Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen

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1 Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen
Bisher: - Einzel-Teilchenbeschreibung - kinetische Gleichung (statistische Beschreibung) Einfacher: Flüssigkeitsbeschreibung betrachte nur gemittelte Größen: Dichte, Temperatur, mittlere Geschwindigkeit eigentlich mehrere Flüssigkeiten: v.a. Elektronen und Ionen (unterschiedliche Massen!) elektrische und magnetische Felder Speziell im Plasma: Einzelteilchenbeschreibung problematisch wegen langreichweitiger WW Kinetische Gleichung ist wichtig, wenn kinetische Effekte (z.B. Landau-Daempfung) eine Rolle spielen, ist relative aufwendig Einfacher ist eine Beschreibung analog zu einer Fluessigkeitsbeschreibung, die ok ist, wenn es ausreicht, globale Parameter wie Temperatur und Dichte zu kennen Unterschied zu normaler Fluessigketsbeschreibung: eigentlich haette man 2 Fluessigkeiten (e und i haben sehr unterschiedliche Masse), aber Oft trotzdem Einfluessigkeitsbeschreibung gewaehlt

2 Flüssigkeitsbeschreibung von Plasmen
Starte von kinetischer Gleichung: Momente der Verteilungsfunktion: Betrachte nicht Verteilungsfunktion selbst, sondern Vernachlässigung kinetischer Effekte (unterschiedliche Antwort von Teilchen mit verschiedenen Geschwindigkeiten auf externe Felder, z.B. Landau-Dämpfung)

3 Momente der Verteilungsfunktion
Dichte (k=0): Schwerpunktsgeschwindigkeit (k=1): - Temperatur: 3/2 kT = m/2 u^2 - Fuer jede Sorte alpha eine Fluessigkeit definiert - Man darf Fl. beschr. nur waehlen, wenn das Plasmaverhalten tatsaechlich lokalisiert ist , d.h. die Groessen an verschiedenen Orten unabhaengig sind von anderen Orten Probleme: - stossfreie Plasmen wie in Fusion?? (Lokalisierung durch MF: Lamor-Radius) - kleinskalige Prozesse Temperatur (k=2):

4 Momente der Verteilungsfunktion
Dies sind lokale Größen, d.h. Flüssigkeitsbeschreibung nur möglich, wenn mittlere freie Weglänge viel kleiner als Skalenlänge der untersuchten Prozesse Probleme für: stoßfreie Plasmen kleinskalige Prozesse - Temperatur: 3/2 kT = m/2 u^2 - Fuer jede Sorte alpha eine Fluessigkeit definiert - Man darf Fl. beschr. nur waehlen, wenn das Plasmaverhalten tatsaechlich lokalisiert ist , d.h. die Groessen an verschiedenen Orten unabhaengig sind von anderen Orten Probleme: - stossfreie Plasmen wie in Fusion?? (Lokalisierung durch MF: Lamor-Radius) - kleinskalige Prozesse Zeitskala der betrachteten Prozesse muss viel länger als Stoßzeit sein:

5 Kontinuitätsgleichung
0-tes Moment der kinetischen Gleichung: Energie-und Impulserhaltung: (falls nur Teilchen einer Sorte) Wenn mehrere Teilchensorten ist nur die Summe des Stossterms ueber alle Teilchensorten (integriert ueber Geschwindigkeitsraum) = 0 (Stoss aendert Energie und Impuls von Teilchen, aber fuers Gesamtsystem gilt Energie-und Impulserhaltung) Teilchendichte aendert sich nur durch Stroemung oder Kompression v und u unabhängige Phasenraumvariablen, daher

6 Kontinuitätsgleichung
E unabhängig von v Wenn mehrere Teilchensorten ist nur die Summe des Stossterms ueber alle Teilchensorten (integriert ueber Geschwindigkeitsraum) = 0 (Stoss aendert Energie und Impuls von Teilchen, aber fuers Gesamtsystem gilt Energie-und Impulserhaltung) Teilchendichte aendert sich nur durch Stroemung oder Kompression + = 0

7 Kraftgleichung 1-tes Moment der kinetischen Gleichung: Reibungskraft:
(w: Relativgeschwindigkeit) Integration über Relativgeschwindigkeit = Integration über v In Reibungskraft: Integration ueber Relativgeschwindigkeit w ist analog zu Integration ueber v (sieht man leicht durch Variablensubstitution, es kommt nur auf Relativgeschwindigkeit an) Grad P ist hier der anisotrope Drucktensor, er ist nur fuer isotrope Plasmen gleich dem ueblichen Druckgradienten bei gegebener Verteilungsfunktion werden genauso viele Teilchen abgebremst oder beschleunigt, um f wieder herzustellen

8 Kraftgleichung In Reibungskraft: Integration ueber Relativgeschwindigkeit w ist analog zu Integration ueber v (sieht man leicht durch Variablensubstitution, es kommt nur auf Relativgeschwindigkeit an) Grad P ist hier der anisotrope Drucktensor, er ist nur fuer isotrope Plasmen gleich dem ueblichen Druckgradienten

9 Kraftgleichung wie vorher P: anisotroper Drucktensor
In Reibungskraft: Integration ueber Relativgeschwindigkeit w ist analog zu Integration ueber v (sieht man leicht durch Variablensubstitution, es kommt nur auf Relativgeschwindigkeit an) Grad P ist hier der anisotrope Drucktensor, er ist nur fuer isotrope Plasmen gleich dem ueblichen Druckgradienten wie vorher

10 Kraftgleichung + = + = 0 aus +
Ein Fluessigkeitselement wir beschleunigt durch die von aussen einwirkenden Kraefte (bzw. Bei ruhendem Plasma muessen sich die Kraefte bilanzieren: - Kraft durch elektrisches Feld - Lorentz-Kraft Reibungskraft - Gewichtskraft manchmal wichtig fuer astrophysikalische Plasmne

11 Kraftgleichung Kräfte-Gleichgewicht ggf. zusätzlich Gravitationskraft:
Ein Fluessigkeitselement wir beschleunigt durch die von aussen einwirkenden Kraefte (bzw. Bei ruhendem Plasma muessen sich die Kraefte bilanzieren: - Kraft durch elektrisches Feld - Lorentz-Kraft Reibungskraft - Gewichtskraft manchmal wichtig fuer astrophysikalische Plasmne Flüssigkeitselement wird beschleunigt durch einwirkende Kräfte: - auf Grund elektrischer Felder - Lorentz-Kraft - Reibungskraft - Gewichtskraft

12 Energiegleichung Multiplikation der kinetischen Gleichung mit
Q: Waermefluss in W/m^3 entspricht externer Heizung oder Kuehlung Es entsteht wieder eine Hierarchie von Gleichungen, einfachstes System: Kontinuitätsgleichung Bewegungsgleichung Gleichung für den Druck (aus Thermodynamik) + Maxwell-Gleichungen

13 Magnetohydrodynamik (MHD)
Einflüssigkeitsbeschreibung: Annahme: Flüssigkeiten und Felder variieren auf gleichen Zeit- und Längenskalen (die der Ionen)  Alle Effekte, die speziell die Elektronendynamik betreffen, werden vernachlässigt nichtrelativistische Beschreibung Da Ionen traeger als Elektronen sind, kann bei Einfluessigkeitsbeschreibung nur die Dynamik der langsameren Spezies beruecksichtigt werden Forderung an Stossfrequenz nun, dass auf betrachteter Zeitskala Energieaustausch zwischen Elektronen und Ionen erfolgen kann (wie frueher gelernt, ist Energieaustausch zwischen Teilchen verschiedener Masse langsamer als zwischen Teilchen gleicher Masse, Daher wreden bei Anfangsstoerung zuerst die Elektronen zur Maxwell-Verteilung zurueckkehren: tau_ee, dann die Ionen: tau_ii = sqrt(m_i/m_e) tau_ee (T_i/T_e)^1.5 Und noch langsamer tau_ei=tau_ie =sqrt(m_i/m_e) tau_ii (T_e/T_i)^1.5 Fuer Zwei-Fluessigkeitsmodell wuerde Wurzel aus Massenverhaeltnios nicht auftauchen Te = Ti noch höhere Stoßfrequenz als für Zwei-Flüssigkeit gefordert Auf betrachteter Zeitskala muss Energieaustausch zwischen Elektronen und Ionen erfolgen:

14 MHD-Gleichungen (1) Kontinuitätsgleichung: Gleichung für Massendichte
+ = 0 Gleichung für Massendichte statt Teilchendichte Kont.gl. Gleichung fuer Massendichte statt Teilchendichte

15 MHD-Gleichungen Addition der Kraftgleichungen für Elektronen und Ionen (einfach geladene Ionen, isotroper Druck) (2) Kraftgleichung: Elektronenträgheit vernachlässigbar  Der Einfachheit halber: betrachte nur einfach geladene Ionen und nur isotropen Druck Im statischen Fall wird Druckgradient gerade durch Ströme senkrecht zum MF (und evtl. Gravitation kompensiert)

16 MHD-Gleichungen (3) Verallgemeinertes Ohmsches Gesetz: Kraftgleichung:
Kraftgleichung für Elektronen Resistivitaet durch Reibungskraft Zusaetzlich zu gewoehnlichem Ohmschen Gesetz: El. Feld durch Plasmabewegung senkrecht zum MF Hall-Effekt Elektronentraegehit Druckgradienten Letzte beiden Terme in MHD vernachlaessigt, sind nur wichtig fuer kleine Skalen (r_Li << L_H), bewirken Trennung von e und Ionenbewegung, was mit Einfluessigkeitsbeschreibung nicht Vereinbar ist Hall-Term hat Besonderheit: er veraendert die lineare Beziehung zwischen E und j: E-Feld senkrecht zum MF bewirkt einen Strom (wegen Ablenkung der Ladungstraeger durch Lorentz-Kraft), wird spaeter detailliert noch beschrieben (MHD-Generator) , Aber jetzt im folgenden zunaechst mal nicht betrachtet Kraftgleichung: me<<mi

17 MHD-Gleichungen (3) Verallgemeinertes Ohmsches Gesetz:
Resistivitaet durch Reibungskraft Zusaetzlich zu gewoehnlichem Ohmschen Gesetz: El. Feld durch Plasmabewegung senkrecht zum MF Hall-Effekt Elektronentraegehit Druckgradienten Letzte beiden Terme in MHD vernachlaessigt, sind nur wichtig fuer kleine Skalen (r_Li << L_H), bewirken Trennung von e und Ionenbewegung, was mit Einfluessigkeitsbeschreibung nicht Vereinbar ist Hall-Term hat Besonderheit: er veraendert die lineare Beziehung zwischen E und j: E-Feld senkrecht zum MF bewirkt einen Strom (wegen Ablenkung der Ladungstraeger durch Lorentz-Kraft), wird spaeter detailliert noch beschrieben (MHD-Generator) , Aber jetzt im folgenden zunaechst mal nicht betrachtet in MHD vernachlässigt Plasmabewegung senkrecht zu B Resistivität Hall-Term

18 Zusammenfasung: MHD-Gleichungen
Kontinuitätsgleichung Kraftgleichung Ohmsches Gesetz Und dazu noch: Maxwell- Gleichungen Adiabatische Zustandsänderung:

19 MHD-Gleichgewicht Kraftgleichung (stationär)
Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft (Ströme senkrecht zum Magnetfeld) Druck entlang von MF-Linien ist konstant Aus Kraftgleicung fuer d/dt=0 und u=0 folgt GG Neben Gewichtskraft (Sterne) kann Plasma durch MF eingeschlossen werden Grundlage des magnetischen Einschlusses von Plasmen

20 Konsequenzen aus dem Ohmschen Gesetz
Ideales Ohmsches Gesetz: Betrachte Änderung des magnetischen Flusses durch eine Schleife, die sich mit Geschwindigkeit v durch das Plasma bewegt: mit Hier zunaechst endliche Leitfaehigkeit vernachlaessigt (Plasma als unendlich gut leitend angenommen), ist in Fusionsplasmen oft naehreungsweise ok Der erste Term beschreibt die zeitliche Aenderung von B durch die Flaeche A Der zweite Term beschreibt Flussaenderung dadurch, dass sich Spule bewegt mit Geschwindigkeit v (und daher nach Zeit delta t an einem anderen Ort und somit an einem anderen MF ist) Oberflaechenintegral ist ueber gesamte Oberflaeche zu nehmen: Seitenflaechen sind Integrale ueber A (eins mit negativem Vorzeichen, weil n nach innen zeigt) Mantelflaeche ist Ringintegral v dt x dl

21 Der eingefrorene Fluss
Zeitliche Änderung des Magnetfeldes nur durch Plasmabewegung Faradaysches Gesetz verbindet zeitl. Aenderung des MF mit E-Feld In idealer MHD (siehe Ohmsches Gesetz) E-Feld nur duch Plasmabewegung Oberflaechenintegral mit Stokeschem Staz umgeformt in Wegintegral, dann Vektoridentitaet: (A x B) C= - B (A x C) Fluss durch Spule verschwindet, wenn sie sich mit Plasmageschwindigkeit bewegt Das Magnetfeld ist in idealer MHD im Plasma “eingefroren”, d.h. es bewegt sich mit dem Plasma

22 Konsequenzen der Flusserhaltung
Plasmakontraktion führt zu MF-Erhöhung! A1 A2 B1 B2

23 Konsequenzen der Flusserhaltung
Beispiel: In Neutronensternen Magnetfelder bis 108 T, erreichbar durch Kontraktion bei hohen Temperaturen Radius von Neutronensternen: r2 ~ 20 km Sonnenradius r1 ~ km Kontraktion eines Sterns zum Neutronenstern passiert bei hohen T in Supernova-Explosionen (nachdem die Kernfusion wegen Brennstoffmangels ausgeht)-> MF ist praktisch eingefroren Beim Kollabieren erhoeht sich Dichte so stark, dass Elektronen in Protonen gepresset werden -> Neutronen Bei Kontraktion erhoeht sich wegen Drehimpulserhaltung (r p) die Rotationsgeschwindigkeit Beobachtung von Neutronensternen: Pulsare Teilchen werden laengs des MF gefuehrt Kruemmung des Feldes -> Teilchebewegung fuehrt zum Asussenden von Radiowellen Gyrationsbewegung fuehrt zur Aussendung von Roentgenstrahlung Magnetische Achse ist nicht Rotationsachse -> pulsierende Strahlung Bild links: Krebsneben, in dessen Zentrum sich Pulsar befindet

24 Endliche Resitivität Ohmsches Gesetz Maxwell- Gleichungen
Endliche Resistivität erlaubt Änderung der MF-Topologie! Bei hoher Leitfaehigkeit aber nur sehr langsame Aenderung der MF-Topologie Typische Zeiten für Rekonnektion:

25 Beispiele für Rekonnektion
Magnetische Inseln Erdmagnetfeld

26 Rekonnektionszeiten -> sehr lange Rekonnektionszeiten Solar flares:
L=107m, trec=1014 s, aber Beobachtung: 103 s Fusionsplasmen: L=0.2 m, trec=40 s, aber Beobachtung: 100 ms (“Sägezähne”)

27 Sweet-Parker-Rekonnektion
Kontinuitätsgleichung (inkompressibles Plasma) + = 0 außerhalb der resistiven Schicht: ideal MHD in resistiver Schicht: resistive MHD

28 Sweet-Parker-Rekonnektion
Ausströmgeschwindigkeit = Maximalgeschwindigkeit in MHD MF-Energie = kinetische Energie

29 Sweet-Parker-Rekonnektion
Charakteristische Zeit für Rekonnektion Schneller als vorher (1/), aber immer noch viel zu langsam

30 Rekonnektion ohne Zusatztermen (MHD)
MHD (one fluid) theory valid only for L >> ri however: thin current layer, width smaller than ri for realistic :

31 Generalised Ohm‘s law:
Two fluid theory Generalised Ohm‘s law: Important for small MF (astrophysics) Significant motion perpendicular to strong magnetic field only due to ExB drift E  B Ion accelerated, = larger gyro radius Elektron decelerated, = smaller for electrons and ions in the same direction

32 Generalised Ohm‘s law:
Two fluid theory Generalised Ohm‘s law: large MF (Fusion) Time varying electric fields: polarisation drift

33 Generalised Ohm‘s law:
Two fluid theory Generalised Ohm‘s law: Important for small MF (astrophysics) large MF (Fusion) Important in thin layer

34 X point geometry in two fluid theory

35 Outflow channel much wider in two fluid theory

36 Much higher reconnection rate in two-fluid theory
Increasing influence of polarisation drift MHD Reconnection times close to Alfvén times!

37 Rekonnektion mit Zusatztermen (“beyond MHD: ||p”)

38 Rekonnektionszeiten im Bereich von Alfvenzeiten!
Rekonnektion mit Zusatztermen (“beyond MHD: ||p”) Rekonnektionszeiten im Bereich von Alfvenzeiten!

39 Der Hall-Effekt Ohmsches Gesetz Strom senkrecht zu Magnetfeld
Bedeutung des Hall-Effekts in der Niedertemperatur-Plasmaphysik: Ex jx Ey=0  Bz Betrachte: Aus Ohmschem Gesetz: Strom in y-Richung, obwohl Ey=0! Nur E-Feld in x-Richtung, in y-Richtung sind Elektroden kurzgeschlossen Da E_y = 0 (durch Kurzschluss der Elektroden) folgt grosser Strom in y-Richtung: angelegtes E_x-Feld kann nur Elektronen beschleunigen (Ionen unendlich schwer) Wegen Lorentz-Kraft folgt auch Strom in y-Richtung Lorentz-Kraft muss kompensiert werden durch Reibungskraft, dazu bracuht man grossen Strom in y-Richtung

40 Der Hall-Effekt Strom in Richtung des Ex-Feldes wird abgeschwächt durch jy Sigma/(e n) B = e B/(m_e nu_ei) = om_c/nu nu_ei ~ nu_ee j_y erst aus e_y=0, dann Formel fuer E_x mit j_y Strom in y-Richtung ist groesser, weil er per Reibungskraft die Lorentz-Kraft kompensieren muss, bei grosser Stossfrequenz ist das leichter und der Erhoehungsfaktor wird geringer Verringerte Leitfähigkeit in Richtung des elektrischen Feldes, höherer Strom senkrecht zu E und B

41 Elektrische Leitfähigkeit in magnetisierten Plasmen
: Strom in E-Richtung, Spitzer-Leitfähigkeit : zwei Strombeiträge, Leitfähigkeit in E-Richtung erheblich reduziert in heißen Plasmen bei hohen Magnetfeldern Strom durch Hall-Effekt, wichtig für wce>n, also für stark magnetisierte Plasmen Strom in Richtung von E, verringert durch MF

42 Der Hall-Generator Betrachte zusätzlich Plasmaströmung ux: jx Ey=0 
Bz ux Ex wie vorher Beim Hall-Generator wird Feld in x-Richtung verstaerkt, man nimmt hier kalte Plasmen, so dass om_c < nu ausnahmsweise

43 Der Hall-Generator Betrachte zusätzlich Plasmaströmung ux: jx Ey=0 
Bz ux  Beim Hall-Generator wird Feld in x-Richtung verstaerkt, man nimmt hier kalte Plasmen, so dass om_c < nu ausnahmsweise Für Niedertemperaturplasmen (wce<n) zusätzliche Spannung durch Strömung über Widerstand RL

44 Der Faraday-Generator
jx unterdrückt durch Segmentierung der Elektrode  Plasmabewegung erzeugt Strom in y-Richtung Hier Stroeme in x-Richtung unterdrueckt, daher spielt Hall-Effekt keine Rolle fuer E_y, Hier tritt also nur normale Leitfaehigkeit auf Plasmabewegung wird abgebremst F=j_y B_z Vorteil von MHD-Generatoren: - man kann sie bei hohen Temperaturen betreiben (bis zu 2700 Grad,Dampfturbinen nur bis 800 grad) und sowohl MHD-Effekt als auch nachgeschaltet eine normale Dampfturbine verwenden damit ist Gesamtwirkungsgrad bis 60% erreichbar Um Leitfaehigkeit der “Gase” zu erhoehen, werden Alkalimetalle zugesetzt Probleme: -kein kommerzieller Einsatz wegen Materialproblemen (agressives Na -> Korrosion) Aber Umkehrung des MHD-generatorprinzips (j x B -> Beschleunigung von Plasmen) in Weltraumanwendungen als Plasmatriebwerk, Geschwindigkeit des ausgestossenen Plasmas wesentlich hoeher als bei Verbrennungsmotoren. J x B – Kraft bremst Plasmabewegung Umkehrung des Generator-Prinzips: Plasmatriebwerke für Weltraumanwendungen