(Neo)klassischer Transport

Präsentation zum Thema: "(Neo)klassischer Transport"—  Präsentation transkript:

1 (Neo)klassischer Transport
Klassischer Transport im Flüssigkeitsbild (Zylinder): MHD-Gleichgewicht: Ohmsches Gesetz: Stöße (Resistivität) führen zu radialer Geschwindigkeit! Gamma= n v = - D grad n liefert D Betrachte diffusiven Teilchenfluss (T=const): 

2 Klassische Transportkoeffizienten (im Teilchenbild)
Abschätzung für Transportkoeffizienten: Dt aus Stoßfrequenz n ohne ||B oder l Stoß Diff senkrecht zu B Stoß Stoßfrequenzen (90°)

3 Klassische Transportkoeffizienten im Plasma
Abschätzung für Transportkoeffizienten: Dt aus Stoßfrequenz n typische Versetzung pro Stoß ist Larmor-Radius für Stöße: Transport is ambipolar: Wegen Impulserhaltung nur Stoesse zwischen unterschiedlichen teilchen fuehrt zum Teilchentransport Stossfrequenz: sigma v_rel, sigma prop 1/E_kin^2 (gleich fuer e-e und Ionen-Ionen) Aber v fuer Ionen um Wurzel des Massenverhaeltnisses kleiner Fuer Ion-Elektron-Stoss; Aenderung des Elektronimpulses bei Stoss am leichten e nur klein

4 Klassische Transportkoeffizienten im Plasma
klassische Wärmeleitfähigkeit: auch Stöße zwischen Teilchen gleicher Sorte tragen zum Energietransport bei klassische Wärmeleitfähigkeit: Typischer Zahlenwert für Ionen: Experimentell gefunden : , zusätzlich !  Große Diskrepanz, erforderliche Maschinengröße viel größer als berechnet!

5 Neoklassischer Transport (Transport in einem Torus)
Wesentliche Änderungen wegen toroidaler Effekte, charakteristische Größe inverses Aspektverhältnis: Entlang von Magnetfeldlinien ist B nicht konstant  magnetischer Spiegel abhängig von v / v, können Teilchen gefangen werden R B~1/R

6 Neoklassischer Transport (Transport in einem Torus)
Entlang von Magnetfeldlinien ist B nicht konstant Magnetisches Moment ist invariant: Wenn gesamte kinteische Energie erhalten bleibt, verringert sich Energie in Parallelbewegung, wenn B steigt, bis zu v||=0 (Reflektion) B max min >> u.U. Reflektion c!

7 Spiegelbedingung: Spiegelverhältnis für magnetische Fläche an r: /R<<1:

8 Teilchenbahnen im Tokamak

9 Neoclassischer Transport (Transport im Torus)
abhängig von v / v, können Teilchen gefangen werden Drift im inhomogenen Magnetfeld Teilchenbahn eines gefangenen Teilchens: Bananenbahn

10 Anteil der gefangenen Teilchen:
(hier nicht 90°-Streuung, sondern nur aus gefangener Bahn) Effektive Stoßfrequenz: Abschätzung der Bananenbreite: Abweichung von magnetischer Fläche wegen Drift (v|| klein): - Um Anteil der gefangenen Teilchen an Gesamtteilchenzahl zu finden, muss man über Verteilungsfunktion integrieren Mit Maxwellverteilung kann man Kugelsymmetrie im Geschwindigkeitsraum ausnutzen Integriere über Oberflöche der Einheitskugel im Geschwindigeitsraum (konstante Geschw.): 4 Pi Anteil der gefangenen Teilchen: Teil der Kugeloberfläche siehe Bild vorher - Integrationsgrenzen im Winkel theta: tan[theta]= v_||/ v_perp - Sqrt[2 eps] < v_||/ v_perp < Sqrt[2 eps] liefert -arctan[Sqrt[2 eps] ] < theta < arctan[Sqrt[2 eps] ] Weil Sqrt[2 eps] << 1: tan[theta] ~ theta, also: - Sqrt[2 eps] < theta < Sqrt[2 eps] Effektive Stoßfrequenz: Bisher 90°-Streuung betrachtet (als Summe vieler Kleinwinkelstöße), aber um gefangenes Teilchen zu verlieren, reicht der Winkel, der es zu einem umlaufenden Teilchen macht (Sqrt[2 eps]) Deutet man Stöße als Diffusion im Geschwindigkeitsraum: random walk – Zeitskala für Änderung des Winkels proportional zu (delta theta)^2 (weil Diffusionskoeffizient ~ (delta x)^2/delta t) Stoßfrequenz also ~ (delta theta)^-2, wenn man für delta theta statt Pi/2 (90°) Sqrt[2 eps] einsetzt, findet man einen Faktor (Pi/2)^2/2/eps~ 1/(eps)

11 Bananenbreite ~ vDt (t : Zeit zum Durchlaufen einer Banane)
Zeit zum Durchlaufen einer Banane: v|| x L (Länge der Feldlinie) Bananenbreite: Länge der Bahn entlang Feldlinie, wegen der kleinen Feldliniensteigung im wesentlichen toroidale Richtung Aus Feldliniensteigung delta Phi/delta theta = q Bananenbreite: v_D aufgespalten, um Ausdruck für r_L extra stehen zu haben Marginal gefangene Teilchen: delta theta = 180° (siehe Zohm, Abb. 4.5), v_||/v_perp entspricht dem größten Wert, siehe vorige Seite Bananenbreite ist um Faktor q/Sqrt[eps] größer als Lamor-Radius! Maximale Bananenbreite: , entspricht

12 Diffusion aus „random walk“ Argument:
(charakteristische Schrittweite wB, Stoßzeit: 1/eff) Ergebnis nur richtig, wenn Teilchen Bananenbahn zwischen 2 Stößen ausreichend oft durchlaufen, daher Normierung der Stoßfrequenz auf Bananen-Umlaufzeit: *<3/2: Dban= Beispiel: Teilchen an halbem Plasmaradius: eps~1/10, q=2 >> D_neo~100 D_klass d.h. immer noch Teilchentransport um Faktor 10 unterschätzt (Elektronenwärmetransport ist 2 GO zu klein, Ionenwärmetransport Faktor 3-5???) Im Plasmazentrum: eps->0 ist kein realistischer Grenzfall, weil die Voraussetzungen nicht erfüllt sind: keine gefangenen Teilchen mehr, Teilchenbahnen werden verändert Für Bananenumlaufzeit wurde delta theta ~1 gewählt Bananenregime, wenn Teilchen Bananenbahn oft durchlaufen zwischen 2 Stößen PS-Regime: Teilchen stoßen oft auf einer Bananenbahn Plateu-Regime: Stoßzeit~Bananen-Durchlaufzeit (Diffkoeff hängt nicht von toßfrequenz ab) *>1: 3/2 <*<1:

13 Neoklassische Diffusionskoeffizienten als Funktion der Kollisionalität
Neoklassische Theorie wichtig zur Beschreibung von Transport parallel zum MF

14 Neoclassical Transport (Transport in a torus)
effective collision frequency (trapped passing): Banana width: number of trapped particles: Dneo by random walk with and for particles: May increase D,  up to two orders of magnitude: i 'only' wrong by factor 3-5 D, e still wrong by up to two orders of magnitude!

15 Neoclassischer Transport in Stellaratoren
In 3d-Geometrie führt Drift in inhomogenem Magnetfeld i. allg. zu radialer Auswärtsbewegung, weil Umkehrpunkte der Bahnen nicht auf gleicher Flussfläche liegen (wie in 2d-Geometrie)

16 Stoßfreie „gefangene“ Teilchen gehen i.allg. 3d-Geometrie
verloren

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19 W7-X : Optimierung des neoklassischen Transports

20 Neoklassische Effekte auf den Plasmastrom
Korrektur der Leitfähigkeit wegen gefangener Teilchen: Dichte der in toroidaler Richtung frei beweglichen Teilchen: Impulsaustausch auch zwischen gefangenen und umlaufenden Teilchen: Leitfähigkeit im Vergleich zur Spitzer-Leitfähigkeit verringert - Eigentlich wegen Impulserhaltung kein Teilchentransport durch Stöße zwischen gleichen Teilchen, aber Impulsaustausch zwischen umlaufenden und gefangenen Teilchen einer Sorte möglich, dadurch erhöht sich die Stoßfrequenz

21 Der Bootstrap-Strom ( ) Mit folgt Strom der gefangenen Teilchen:
hier Annahme: T=const Paralleler Strom auf Grund des Dichtegradienten der gefangenen Teilchen (wegen unterschiedlicher Besetzung der Bananenbahnen): ( ) Mit folgt Strom der gefangenen Teilchen: Strom der gefangenen Teilchen: nur kleine Parallelgeschw.: v_||= Sqrt[2 eps] v_perp ~ Sqrt[2 eps] v_perp (also v_perp= v_th gesetzt) B_phi ~ B verwendet in letzter Gleichung Wegen unterschiedlicher grad B-Drift für Elektronen und Ionen (ladungsabhängig) ist der Strom für Elektronen und Ionen in entgegengesetzte Richtung

22 Der Bootstrap-Strom Bootstrap-Strom: (T=const) allgemeiner:
Bananenstrom bedeutet Verschiebung der Verteilungsfunktion der gefangenen Teilchen Reibung zwischen gefangenen und freien Teilchen: Bootstrap-Strom: (T=const) Maxwell-Verteilung sind konzentrische Kreise im obigen Diagramm Weil wo sich zwei Bananen berühren, mehr Teilchen sich in eine Richtung bewegen, ist für die Verteilungsfunktion der gefangenen Teilchen eine Richtung ausgezeichnet Streuung mit umlaufenden Teilchen führt zur Verschiebung auch deren Verteilungsfunktion, weil die Diskontinuitäten in der Verteilungsfunktion durch Stöße abgebaut werden Streuung: Elektronen streuen (Impulsübertrag!) vor allem an Ionen, Ionen streuen an Ionen allgemeiner: Genauere Behandlung zeigt, dass Beitrag von n größer als der von T.