + 3ab²+ b³ a³ = 3ab² + b³ a³ = (3a + b) b² a³ = 3a + 1 Nun wählen wir ein Beispiel wie 60° um ein Gegenbeispiel für die allgemeine Konstruktion der Winkeldreiteilung zu liefern. Da cos 60° ein hal entspricht können wir dies auch in unserer Gleichung anwenden. So Bekommen wir die Gleichung 0= 4x³-3x-0,5. Wenn diese noch verdoppeln Können wir diese Gleichung aus Ästhetik-Gründen noch einmal Substitionieren indem wir für 2x z einsetzen um so 0= z³-3z-1 zu erhalten. Da die rechte Seite der Gleichung reduzibel sein über die rationalen Zahlen muss. Nun ersetzen wir z mit a/b, da diese Nullstelle sein muss. Ausserdem müssen a und b teilerfremd sein. Und b ungleich null sein da man ja nicht durch null teilen darf. So erhalten wir folgende Gleichung.

Der Beweis III 0= a³ – 3a – 1 20° nicht konstruierbar Polynom 3.Grades Nicht konstruierbar 20° nicht konstruierbar Allgemeine Winkeldreiteilung unmöglich Nun wählen wir ein Beispiel wie 60° um ein Gegenbeispiel für die allgemeine Konstruktion der Winkeldreiteilung zu liefern. Da cos 60° ein hal entspricht können wir dies auch in unserer Gleichung anwenden. So Bekommen wir die Gleichung 0= 4x³-3x-0,5. Wenn diese noch verdoppeln Können wir diese Gleichung aus Ästhetik-Gründen noch einmal Substitionieren indem wir für 2x z einsetzen um so 0= z³-3z-1 zu erhalten. Da die rechte Seite der Gleichung reduzibel sein über die rationalen Zahlen muss. Nun ersetzen wir z mit a/b, da diese Nullstelle sein muss. Ausserdem müssen a und b teilerfremd sein. Und b ungleich null sein da man ja nicht durch null teilen darf. So erhalten wir folgende Gleichung.

Mögliche Lösungen

Mögliche Hilfsmittel Rechtwinkelhaken Einschiebelineal Quadratrix Gelenkmechanismen Falten

Einschiebelineal α α/3 α/3

Der Beweis

Einschiebelineal D F E α A B M C 2 * α/3 2 * α/3 180°-2 * α/3 r r r r 2*α/3 180°-2*2*α/3

Einschiebelineal α α/3 α/3

Rechtwinkelhaken Begründung: Drei identische rechtwinklige Dreiecke

Rechtwinkelhaken α α/3

Rechtwinkelhaken Der Beweis

Rechtwinkelhaken D C α α/3 A M B

Rechtwinkelhaken D C α α/3 A M B

Rechtwinkelhaken D C α/3 α α/3 A M B

Rechtwinkelhaken D C α/3 α 2α/3 α/3 2α/3 A M B

Rechtwinkelhaken D C 90-α/3 α/3 α/3 2α/3 α/3 2α/3 A M B S

Rechtwinkelhaken D C 90-α/3 α/3 α/3 2α/3 α/3 2α/3 A M B S

Rechtwinkelhaken D C 90-α/3 α/3 α/3 α/3 2α/3 α/3 2α/3 A M B S

Falten

Falten D C α A B

Falten D C E F α α A B

Falten D C E F G H α α A B

Falten D C E F G H α α A B

Falten D C E F G H α α A B

Falten D C E F G H α α A B

Falten D C E F G H α α A B

Falten D C E F G H α/3 α/3 α α α/3 A B

Der Beweis dazu

Falten D C E F K J I G H α α α/3 A B M L

Falten D C E F K J I G H α α α/3 A B M L

Falten D C E F K J I G H α/3 α α α/3 A B M L

Falten D C E F K J I G H 90-α/3 α α α/3 A B M L

Falten D C E F K α/3 J I G H 90-α/3 α α α/3 A B M L

Falten D C E F K α/3 J I G H 90-α/3 α/3 α α α/3 A B M L

Zwei beispiele für Gelenkmechanismen

Quadratur des Kreises Voraussetzungen: r² π = x² x = √r² π π ist eine transzendente Zahl r² π = x² x = √r² π  um eine Seite des Quadrates zu komstruieren muss man π konstruieren ≠ Vorraussetzung Der deutsche Mathematiker Ferdinand von Lindemann (1852-1939) bewies dann im Jahre 1882, das p eine transzendente Zahl ist, d.h. unter anderem: p ist unendlich und unperiodisch. Unendlichkeit und Unperiodizität langen allein allerdings nicht aus, um Transzendenz einer Zahl zu gewährleisten. Transzendenz einer Zahl bedeutet: Nicht Lösung einer Gleichung mit GANZZAHLIGEN oder RATIONALEN Koeffizienten zu sein. Den Beweis veröffentlichte er in dem Artikel "Über die Zahl p" in den "Mathematischen Annalen" in München. Zuerst bewies Lindemann, daß die Lösung von eip + 1 = 0 nicht algebraisch sein kann. Er wußte aber, daß p dieser Gleichung genügte (das hatte schon Newton bewiesen), woraus er noch weiter folgerte, daß p keine algebraische Zahl sein kann.Die Konsequenz ist, das eine Konstruktion der Zahl p durch Lineal und Zirkel, also die geometrische Quadratur des Kreises nicht exakt möglich ist.Zu erwähnen wäre da noch das, seit den Griechen, quasi ganze Generationen von Mathematikern vorher versucht hatten, eine Lösung der Quadratur mit Zirkel und Lineal zu erreichen. Lindemanns Beweis zeigt demzufolge auch die Aussichtslosigkeit eines solchen Unterfangens. Was andererseits bedeutet, das vorhandene geometrische Konstruktionen, die Quadratur des Kreises betreffend, als Näherungslösungen zu betrachten sind. Und bei Näherungen, das heißt bei ihrer Anwendung und Benutzung, spielt eher die Frage der Genauigkeit eine grosse Rolle.

Der goldene Schnitt Verhältnis: a/b = (a+b)/a C D A E B a b

Das Pentagramm und Φ Fibonacci-Folge: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,… Verhältnis zur vorherigen Zahl nähert sich F an Goldener Schnitt: a/b = (a+b)/a = F Im Pentagramm findet sich zu jeder (Teil-)Strecke eine Passende Strecke, die im Verhältnis des goldenen Schnittes zu ihr steht

Φ in der Natur Da Φ in „hohem Maße“ irrational ist, überdecken sich die Blätter nie komplett (Abb.1) Ψ≈137,5° (goldener Winkel) 1 2

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