Kapitel 6: UTF und Bodediagramm SiSy, Rumc, 6-1 x(t) LTI-System y(t) Beschreibung von LTI-Systemen im Zeitbereich 1. mit der Faltung und der Stossantwort: y(t) = x(t) * h(t) 2. mit einer Differentialgleichung Beispiel R x(t) C y(t) τ·dy(t)/dt + y(t) = x(t)

Differentialgleichung SiSy, Rumc, 6-2 Allgemeine Form an·dny(t)/dtn + … + a1·dy(t)/dt + a0·y(t) = bm·dmx(t)/dtm + … + b1·dx(t)/dt + b0·x(t) Laplace-Transformation an·sn·Y(s) +…+ a1·s·Y(s) + a0·Y(s) = bm·sm·X(s) +…+ b1·s·X(s) + b0·X(s) Übertragungsfunktion (UTF) Beispiel: RC-TP-Filter 1. Ordnung τ·dy(t)/dt + y(t) = x(t) => b0 = 1, a0 = 1, a1 = τ => meistens auf 1 skaliert

Uebertragungsfunktion UTF SiSy, Rumc, 6-3 H(s) ist eine gebrochen rationale Funktion H(s) = B(s) / A(s), wobei Zählergrad m ≤ Nennergrad n Polynom B(s) hat m Nullstellen => Nullstellen der UTF Polynom A(s) hat n Nullstellen => Pole der UTF wenn Systemkoeffizienten bi und ai alle reell sind, dann sind die Pole und Nullstellen von H(s) reell oder sie kommen in konjugiert komplexen Paaren vor Pol-Nullstellen bzw. PN-Schema charakterisiert H(s) bis auf reelle Konstante K=bm/an

p = ωp∙ (cos(π/4) + j∙sin(π/4)) => Frequenzgang Matlab: freqs(b,a) Beispiel SiSy, Rumc, 6-4 ! PN-Schema => UTF j·ω s p x a1 = 2∙Re{p} = 2∙ωp/√2 = 8885.8 a0 = IpI2 = 3.9478∙107 b0 = a0 damit H(f=0) = H(s=0) = 1 ωp 45° σ p* x p = ωp∙ (cos(π/4) + j∙sin(π/4)) ωp = 2π∙1000 rad/s IH(s=jω)I ωp => Frequenzgang Matlab: freqs(b,a) arg{H(s=jω)} ωp

Stabilität UTF ist stabil SiSy, Rumc, 6-5 UTF ist stabil wenn alle Pole von H(s) in der linken Halbebene (LHE) liegen Beweis für m<n: UTF H(s) und Stossantwort h(t) dann existiert Frequenzgang H(f) H(f) = H(s=j2πf) d.h. Auswertung der UTF H(s) auf der jω-Achse Ih(t)I < ∞ wenn alle Re{pk} < 0 bzw. alle pk in der LHE liegen

Amplitudengang Auswertung der UTF H(s) auf der imaginären Achse s=jω SiSy, Rumc, 6-6 Auswertung der UTF H(s) auf der imaginären Achse s=jω Bestimmung Amplitudengang mit «Abstandsmethode» IH(ω0)I = K mal Produkt der Längen von jω0 zu Nullstellen zi dividiert durch Produkt der Längen von jω0 zu Polen pi Bestimmung Phasengang

Beispiel x Pole o Nullstellen IH(ω)I jω IH(ω0)I s o x x σ ω = 2πf x o SiSy, Rumc, 6-7 x Pole o Nullstellen IH(ω)I jω IH(ω0)I s o x dz1 = Ijω0-z1I dp1 jω0 dp3 x σ ω = 2πf dp2 Im{p1} Im{z1} dz2 = Ijω0-z2I x o je näher ein Pol bei der jω-Achse, desto grösser die Überhöhung im Amplitudengang LHE (σ<0) RHE (σ>0) Nullstellen auf der jω-Achse ergeben Nullstellen im Amplitudengang IH(ω0)I = dz1·dz2 / (dp1·dp2·dp3)

Bodediagramm (siehe auch wiki) SiSy, Rumc, 6-8 Faktorisierung der UTF H(s) in Teil-UTF 1. und 2. Ordnung m = m0 + m1 + 2m2 Nullstellen NS der UTF H(s) davon m0 NS bei s=0, m1 reelle NS und 2m2 komplexe NS analoge Aufteilung für Pole der UTF H(s) doppelt-logarithmische Darstellung des Amplitudengangs IH(ω)I additive Überlagerung der Bodediagramme der Teilsysteme stückweise Approximation mit Geraden

Bodediagramme der Teilsysteme SiSy, Rumc, 6-9 Konstante K Amplitudengang: 20·log10(IKI) Phasengang: 0 wenn K ≥ 0 sonst π k-facher Differentiator sk Amplitudengang: k·20 dB / Dekade Phasengang: konstant π/2 k-facher Integrator 1/sk Amplitudengang: -k·20 dB / Dekade Phasengang: konstant -π/2 20·log10(IH(ω)I) log10(ω) 20·log10(IH(ω)I) k·20 dB/Dek. log10(ω) 20·log10(IH(ω)I) -k·20 dB/Dek. log10(ω)

Bodediagramme der Teilsysteme SiSy, Rumc, 6-10 TP 1. Ordnung (PT1-Glied) jω 20·log10(IH(ω)I) s φH(ω) ωpk x σ log10(ω) log10(ω) ωpk ωpk/10 ωpk 10·ωpk -45° -20 dB/Dek. -90° 2 Dekaden HP 1. Ordnung (PD-Glied) jω 20·log10(IH(ω)I) φH(ω) s 20 dB/Dek. 90° o 45° σ log10(ω) log10(ω) ωzk ωzk/10 ωzk 10·ωzk ωpk

Bodediagramme der Teilsysteme SiSy, Rumc, 6-11 TP 2. Ordnung (PT2-Glied) Polgüte (je grösser, desto näher der Pol an der jω-Achse) jω 20·log10(IH(ω)I) s jωpk φH(ω) x qpk φ ωpk σ log10(ω) log10(ω) x ωpk/10 ωpk 10·ωpk 10·ωpk -90° 2∙sin(φ) = 1/qp -40 dB/Dek. -180° 2 Dekaden HP 2. Ordnung Amplitudengang: Knick bei ωzk, dann +40 dB / Dekade Phasengang: von 0 auf π über zwei Dekaden

Beispiel Bodediagramm SiSy, Rumc, 6-12 UTF PN-Schema jω s o ωpk < ωzk ωzk x ωpk σ x o 20·log10(IH(ω)I) 40 dB/Dek. φH(ω) ωpk log10(ω) log10(ω) ωpk/10 ωpk 10·ωpk -40 dB/Dek. -180° 2 Dekaden

minimalphasiges System H1(s) nicht-minimalphasiges System H2(s) Minimalphasensysteme SiSy, Rumc, 6-13 Minimalphasensysteme haben keine Nullstellen in der RHE Phase nimmt langsamer ab als bei Nicht-Minimalphasensystemen kleinst mögliche Gruppenlaufzeit (Zeitverzögerung!) Beispiel minimalphasiges System H1(s) nicht-minimalphasiges System H2(s) jω jω s s φz1 wird kleiner, wenn ω zunimmt jω1 z1 o jω1 o φz1 wird grösser, wenn ω zunimmt p1 x x jωo jωo x x σ σ p3 p2 x x φz2 z2 o o gleicher Amplitudengang, d.h. IH1(ω)I = IH2(ω)I aber ungleicher Phasengang arg(Hk(ω0)) = φz1 + φz2 - φp1 - φp2 -φp3 + kπ wenn ω→∞, dann arg(H1(ω)) → -π/2 und arg(H2(ω)) → -5π/2

Allpässe Pole und Nullstellen liegen symmetrisch zur jω-Achse SiSy, Rumc, 6-14 Pole und Nullstellen liegen symmetrisch zur jω-Achse IH(ω)I = konstant, arg(H(ω=∞)) = -nπ, wobei n die Ordnung ist Beispiel Allpass Nicht-Minimalphasensystem als Kaskade von Minimalphasensystem und Allpass jω s jω s x o o x x o σ x σ x x o o jω jω s s o x o x x σ σ x o x o

Allpol-Filter Allpol-Filter haben keine Nullstellen SiSy, Rumc, 6-15 Allpol-Filter haben keine Nullstellen sind minimalphasig, haben eine UTF von der Form Asymptote für ω→∞ sinkt mit n mal 20 dB pro Dekade Tiefpass-Approximationen nach Butterworth führt auf Allpol-Filter Butterworth-TP N. Ordnung N=1 N=2 N=3

Einfluss Polpaar auf Stossantwort SiSy, Rumc, 6-16 Pole und Nullstellen beeinflussen UTF H(s) und damit auch Stossantwort h(t) Einfluss eines Polpaares Definitionen Polfrequenz Polgüte Dämpfungsfaktor jω s x jωp ω0 δ σ σp x Stossantwort und UTF Anfangs- amplitude abklingende Schwingung

Zusammenfassung LTI-Systeme SiSy, Rumc, 6-17 Faltung Impulsantwort h(t) x(t) y(t) Differentialgleichung an·dny(t)/dtn +…+ a0·y(t) = bm·dmx(t)/dtm +…+ b0·x(t) X(f) X(s) Y(f) = X(f)·H(f) Y(s) = X(s)·H(s) H(f) = FT{h(t)} H(s) = LT{h(t)} Pol-Nullstellen-Darstellung UTF Frequenzgang H(f) = H(s=j·2π·f)