MHD-Gleichgewicht Kraftgleichung (stationär) Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Aus Kraftgleicung fuer d/dt=0 und u=0 folgt GG Neben Gewichtskraft (Sterne) kann Plasma durch MF eingeschlossen werden Grundlage des magnetischen Einschlusses von Plasmen

Beispiel: Z-Pinch r z B Q I

Stabilität von Gleichgewichten

Beispiel aus der Hydrodynamik: Rayleigh-Taylor Instabilität Kraftgleichung:

Ausgangspunkt: MHD-Gleichungen Kontinuitätsgleichung Kraftgleichung Ohmsches Gesetz Und dazu noch: Maxwell- Gleichungen Adiabatische Zustandsänderung:

Stabilitätsuntersuchungen Nichtlineare Stabilität: numerische Lösung der MHD Gleichungen Einfacher: Lineare Stabilität: Betrachte kleine Störungen des GG Störungsansatz für , v, p, B: z.B.

Lineare Stabilitätsuntersuchungen Für statische Gleichgewichte findet man Gleichungen für die zeitliche Entwicklung der gestörten Größen 1, v1, p1, B1 Kontinuitätsgleichung: Kraftgleichung ( mit ) Faradaysches + Ohmsches Gesetz:

Lineare Stabilitätsuntersuchungen Adiabatengesetz: Mit Kontinuitätsgleichung:

Kraftgleichung Statt v1 anschaulichere Größe  (Zeitintegral von v1) verwenden : Verschiebungsvektor (kleine Verschiebung des GG-Zustandes)

Eigenwertproblem in linearer MHD Keine Quellen und Senken in idealer MHD EW-Problem mit reellem 2 2 > 0: Schwingungen um GG-Lage => Alfvèn-Wellen 2 < 0, Im  >0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einer Anfangsstörung

Die treibenden Kräfte Einfachster Fall: homogenes Plasma Keine Instabilitäten, aber Wellenausbreitung Zusätzlich zu Schallwellen: Alfvèn-Wellen

Wellen im Gas bzw. im Plasma ohne Magnetfeld: Schallwellen Ausbreitungsgeschwindigkeit:

Scher- Alfvèn-Wellen Charakteristische (Alfvèn-) Geschwindigkeit Magnetfeld-Energie Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und

Kompressionale Alfvèn-Wellen Charakteristische Geschwindigkeit: Kompressions-Energie Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und

MHD-Instabilitäten 2 < 0, Im  >0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einer Anfangsstörung getrieben durch Druckgradienten und Plasmaströme (detaillierter behandelt im 2. Semester)

Auch Rotation kann Quelle freier Energie sein Beispiel: Magnetorotations-Instabilität in Akkretionsscheiben Wenn Drehimpuls nach außen zunimmt, ist Rotation hydrodynamisch stabil Problem: wenn Material sich nach innen bewegen soll, muss es Drehimpuls verlieren Drehimpuls ideal erhalten, Viskosität um Größenordnungen zu klein, um Akkretion zu erlauben Es muss eine durch Turbulenz induzierte Viskosität existieren Aber wie: hydrodynamisch ist Rotation stabil, wenn Drehimpuls nach außen steigt Bilanzierung von Gravitation und Zentrifugalkraft:

Magnetorotations-Instabilität in Akkretionsscheiben zwei Massenpunkte (gekoppelt durch vertikales B-Feld) starten am gleichen Radius und laufen durch kleine Anfangsstörung radial auseinander Wegen W~r-3/2, gewinnt der nach innen laufende MP in W, der nach außen laufende verliert, aber Feldlinienspannung verhindert Auseinanderlaufen -> auswärts laufendes Element wird durch Kopplung beschleunigt, das nach innen laufende abgebremst -> wegen Drehimpuls P~r1/2, bedeutet Abbremsung weitere Bewegung radial nach innen und Beschleunigung Bewegung radial nach außen -> kleine Anfangsstörung wird verstärkt, System ist instabil! wegen Drehimpuls P~r1/2, bedeutet Abbremsung weitere Bewegung radial nach innen, denn eine langsamere Bewegung entspricht kleinerem Drehimpuls und also kleinerem Radius

Woher kommen Magnetfelder in der Astrophysik? “The core”

Zeitliche Entwicklung des Magnetfeldes: Alle Terme ~B, seed MF kann verstärkt, aber nicht “erschaffen” werden Betrachte zeitliche Änderung der MF-Energie: schon verwendet bei Ableitung obiger Formel - In Gleichung fuer dB/dt alle Terme prop. Zu B, d.h. wenn B am Anfang Null ist, bleibt es auch Null Es kann aber sein, dass Instabilitaeten auftreten, die aus anfaenglich kleinen Stoerungen anwachsen Betrachte zeitliche Aenderung der MF-Energie, integriert ueber grosses Volumen, dazu multipliziere Gl fuer dB/dt mit B/(2 mu_0) und intergiere ueber Gesamtvolumen - Man findet, dass Aend. Der MF-Energie durch Dissipation oder Umwandlung zw. Kin. Und MF-Energie erfolgt, d.h. ohne Plasmabew. Zerfaellt MF Am Rand sei j=0 Reduzierung der MF-Energie durch Dissipation

Zeitliche Entwicklung des Magnetfeldes: Alle Terme ~B, seed MF kann verstärkt, aber nicht “erschaffen” werden Betrachte zeitliche Änderung der MF-Energie: Am Rand sei u=0 - In Gleichung fuer dB/dt alle Terme prop. Zu B, d.h. wenn B am Anfang Null ist, bleibt es auch Null Es kann aber sein, dass Instabilitaeten auftreten, die aus anfaenglich kleinen Stoerungen anwachsen Betrachte zeitliche Aenderung der MF-Energie, integriert ueber grosses Volumen, dazu multipliziere Gl fuer dB/dt mit B/(2 mu_0) und intergiere ueber Gesamtvolumen - Man findet, dass Aend. Der MF-Energie durch Dissipation oder Umwandlung zw. Kin. Und MF-Energie erfolgt, d.h. ohne Plasmabew. Zerfaellt MF Bedeutung???

Analogon: Änderung der kinetischen Energie Bedeutung??? Analogon: Änderung der kinetischen Energie Kraftgleichung: | u/2 Umwandlung von MF-Energie in kinetische - In Gleichung fuer dB/dt alle Terme prop. Zu B, d.h. wenn B am Anfang Null ist, bleibt es auch Null Es kann aber sein, dass Instabilitaeten auftreten, die aus anfaenglich kleinen Stoerungen anwachsen Betrachte zeitliche Aenderung der MF-Energie, integriert ueber grosses Volumen, dazu multipliziere Gl fuer dB/dt mit B/(2 mu_0) und intergiere ueber Gesamtvolumen - Man findet, dass Aend. Der MF-Energie durch Dissipation oder Umwandlung zw. Kin. Und MF-Energie erfolgt, d.h. ohne Plasmabew. Zerfaellt MF Beschreibt Umwandlung von kinetischer in MF-Energie Anfangs-MF kann verstärkt werden = Dynamo!

mit charakteristischer Zeitskala: Änderung der MF-Energie Ohmsche Dissipation Umwandlung zwischen kinetischer und MF-Energie MF-Energie kann nur auf Kosten der kinetischen Plasmaenergie erhöht werden, in statischen Plasmen zerfällt MF: mit charakteristischer Zeitskala: MF kann anwachsen, wenn ausreichend kinetische Energie zur Verfügung steht - In Gleichung fuer dB/dt alle Terme prop. Zu B, d.h. wenn B am Anfang Null ist, bleibt es auch Null Es kann aber sein, dass Instabilitaeten auftreten, die aus anfaenglich kleinen Stoerungen anwachsen Betrachte zeitliche Aenderung der MF-Energie, integriert ueber grosses Volumen, dazu multipliziere Gl fuer dB/dt mit B/(2 mu_0) und intergiere ueber Gesamtvolumen - Man findet, dass Aend. Der MF-Energie durch Dissipation oder Umwandlung zw. Kin. Und MF-Energie erfolgt, d.h. ohne Plasmabew. Zerfaellt MF

oder magnetische Reynolds-Zahl MF kann anwachsen, wenn ausreichend kinetische Energie zur Verfügung steht oder magnetische Reynolds-Zahl Analogie zur Hydrodynamik: Charakt. Zeitskala aus t -> tau_M, grad ~1/L (Systemlaenge) MF kann anwachsen, wenn: eta/mu_0 B/L^2 < u B /L Reynolds-Zahl: gross -> reibungsfreie Fluessigkeit Eta entspricht der kinematischen Viskositaet: mu/Masse  entspricht kinematischer Viskosität /

Das Magnetfeld der Erde fester äußerer Mantel 3500 km < r < 6000 km Aufbau der Erde flüssige Schicht 1200 km < r < 3500 km fester Erdkern R < 1200 km MF kann bis zu 10 Erdradien als Dipolfeld nachgewiesen werden, M=7.835 10^22 Am^2 Erdmagnetfeld: Fast Dipolfeld Äquator: 30 T, magn. Pole: 60 T

Das Magnetfeld der Erde Magnetfeld muss im Erdinneren erzeugt werden, weil es nach außen abfällt Magnetfeld kann nicht durch Permanentmagnet erzeugt sein, da im Zentrum Temperatur zu hoch (> Curie-Temperatur) Zerfallszeit Jahre (Parameter des flüssigen Erdkerns) Änderung der Polarität alle 200000 – 300000 Jahre, aber MF-Stärke etwa konstant (innerhalb Faktor 3) seit 109 Jahren magnetische Reynolds-Zahl: 125 Waermebewegung zerstoert Magnetismus Zerfallszeit aus eta (fluessiger Erdkern) ~ 10^6 Ohm m, L=1000 Erdmagnetfeld existiert viel länger als Zerfallszeit!

Dynamo in 2D? Kann man MF aus Bewegung des flüssigen Erdkerns erzeugen? Wie könnte ein Dynamo funktionieren? Fluss durch blaaue Linie aendert sich durch Bewegung nicht In 2D kein Dynamo, denn Fluss durch blaue Linie ändert sich nicht!

Dynamo in 3D? Kann man MF aus Bewegung des flüssigen Erdkerns erzeugen? Wie könnte ein Dynamo funktionieren? Fluss durch blaaue Linie aendert sich durch Bewegung nicht Aber in 3D möglich!

Dynamo für ein Dipolfeld? Ein axisymmetrisches stationäres MF kann man aber nicht mit Dynamo erzeugen x C N Betrachte Kreis C durch neutrale Punkte: muss endlich sein B || dl entlang C (nur toroidales MF) Widerspruch für stationäres MF!

Erdmagnetfeld Aber das Erdmagnetfeld ist auch nicht streng ein Dipol-Feld

Der kinematische Dynamo Betrachte fluktuierendes Feld: Änderung des mittleren Feldes: Zusätzlicher Term durch Fluktuationen

Änderung des mittleren Feldes: Zusätzlicher Term durch Fluktuationen Betrachte spezielle Form einer Fluktuation B Betrachte turbulente Bewegung die die Form von sich bewegenen Ringen hat, d.g. die Fluessigkeit bewegt sich auf einer Spirale v Bewegung der Flüssigkeit auf einer Spirale (turbulente Bewegung von sich bewegenden Wirbeln)

Betrachte spezielle Form einer Fluktuation Bewegung der Flüssigkeit auf einer Spirale Störung kann symmetrisches MF erzeugen Betrachte turbulente Bewegung die die Form von sich bewegenen Ringen hat, d.g. die Fluessigkeit bewegt sich auf einer Spirale Rekonnektion erforderlich

Das Magnetfeld der Erde Flüssigkeitsbewegung wegen Kühlung der Erde an Oberfläche Konvektion T-Gradient in radialer Richtung Konvektion wegen temperaturabhängiger Dichte der Flüssigkeit: wärmere (weniger dichte) Flüssigkeit steigt im Gravitationsfeld auf kühlt dann oben ab fällt wieder ab System rotiert -> Corioliskraft wirkt Umwandlung von toroidalem in poloidales MF und umgekehrt

Das Magnetfeld der Erde Flüssigkeitsbewegung wegen Kühlung der Erde an Oberfläche Simulationsrechnungen 95% durch Ströme im Erdinneren 5% durch Ströme in Hochatmosphäre (v.a. Ionsosphäre) Los Alamos

Dynamo funktioniert bei laminarer Strömung (kleine Reynolds-Zahlen), aber nicht für realistische (turbulente Strömung)

Für (realistische) turbulente Strömung (hohe Re-Zahl) ist RM für Na zu klein -> Plasma?