Kapitel 7: LTI-Systeme UTF und Bodediagramm SiSy, Rumc, 7-1 x(t) LTI-System y(t) LTI-System kann im Zeitbereich beschrieben werden (bzw. Ausgangssignal y(t) kann für beliebige x(t) berechnet werden) entweder mit Faltungsintegral oder mit Differentialgleichung DGL Beispiel: R Faltung y(t) = x(t) * h(t) wobei für Stossantwort gilt: DGL x(t) C y(t) τ·dy(t)/dt + y(t) = x(t)

Herleitung Übertragungsfunktion SiSy, Rumc, 7-2 Allgemeine Form der DGL eines Systems an·dny(t)/dtn + … + a1·dy(t)/dt + a0·y(t) = bm·dmx(t)/dtm + … + b1·dx(t)/dt + b0·x(t) Laplace-Transformation der DGL (Anfangswerte = 0) an·sn·Y(s) +…+ a1·s·Y(s) + a0·Y(s) = bm·sm·X(s) +…+ b1·s·X(s) + b0·X(s) (an·sn +…+ a1·s+ a0)·Y(s) = (bm·sm +…+ b1·s + b0)·X(s) Übertragungsfunktion (UTF, engl. transfer function) Die (b,a)-Systemkoeffizienten charakterisieren UTF H(s) bzw. legen das LTI-Systemverhalten vollständig fest

Herleitung Übertragungsfunktion SiSy, Rumc, 7-3 Beispiel 1 DGL τ·dy(t)/dt + y(t) = x(t) Systemkoeffizienten: a1 = τ, a0 = 1, b0 = 1 UTF Tiefpass Beispiel 2 Ansatz Spannungsteiler (statt DGL) a1 = τ, a0 = 1, b1 = τ Hochpass R x(t) C y(t) C x(t) R y(t)

UTF: Pol-/Nullstellen-Darstellung SiSy, Rumc, 7-4 UTF H(s) ist eine gebrochen rationale Funktion Quotient zweier Polynome H(s) = B(s) / A(s), wobei Zählergrad m ≤ Nennergrad n Zähler-Polynom B(s) hat m Nullstellen zk => Nullstellen der UTF Nenner-Polynom A(s) hat n Nullstellen pk => Pole der UTF Pol-Nullstellen-Darstellung Pole und Nullstellen charakterisieren die UTF H(s) bzw. das LTI-Systemverhalten bis auf Gain-Konstante K = bm / an

UTF: Pol-/Nullstellen-Darstellung SiSy, Rumc, 7-5 Charakterisierung der Pole und Nullstellen wenn die Systemkoeffizienten bk und ak alle reell sind (und das sind sie für die allermeisten LTI-Systeme) dann sind die Pole pk und Nullstellen zk von H(s) entweder reell oder sie kommen in konjugiert komplexen Paaren vor Darstellung der Lage der Pole und Nullstellen mit PN-Schema Pole werden mit "X" und Nullstellen NS mit "O" in s-Ebene eingetragen Beispiel: j·ω C s x(t) R y(t) X O σ p1 = -1/τ z1 = 0 reell

UTF: Pol-/Nullstellen-Darstellung SiSy, Rumc, 7-6 j·ω Beispiel LTI-System mit konjugiert komplexem Polpaar gegeben p = ωp∙ (-cos(π/4) ± j∙sin(π/4)) und ωp = 1000 rad/s Darstellung der UTF H(s) mit reellen (b,a)-Systemkoeffizienten wobei a2 = 1 a1 = -2∙Re{p} = 2∙ωp/√2 = 1414.2 a0 = IpI2 = 106 und b0 = a0 (DC-Gain H(f=0) = H(s=0) = 1) s p x ωp 45° σ p* x

UTF: Pol-/Nullstellen-Darstellung SiSy, Rumc, 7-7 Frequenzgang mit Matlab bestimmt b=[1e6]; a=[1 1414.2 1e6]; sys = tf(b,a); bode(sys); grid; ωp Grenzbetrachtung H(ω → ∞) ≈ b0 / (-a2·ω2) IH(ω → ∞)I / dB = 120 + 20·log10(1/ω2) = 120 - 40·log10(ω) arg(H(ω → ∞)) = - π

Stabilität UTF ist stabil SiSy, Rumc, 7-8 UTF ist stabil wenn alle Pole von H(s) in der linken Halbebene (LHE) liegen Beweis für m<n: UTF H(s) und Stossantwort h(t) dann existiert aber auch der Frequenzgang H(f) H(f) = H(s=j2πf) d.h. Auswertung der UTF H(s) auf der jω-Achse unit step Ih(t)I < ∞ wenn alle Re{pk} < 0 bzw. alle pk in der LHE liegen

Frequenzgang - Lage der Pole und NS SiSy, Rumc, 7-9 Frequenzgang H(f) entspricht der UTF H(s=jω) komplexe Zahl bzw. Vektor in der s-Ebene jω s pk o zk x jω0-pk = rpk·ejφpk jω0 σ jω0-zk = rzk·ejφzk x o Distanz zwischen s = pn und s = jω0 "Abstandsmethode" Amplitudengang IH(ω0)I = Produkt der Abstände rzk von jω0 zu den Nullstellen zk dividiert durch das Produkt der Abstände rpk von jω0 zu den Polen pk

Frequenzgang - Lage der Pole und NS SiSy, Rumc, 7-10 Beispiel zur Abstandsmethode Fall s = jω0, ω0 = 0 Fall s = jω1, ω1 > 0 Fall s = jω2, ω2 = ∞ IH(ω)I C 1 x(t) R y(t) IH(ω2)I ≈ 1 IH(ω1)I < 1 IH(ω0)I = 0 ω ω0 ω1 ω2 IH(ω0)I = rz1 / rp1 = 0 / rp1 = 0 IH(ω1)I = rz1 / rp1 < 1 IH(ω1)I = rz1 / rp1 ≈ ∞/∞ ≈ 1 j·ω j·ω jω2 s s s jω1 rz1 = ∞ rp1 rz1 = 0 rz1 < rp1 rp1 = 1/τ rp1 = ∞ X O σ X O σ X O σ p1 = -1/τ z1 = 0 p1 = -1/τ z1 = 0 p1 = -1/τ z1 = 0

Frequenzgang - Lage der Pole und NS SiSy, Rumc, 7-11 Beispiel Einfluss der Lage der Pole und NS auf Amplitudengang x Pole o Nullstellen IH(ω)I jω IH(ω0)I s o x rz1 = Ijω0-z1I rp1 jω0 rp3 x σ ω = 2πf rp2 ω0 Im{z1} rz2 = Ijω0-z2I x o je näher ein Pol bei der jω-Achse, desto grösser die Überhöhung im Amplitudengang LHE (σ<0) RHE (σ>0) Nullstellen auf der jω-Achse ergeben Nullstellen im Amplitudengang IH(ω0)I = rz1·rz2 / (rp1·rp2·rp3)

Bodediagramm Logarithmische Darstellung von Amplituden- und Phasengang SiSy, Rumc, 7-12 Logarithmische Darstellung von Amplituden- und Phasengang benannt nach H.W. Bode (Bell Labs, 1930er Jahre) Vereinfachung der Darstellung von IH(ω)I und arg{H(ω)} dank logarithmischer Frequenz und logarithmischer Amplitude sowie grosser Frequenzbereich darstellbar Multiplikation von Amplituden im Linearen => Addition im Logarithmischen reminder: log(A∙B) = log(A) + log(B) Approximation des asymptotischen Verhaltens mit Geraden und Aufteilung der UTF H(s) in Teilsysteme 1. und 2. Ordnung werden sehen, dass nur 6 verschiedene Teil-UTF wichtig sind

LTI-System H(s) = H1(s)·H2(s) Bodediagramm SiSy, Rumc, 7-13 Beispiel Amplitudengang: IH(ω)I = IH1(ω)I ∙ IH2(ω)I 20∙log10(IH(ω)I) = 20∙log10(IH1(ω)I) + 20∙log10(IH2(ω)I) IH(ω)I /dB = IH1(ω)I /dB + IH2(ω)I /dB logarithmisch: Addition der Amplitudengänge der Teilsysteme Phasengang: φH(ω) = φH1(ω) + φH2(ω) LTI-System H(s) = H1(s)·H2(s) LTI-Teil- System 1 LTI-Teil- System 2 IH(ω)I·eiφH(ω) = IH1(ω)I·eiφH1(ω) ∙ IH2(ω)I·eiφH2(ω) x(t) y(t) H1(s) H2(s)

Bodediagramm Beispiel C R τ = RC = 1/ω0 x(t) y(t) 20∙log10(ω/ω0) / ω0 SiSy, Rumc, 7-14 Beispiel C x(t) R y(t) τ = RC = 1/ω0 20∙log10(ω/ω0) / ω0 log10(ω/ω0)

Bodediagramm Faktorisierung von H(s) in Teil-UTF 1. und 2. Ordnung SiSy, Rumc, 7-15 Faktorisierung von H(s) in Teil-UTF 1. und 2. Ordnung Normierung der Frequenz auf Eckfrequenz d.h. ω / ω0 bzw. s / ω0 m = m0 + m1 + 2·m2 Nullstellen NS der UTF H(s) davon m0 NS bei s=0, m1 reelle NS und 2·m2 komplexe NS konjugiert komplexe NS können zu einer Teil-UTF 2. Ordnung mit reellen Koeffizienten zusammen gefasst werden dito für Pole der UTF H(s) nur diese 6 Teil-UTF wichtig

konstant 20·log10(IKI), Beispiel: K = ±2 Bodediagramm SiSy, Rumc, 7-16 Konstante konstant 20·log10(IKI), Beispiel: K = ±2 konstant 180° wenn K < 0 konstant 0° wenn K > 0

Bodediagramm NS im Ursprung (Differentiator) o SiSy, Rumc, 7-17 Gerade mit 20 dB / Dekade (6 dB / Oktave) NS im Ursprung (Differentiator) Gerade mit -20 dB / Dekade (-6 dB / Oktave) jω s o σ ω0 Pol im Ursprung (Integrator) konstant 90° jω s konstant -90° x σ / ω0

Bodediagramm Pol 1. Ordnung (PT1-Glied) konstant 0 dB für ω < ωp SiSy, Rumc, 7-18 Pol 1. Ordnung (PT1-Glied) konstant 0 dB für ω < ωp Gerade mit -20 dB / Dekade für ω > ωp -3 dB jω s ωp x σ konstant 0° für ω < ωp/10 ωp Gerade mit -90° / 2 Dekaden -5.7° -84.3° konstant -90° für ω > 10∙ωp ωp / 10 / ωp 10∙ωp

Bodediagramm NS 1. Ordnung (PD-Glied) Gerade mit 20 dB / Dekade SiSy, Rumc, 7-19 NS 1. Ordnung (PD-Glied) Gerade mit 20 dB / Dekade für ω > ωz 3 dB konstant 0 dB für ω < ωz jω s ωz o σ konstant 90° für ω > 10∙ωz ωz Gerade mit 90° / 2 Dekaden 84.3° 5.7° konstant 0° für ω < ωz/10 ωz / 10 / ωz 10∙ωz

Bodediagramm Pol 2. Ordnung (PT2-Glied) 20 dB qp=10 qp=√2 s x SiSy, Rumc, 7-20 Pol 2. Ordnung (PT2-Glied) Je näher der Pol an der jω-Achse, desto grösser die Güte bzw. Überhöhung. 20 dB qp=10 qp=√2 Polgüte jω s x jωp konstant 0 dB für ω < ωp φ σ x -3 dB qp=1/√2 2∙sin(φ) = 1/qp Gerade mit -40 dB / Dekade (-12 dB / Oktave) für ω > ωp ωp / 10 / ωp 10∙ωp

Bodediagramm Pol 2. Ordnung (PT2-Glied) qp=10 qp=1/√2 s x x qp=10 SiSy, Rumc, 7-21 Pol 2. Ordnung (PT2-Glied) qp=10 qp=1/√2 jω s x jωp φ σ x konstant 0° für ω < ωp/10 qp=10 2∙sin(φ) = 1/qp Gerade mit -180° / 2 Dekaden qp=1/√2 konstant -180° für ω > 10∙ωp ωp / 10 / ωp 10∙ωp

Bodediagramme der Teilsysteme SiSy, Rumc, 7-22 Konstante K Amplitudengang: 20·log10(IKI) Phasengang: 0 wenn K > 0 sonst π NS im Ursprung (Differentiator) s/ω0 Amplitudengang: 20 dB / Dekade Phasengang: konstant π/2 Pol im Ursprung (Integrator) 1/(s/ω0) Amplitudengang: -20 dB / Dekade Phasengang: konstant -π/2 20·log10(IH(ω)I) 20·log10(IKI) log10(ω) 20·log10(IH(ω)I) 20 dB/Dek. log10(ω) ω0 20·log10(IH(ω)I) -20 dB/Dek. log10(ω) ω0

Bodediagramme der Teilsysteme SiSy, Rumc, 7-23 Pol 1. Ordnung (PT1-Glied) jω 20·log10(IH(ω)I) s φH(ω) ωp/10 ωp 10·ωp x σ log10(ω) log10(ω) ωp ωp/10 ωp 10·ωp -45° -20 dB/Dek. -90° 2 Dekaden NS 1. Ordnung (PD-Glied) jω 20·log10(IH(ω)I) φH(ω) s 20 dB/Dek. 90° o 45° σ log10(ω) log10(ω) ωz ωz/10 ωz 10·ωz ωz/10 ωz 10·ωz

Bodediagramme der Teilsysteme SiSy, Rumc, 7-24 Pol 2. Ordnung (PT2-Glied) jω 20·log10(IH(ω)I) s φH(ω) x jωp 20·log10(qp) φ ωp σ log10(ω) log10(ω) x ωp/10 ωp 10·ωp 10·ωp -90° 2∙sin(φ) = 1/qp -40 dB/Dek. -180° -180° / 2 Dekaden NS 2. Ordnung jω 20·log10(IH(ω)I) s +180° / 2 Dekaden jωz o +40 dB/Dek. φH(ω) φ +180° σ ωz/10 ωz o 90° log10(ω) 10·ωz 2∙sin(φ) = 1/qz -20·log10(qz) log10(ω) ωz/10 ωz 10·ωz

Beispiel Bodediagramm SiSy, Rumc, 7-25 UTF PN-Schema jω s o ωz ωp < ωz x ωp σ x o 20·log10(IH(ω)I) 40 dB/Dek. φH(ω) ωp log10(ω) log10(ω) ωp/10 ωp 10·ωp -40 dB/Dek. -180° 2 Dekaden

Minimalphasensysteme SiSy, Rumc, 7-26 Was geschieht wenn einige Pole und/oder Nullstellen der UTF H(s) in der rechten Halbebene (RHE) der s-Ebene liegen? Pole NIE in der RHE, sonst ist das LTI-System instabil! Nullstellen in der RHE, „kein“ Einfluss auf Amplitudengang IH(f)I, aber auf den Phasengang (LTI-System ist NICHT minimalphasig) Minimalphasensysteme haben keine Nullstellen in der RHE φ(f) nimmt langsamer ab als bei Nicht-Minimalphasensystemen haben kleinst-mögliche Gruppenlaufzeit (Zeitverzögerung!) Phasenlaufzeit: x(t) = cos(2πf0·t) LTI-System y(t) = IH(f0)I·cos(2πf0·[t-τp(f0)])

Minimalphasensysteme SiSy, Rumc, 7-27 Gruppenlaufzeit Zeitverzögerung der Enveloppe eines Signals, das aus mehreren Frequenz- komponenten besteht. Eingangssignal (AM-Signal) Ausgangssignal

nicht-minimalphasiges Minimalphasensysteme SiSy, Rumc, 7-28 Beispiel minimalphasiges System H1(s) nicht-minimalphasiges System H2(s) s jω σ x o z1 z2 p1 p2 p3 jωo φz1 φz2 jω1 jω s φz1 wird kleiner, wenn ω zunimmt jω1 o wird grösser, wenn ω zunimmt x jωo x σ x o φH(ω) ωp log10(ω) -90° φH1(ω) aber IH1(ω)I = IH2(ω)I φH2(ω) -450°

Minimalphasensysteme SiSy, Rumc, 7-29 Nicht-Minimalphasen-System H(s) kann als Kaskade eines Minimal- phasen-Systems Hm(s) und eines Allpasses HA(s) aufgefasst werden jω H(s) o x H(s) x σ x o jω jω Hm(s) HA(s) o x o x Hm(s) HA(s) x σ σ x o x o Allpass: Pole und Nullstellen symmetrisch zur jω-Achse IHA(ω)I = konstant, φA(∞) = -nπ, wobei n die Ordnung ist gleiche Lage!

Minimalphasensysteme SiSy, Rumc, 7-30 Asympotisches Verhalten Systemordnung n, wobei Zählergrad m ≤ Nennergrad n Amplitudengang: IH(ω→∞)I fällt mit (m-n)·20 dB pro Dekade Phasengang: φH(ω→∞) = (m-n)·90° für ω→∞ trägt jede NS +π/2 bei für ω→∞ trägt jeder Pol (und jede NS in der RHE) -π/2 bei

Allpol-Filter Allpol-Filter haben keine Nullstellen SiSy, Rumc, 7-31 Allpol-Filter haben keine Nullstellen sind minimalphasig, haben eine UTF von der Form Asymptote für ω→∞ : n mal -20 dB pro Dekade bzw. -n·π/2 Tiefpass-Approximationen nach Butterworth führt auf Allpol-Filter Butterworth-TP N. Ordnung N=1 N=2 N=3

Einfluss Polpaar auf Stossantwort SiSy, Rumc, 7-32 Pole und Nullstellen beeinflussen UTF H(s) und damit auch Stossantwort h(t) Einfluss eines Polpaares jω s Polfrequenz Polgüte Dämpfungsfaktor x jωp ω0 δ σ σp x Stossantwort Anfangs- amplitude abklingende Schwingung

Zusammenfassung LTI-Systeme SiSy, Rumc, 7-33 Faltung Impulsantwort h(t) x(t) y(t) Differentialgleichung an·dny(t)/dtn +…+ a0·y(t) = bm·dmx(t)/dtm +…+ b0·x(t) X(f) X(s) Y(f) = X(f)·H(f) Y(s) = X(s)·H(s) H(f) = FT{h(t)} H(s) = LT{h(t)} Pol-Nullstellen-Darstellung UTF Frequenzgang H(f) = H(s=j·2π·f)