1 5 10 Zahlensysteme Zahlensysteme Kann man das Essen? Was ist das, und wozu brauch ich das? Ein Zahlensystem wird zur Darstellung von Zahlen verwendet. Gut, das dachtest du dir vermutlich schon. Zahlen sind für uns so wichtig, weil sie einen Wert ausdrücken. In einem konkreten Beispiel heißt das, dass für uns 10 Euro doppelt so viel Wert sind wie 5 Euro. Aber wer hat eigentlich festgelegt, dass 10 das Doppelte von 5 ist. Wäre es nicht möglich, dass ein 10 Euro Schein nur halb so viel Wert ist wie in 5 Euro Schein? 1 5 10

Additionssysteme Das Unärsystem Dieses System ist normalerweise jedem geläufig, ob zum Zählen der Stimmen bei der Klassensprecherwahl, notieren der getrunkenen Biere auf dem Bierdeckel oder Punktezählen beim TicTacToe spielen. Das einzige Symbol in diesem System ist „I" mit dem Wert 1, das n-mal Hintereinandergeschrieben wird, um die Zahl n auszudrücken, also = 4. Normalerweise macht man der Übersichtlichkeit halber jeden fünften Strich quer durch die vorhergehenden vier. Die dadurch gebildeten 5er-Blöcke lassen sich später leichter zusammenrechnen. Beispiele: III = 3 IIIIIII oder IIII II= 7 IIII IIII III= 13

Römische Zahlen Die uns bekannten römischen Zahlen gingen aus einer Variante des Kerbstocksystems hervor. Die Zahlen werden vom höchsten Symbol abwärts der Reihe nach geschrieben - also z.B. CXXI = 121 MMLI = 2051 wohingegen XXCI nicht existiert. Im Mittelalter wurde die wenig bekannte Subtraktionsschreibweise etabliert. Diese Schreibweise setzt voraus, dass kleinere Zahlen, die vor einer größeren stehen, von ihr abgezogen werden. So wurde z.B. fortan die 9 nicht mehr als VIIII, sondern als IX geschrieben, was für mehr Übersicht sorgen sollte. Weitere Beispiele wären: CD = 400 MCD = 1400 MCMLXXXIX = 1989 Symbol Wert I 1 V (oder U) 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000

Stellenwertsyteme Ein Stellenwertsystem (auch Positionssystem genannt) ist ein Zahlensystem, das im Vergleich zu Additionssystemen mit wenigen Symbolen große Zahlen darstellen kann. Wie die Bezeichnung schon vermuten lässt, wird der Wert einer Zahl nicht mehr einfach durch Aufsummieren der einzelnen Symbolwerte gebildet, sondern hängt zusätzlich von den Positionen des jeweiligen Symbols ab. Der Name der meisten Stellenwertsysteme ist auf die sogenannte Basis des Systems zurückzuführen. Das uns bekannteste Stellenwertsystem ist das Dezimalsystem. Die Bezeichnung stammt von dem lateinischen Begriff "decimus" ab, was soviel bedeutet wie "der Zehnte". Die Basis im Dezimalsystem ist demnach die 10. Aha, die Basis ist die 10 - aber was genau ist denn eigentlich die Basis? Simpel ausgedrückt, ist die Basis die Anzahl der Symbole (Ziffern), die man benötigt, um alle Zahlen in diesem System bilden zu können, also im Falle des Dezimalsystems die Symbole 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Und wie bestimme ich nun den Wert einer Zahl eines Stellenwertsystems? Wir wissen, dass die Zahl "1234" den Wert 1234 hat - aber wie errechnet sich dieser? Wie es die meisten vermutlich kennen, ist das Dezimalsystem in verschiedene Stellen eingeteilt. Für die Zahl 1234 wären das:

Dezimalsystem 123410 Tausender Hunderter Zehner Einer 103 102 101 100 1000 10 1 2 3 4 1 * 1000 2 * 100 3 * 10 4 * 1 200 30 1000 + 200 + 30 + 4 = 123410

Dualsystem 111000102 Pos 7 Pos 6 Pos 5 Pos 4 Pos 3 Pos 2 Pos 1 Pos 0 27 26 25 24 23 22 21 20 128 64 32 16 8 4 2 1 128 + 64 + 32 + 2 = 22610

Hexadezimalsystem E4A16 Pos 3 Pos 2 Pos 1 Pos 0 163 162 161 160 4096 256 16 1 E 4 A 0 * 4096 14 * 256 4 * 16 10 *1 3584 64 10 3584 + 64 + 10 = 365810

Umrechnung Dezimal ... Binär Für die Umrechnung von Zahlen des Dezimalsystems in beliebige andere Systeme gibt es einen einfachen Weg: Die Division mit Rest. • die entsprechende Zahl wird durch die Kennzahl des Ziel-Zahlensystems geteilt • der ganzzahlige Anteil wird wiederum durch die gleiche Zahl geteilt, bis der ganze Rest 0 beträgt • die Divisions-Reste bilden in umgekehrter Reihenfolge abgelesen die Zahl im Zielsystem Beispiel: Umrechnung von 5810 ins Binär-System: 58 / 2 = 29 R 0 29 / 2 = 14 R 1 14 / 2 = 7 R 0 7 / 2 = 3 R 1 3 / 2 = 1 R 1 1 / 2 = 0 R 1 Liest man die Reste von unten nach oben ergibt sich: 1110102

Umrechnung Dezimal ... Hexa Umrechnung von 123410 ins Hexadezimalsystem: 1234 / 16 = 77 R 2 77 / 16 = 4 R 13 (= D) 4 / 16 = 0 R 4 Liest man die Reste von unten nach oben ergibt sich: 4D216

Übungsaufgaben Berechne den Dezimalwert folgender Dualzahlen: Berechne den Dezimalwert folgender Hexadezimalzahlen: a) 14F5B16 b) AB3D16 c) 5EA316 d) 9C2316

Aufgaben Umwandeln: a) 43215 in ....7 c) 889 in ....3 Übertrage folgende Dezimalzahlen in die Dualwerte und Hexadezimalwerte: a) 3.78610 b) 14.87610 c) 2.24310 d) 1.02410 Übertrage die Dualzahlen in das Hexadezimalsystemzahlen: a) 11011110102 b) 10101102 c) 11111110012 d) 11001100112 Umwandeln: a) 43215 in ....7 b) 2677 in ....12 c) 889 in ....3