Statistik I - Übung Sarah Brodhäcker

Wiederholung Wahrscheinlichkeit NEIN Werden aus n Elementen k Elemente ausgewählt? JA NEIN JA NEIN Elemente mehrfach vorhanden? JA Reihenfolge wichtig? 𝑛! 𝑛! 𝑘1!∙𝑘2!∙ …𝑘𝑛! NEIN Elemente mehrfach vorhanden? NEIN Elemente mehrfach vorhanden? JA JA 𝑛 𝑘 𝑛+𝑘−1 𝑘 𝑛! 𝑛−𝑘 ! 𝑛 𝑘

Wiederholung Wahrscheinlichkeit In einer Gruppe von 150 Studierenden sind 40 im ersten Studienjahr, die Hälfte der 30 Studierenden im 4. Studienjahr wohnt in München, 26 der 35 im 2. Studienjahr wohnen nicht in München, 8 im 3. Studienjahr wohnen in München und ein Drittel derjenigen, die in München wohnen, ist im 4. Studienjahr. Erstellen Sie eine (2x4)-Tafel

Wiederholung Wahrscheinlichkeit Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: Ein zufällig ausgewählter Student wohnt in München ist im 2. Studienjahr wohnt nicht in München und ist im 3. Studienjahr wohnt in München und ist noch nicht im 4. Studienjahr

Normalverteilung diskrete Variablen abzählbare Anzahl von Werten stetige Variablen unendlich viele Anzahl von Werten Normalverteilung nähert sich links und rechts asymptotisch x-Achse, läuft also rechts und links gegen Null Mittelwert -> μ (mü) Standardabweichung -> σ (sigma)

Normalverteilung Wahrscheinlichkeiten werden nicht direkt berechnet, sondern über Dichte und deren Fläche Dichtefunktion der Normalverteilung: 𝑝 𝑥 = 1 𝜎 2𝜋 exp − 𝑥−𝜇 2 2𝜎2 𝜇 = Populationsmittelwert 𝜎 = Standardabweichung der Population 𝜋 = 3.14159265… exp = Exponentialfunktion ex mit e = 2.718282…

Normalverteilung Beispiel zum Durchrechnen: normalverteilte Variable x = 14 ~ N (𝜇 = 15, 𝜎 = 1.2) einsetzen in 𝑝 𝑥 = 1 𝜎 2𝜋 exp − 𝑥−𝜇 2 2𝜎2

Standardnormalverteilung es gilt: 𝜇 = 0 und 𝜎 = 1 daraus folgt: 𝑝 𝑥 = 1 2𝜋 exp − 𝑥2 2

Standardnormalverteilung um Variablen zu standardisieren, werden sie z-transformiert (dann gilt 𝜇 = 0 und 𝜎 = 1) 𝑧𝑖= 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑠 𝑥𝑖 = i-ter Mittelwert 𝑥 = Mittelwert aller 𝑥𝑖 s = Standardabweichung von x

Standardnormalverteilung Beispiel Fragebogen zur Erfassung psychischer Beanspruchung am Arbeitsplatz Test mit 40 Fragen, jede Frage hat 4 Antwortmöglichkeiten mit jeweils 0 bis 3 Punkten Normierungsstichprobe: Mittelwert = 63 Punkte Standardabweichung = 5 Punkte ab Prozentrang 74% wird zu Training geraten Welche der folgenden Mitarbeiter sollten ein Training besuchen? Mitarbeiter A B C D E F G Punkte 53 75 66 68 49 59 71

Konfidenzintervalle Vertrauensbereiche für Parameter einer Stichprobe 95%-Konfidenzintervall ist 𝛼 = 0.05 bzw. 5% 𝑧 𝛼 2 < 1−𝛼 >𝑧1− 𝛼 2 𝜇 liegt mit Wahrscheinlichkeit von (1-𝛼) zwischen untere Grenze 𝑥 - 𝑧 −𝛼 2 ∗ 𝜎 𝑥 obere Grenze 𝑥 - 𝑧 1−𝛼 2 ∗ 𝜎 𝑥

Konfidenzintervalle Anwendungsbeispiel durchschnittliche Arbeitsmotivation = 34 Streuung = 5.3; N = 66 95%-KI??? =>𝛼 = 0.05 𝑧 1−𝛼 2 = 0.0975 => z = 1.96 𝜎 𝑥 = 𝑠 𝑛 obere Grenze = 34 + 1.96 * 5.3 66 = 35.28 untere Grenze = 34 – 1.96 * 5.3 66 = 32,72 Mit 95%- Wahrscheinlichkeit liegt wahrer Wert der Arbeitsmotivation zwischen 32.72 und 35.28.