Vortrag Gerhard Fobe - Index Zahlensysteme: (Binärsystem) Dualsystem Oktalsystem Dezimalsystem (Sedezimalsystem) Hexadezimalsystem Dualarithmetik: Addition Subtraktion Multiplikation Division Ende

Dualsystem (Binärsystem) Basis: 2 Zeichenvorrat: {0;1} Umwandlung von Dezimalsystem in das Dualsystem mit Restdivision (Modulo-Operation) beliebige Zahl dividiert durch 2 ergibt als Rest entweder 0 oder 1 Notwendig für Dualarithmetik

Umwandlung Dezimal- in Dualsystem : 2 = 84 Rest 0 84 : 2 = 42 Rest 0 42 : 2 = 21 Rest 0 21 : 2 = 10 Rest 1 10 : 2 = 5 Rest 0 5 : 2 = 2 Rest 1 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1 Schreibweise der Ergebnisse in umgekehrter Reihenfolge: 16810 = 101010002 Schnelle Umrechnungen mit dem Windowstaschenrechner in wissenschaftlicher Ansicht: Mehrere Wege zur Berechnung möglich

Umwandlung Dual- in Dezimalsystem 101010002 = 1*27+0*26+1*25+0*24+1*23+0*22+0*21+0*20 = 128+0+32+0+8+0+0+0 = 16810

Oktalsystem Basis 8 Zeichenvorrat {0;1;2;3;4;5;6;7} Erleichtert den Umgang mit Dualzahlen Aus 3-Bit-Worten können acht verschiedene Kombinationen dargestellt werden

Umwandlung Dual- in Oktalsystem binär 000 001 010 011 100 101 110 111 oktal 1 2 3 4 5 6 7 dezi. Zerteilen der Dualzeichenfolge in 3er-Gruppen von rechts beginnend Umschreiben der Dualzahl in eine Oktalzahl 300910 = 1011110000012 = 57018  binär  101  111  000  001  oktal 5  7 1

Umwandlung Oktal- in Dezimalsystem Zur Umwandlung von Oktal- in Dezimalzahlen einfach die Oktalzahl mit ihrem Stellenwert potenzieren und die Ergebnisse addieren: 5 7 0 1 (8) 1 * 80 = 1 0 * 81 = 0 7 * 82 = 448 5 * 83 = 2560 3009 (10)

Umwandlung Dezimal- in Oktalsystem Zur Umwandlung von Dezimal- in Oktalzahlen muss die Dezimalzahl mit Hilfe der Modulo-Operation umgewandelt werden und von der höchsten oktalen Stelle aus gelesen werden: 3009 : 8 = 376 Rest 1 376 : 8 = 47 Rest 0 47 : 8 = 5 Rest 7 5 : 8 = 0 Rest 5 5 7 0 1 (8)

Dezimalsystem Basis: 10 Zeichenvorrat: {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} Ziffern besitzen Nenn- und Stellenwert Nennwert: wirklicher Wert der Ziffer Stellenwert: Wert der Ziffer innerhalb der dargestellten Zahl Beispiel: 4186 = 4*1000+1*100+8*10+6*1 = 4*103 +1*102+8*101+6*100

Hexadezimalsystem (Sedezimalsystem) Basis: 16 Zeichenvorrat: {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;A;B;C;D;E;F} In der Praxis können mit wenig Zeichen große Zahlen dargestellt werden Anwendung bei Programmiersprachen, Farbangaben bei Grafikprogrammen zweithäufigst genutztes Zahlensystem (n. DEZ) Verminderte Fehleranfälligkeit Wird auf maschinennaher Umgebung häufig in Assemblersprachen genutzt

Hexadezimalsystem - Zeichenvorrat 1 2 3 4 5 6 7 BIN 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 HEX DEZ 8 9 10 11 12 13 14 15 BIN 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 HEX A B C D E F

Umwandlung Hexadezimal- in Dezimalsystem Die Stellenwerte des Hexadezimalsystems sind Potenzen zur Basis 16. B C 1 (16) 1 * 160 = 1 12 * 161 = 192 11 * 162 = 2816 3009 (10)

Umwandlung Dezimal- in Hexadezimalsystem Zur Umwandlung von Dezimal- in Hexadezimalzahlen muss die Reste von unten nach oben angeschrieben werden 3009 : 16 = 188 Rest 1 188 : 16 = 11 Rest 12 11 : 16 = 0 Rest 11 B C 1 (16)

Dualarithmetik - Addition stellenweises Rechnen von geringst-wertigen zur höchstwertigsten Stelle, also von rechts nach links Stellenübertrag analog zum Rechnen im Dezimalsystem Zusätzliche Regeln unbedingt beachten: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 Übertrag 1

Addition - Rechnung Beispiel: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 Übertrag 1 Beispiel: Addition dezimal Addition dual 168 + 37 205 1 0 1 0 1 0 0 0 + 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1

Dualarithmetik - Subtraktion stellenweises Rechnen von geringst-wertigen zur höchstwertigsten Stelle, also von rechts nach links Stellenübertrag analog zum Rechnen im Dezimalsystem Zusätzliche Regeln unbedingt beachten: 0 - 0 = 0 0 - 1 = 1 Übertrag 1 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0

Subtraktion - Rechnung 0 - 0 = 0 0 - 1 = 1 Übertrag 1 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 Beispiel: Subtraktion dezimal Subtraktion dual 168 - 37 131 1 0 1 0 1 0 0 0 - 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0-1=1 Übertrag 1 0-0=0 --> 0-1=1 Übertag 1 0-1=1 Übertrag 1 --> 1-1=0 ÜBERTRAG MITNEHMEN 1-0=1 --> 1-1=0 0-0=0 1-1=0 1-0=1 1 1 1 1 1 Berechnung auch über Komplementbildung möglich

Dualarithmetik - Multiplikation Vorgehensweise simultan zur schriftlichen Multiplikation im Dezimalsystem Kein Stellenübertrag Ergebnisse aus Teilmultiplikationen werden zu Summe addiert (Dualaddition) Zusätzliche Regeln unbedingt beachten: 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1

Multiplikation - Rechnung 1 * 0 = 0 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 1 = 1 Beispiel: Multiplikation dezimal Multiplikation dual 1 1 0 0 * 1 1 1 0 1 2 * 4 8 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Dualarithmetik - Division Komplexeste Arithmetik Rechnung wird an höchster Stelle des Dividenden begonnen Prüfen ob Divisor vollständig abgezogen werden kann (mittels Dualsubtraktion) Ja: Notierung einer 1 im Ergebnis und mit Rest weiterrechnen. Nein: Notierung einer 0 im Ergebnis, eine Stelle nach rechts rücken und nochmals prüfen

Division - Rechnung Beispiel: Division dezimal Division dual 1 6 8 / = - Division - Rechnung 1 Beispiel: 1 - Division dezimal Division dual 1 1 1 6 8 / = 2 4 10101000 / 110 = 1 1 1 1 - 110 geht nicht 10 - 110 geht nicht 101 - 110 geht nicht 1010 - 110 geht (Rest 100) 1001 - 110 geht (Rest 11) 110 - 110 geht (Rest 0) 0 - 110 geht nicht

Division - Rechnung Beispiel übersichtlicher: 1 / = -

Diese Präsentation sowie weitere Informationen sind zu finden im Downloadbereich unter www.gerhard-fobe.de Verwendete Quellen: http://www.isis.de/members/~tweber/rs_semi/1/rs_1.htm Buch Informatik Auflage 1991 (Compact Verlag München) Tafelwerk Auflage 10 (Paetec)