Differentialrechnung Eine kurze Einführung

Inhalt Wofür verwendet man Differentialrechnung? Wo kommt die Differentialrechnung her? Was ist eine Ableitung? Was ist Differentialrechnung? Wir betrachten die verschiedenen Regeln für die Ableitung von Funktionen. Ableitungsregeln

Was weißt du schon…

Was ist Differentialrechnung? | 1 Definition: Fragestellung: Wie verändert sich der Wert der abhängigen Variable 𝑦, wenn man die unabhängige Variable 𝑥 im einen bestimmten Wert verändert. Gesucht wird die Steigung des Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle. Bei linearen Funktionen sehr einfach, da die Steigung überall gleich ist. Bei Funktionen höheren Grades ist dies schwieriger, da die Steigung an Jedem Punkt anders ist. „[…] Zentrales Thema der Differentialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen. […]“ Einfaches Beispiel: Lineare Funktionen Steigung: ∆𝑦 𝑚= ∆𝑦 ∆𝑥 ∆𝑥

Was ist Differentialrechnung? | 2 Setzten wir hier das Steigungsdreieck an erhalten wir nicht die Steigung der Funktion, sondern die Steigung einer Sekante die dien Funktionsgraph an den Stellen 𝑥 und 𝑥 + ℎ schneidet. Idee: Wir lassen ℎ immer kleiner werden und gegen Null laufen, so dass die Steigung der Sekante der Funktionssteigung an den Stelle x entspricht. Diese Tangentensteigung nennt man auch die Ableitung der Funktion an der Stelle 𝑥. 𝑓(𝑥+ℎ) 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥+ℎ Tangentensteigung Sekantensteigung 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ lim ℎ→0 =𝑓′(𝑥)

Schreibweise der Ableitung Für die erste Ableitung einer Funktion gibt es zahlreiche verschiedene Schreibweisen, die alle das gleiche bedeuten: 𝑓 ′ 𝑥 ; 𝑓 1 𝑥 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ; ∆𝑦 ∆𝑥 ; 𝛿𝑦 𝛿𝑥 ; 𝑓 𝑥 ; 𝑦 ′ ; 𝑦

Ableitungsregeln | 1 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 𝑓 ′ 𝑥 =𝑛∙ 𝑥 𝑛−1 𝑓 𝑥 =3 𝑥 4 Potenzregel Beispiel 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 𝑓 ′ 𝑥 =𝑛∙ 𝑥 𝑛−1 𝑓 𝑥 =3 𝑥 4 𝑓 ′ 𝑥 =4∙3 𝑥 4−1 𝑓 ′ 𝑥 =12 𝑥 3 Faktorregel Beispiel 𝑓 𝑥 =𝐶∙𝑢(𝑥) 𝑓 ′ 𝑥 =𝐶∙𝑢′(𝑥) 𝑓 𝑥 =3∙ 3 𝑥 4 𝑓′ 𝑥 =3∙(4∙3 𝑥 4−1 ) 𝑓 ′ 𝑥 =3∙(12 𝑥 3 )

Ableitungsregeln | 2 Summenregel Beispiel 𝑓 𝑥 =3 𝑥 4 +2 𝑥 2 𝑓 𝑥 = 𝑓 1 𝑥 + 𝑓 2 𝑥 + …+ 𝑓 𝑛 (𝑥) 𝑓´ 𝑥 = 𝑓 1 ′ 𝑥 + 𝑓 2 ′ 𝑥 + …+ 𝑓 𝑛 ′(𝑥) 𝑓 𝑥 =3 𝑥 4 +2 𝑥 2 𝑓 ′ 𝑥 =4∙3 𝑥 4−1 +2∙2 𝑥 2−1 𝑓 ′ 𝑥 =12 𝑥 3 +4𝑥 Produktregel Beispiel 𝑓 𝑥 =𝑢 𝑥 ∙𝑣 𝑥 𝑓´ 𝑥 = 𝑢 ′ 𝑥 ∙𝑣 𝑥 +𝑢 𝑥 ∙ 𝑣 ′ 𝑥 𝑓 𝑥 =3 𝑥 4 ∙ 2𝑥 2 𝑓 ′ 𝑥 =12 𝑥 3 ∙2 𝑥 2 +3 𝑥 4 ∙4𝑥 𝑓 ′ 𝑥 =24 𝑥 5 +12 𝑥 5 𝑓 ′ 𝑥 =36 𝑥 5

Ableitungsregeln | 3 Quotientenregel Beispiel 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 4 2𝑥 2 𝑓 𝑥 = 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥) 𝑓´ 𝑥 = 𝑢 ′ 𝑥 ∙𝑣 𝑥 − 𝑢 𝑥 ∙ 𝑣 ′ 𝑥 𝑣(𝑥) 2 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 4 2𝑥 2 𝑓 ′ 𝑥 = 12 𝑥 3 ∙2 𝑥 2 −3 𝑥 4 ∙4𝑥 2𝑥 2 2 𝑓 ′ 𝑥 = 24 𝑥 5 −12 𝑥 5 2𝑥 2 2 𝑓 ′ 𝑥 = 12 𝑥 5 4 𝑥 4

Ableitungsregeln | 4 𝑓 𝑥 =𝐹(𝑢 𝑥 ) 𝑓´ 𝑥 = 𝐹 ′ 𝑢 ∙ 𝑢 ′ 𝑥 Benennung Kettenregel Beispiel 𝑓 𝑥 =𝐹(𝑢 𝑥 ) 𝑓´ 𝑥 = 𝐹 ′ 𝑢 ∙ 𝑢 ′ 𝑥 Benennung Äußere Funktion: 𝐹 𝑢 Innere Funktion: 𝑢(𝑥) Äußere Ableitung: 𝐹′(𝑥) Innere Ableitung: 𝑢′(𝑥) 𝑓 𝑥 = ln 1+ 𝑥 2 Substitution: 𝑢=1+ 𝑥 2 𝐹 𝑢 = ln 𝑢 𝐹 ′ 𝑢 = 1 𝑢 𝑢=𝑢 𝑥 =1+ 𝑥 2 𝑢 ′ 𝑥 =2𝑥 𝑓 ′ 𝑥 = 1 𝑢 ∙2𝑥= 2𝑥 𝑢 𝑓 ′ 𝑥 = 2𝑥 1+ 𝑥 2

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