Hydraulik I Roman Stocker 2. Hydrostatik

Hydrostatik Druck und Piezometerhöhe Kräfte auf Flächen unter Wasser Unterscheidung: –ebene Flächen –gekrümmte Flächen Auftrieb und Schwimmen Schwimmstabilität

Druck (1) Definition: flächenspezifische Kraft Die Richtung der Druckkraft ist normal zu der gedrückten Fläche Einheit: 1 N/m 2 = 1 Pa (“Pascal”)

Druck (2) Hydrostatik  ruhendes Fluid  Ein ruhendes Fluid kann keine Scherkräfte aufnehmen  Spannungen in jeder Ebene sind Normalspannungen (Druck)  Druck ist ein Skalar: in allen Richtungen gleich (bei gleicher Tiefe)

Druck (3): Wie ändert sich der Druck mit der Wassertiefe? (Druckgradient in z Richtung) (hydrostatische Druckverteilung)

Druck (4) p r ist ein Referenzdruck, frei wählbar oft günstig: p = 0 an der Oberfläche  p(z) ist dann der Überdruck gegenüber der Atmosphäre Absolutdruck: wichtig für Kavitation, Verdampfen Relativer Druck (Überdruck): entscheidend für Strömungsvorgänge

Druck, Druckhöhe, Piezometerhöhe (1) Druck p Druckhöhe Piezometerhöhe Pa (=N/m 2 ) oder bar oder atm m m Höhe der Flüssigkeitssäule gleicher Dichte, die den (Über)druck p erzeugt

Druck, Druckhöhe, Piezometerhöhe (2)

Druckeinheiten 1 Pa = 1 N/m 2 1 bar = 10 5 Pa 1 atm = bar 1 m WS = 0.1 atm (WS = Wassersäule) 1 mm HgS = 1 Torr = 13.5 mm WS (HgS = Quecksilbersäule) 1 mbar = 100 Pa

Was ist die treibende Kraft für Strömungen? z = 0 Nicht Differenzen in p sondern Differenzen in h p A B

Druckverteilung in inhomogenen Fluiden (Schichtung)

Für welchen Behälter ist die Druckkraft am Boden am grössten? (die Bodenfläche ist jewails die gleiche) Gleicher Bodendruck und gleiche Bodenfläche  gleiche Druckkraft am Boden Wände nehmen den Unterschied auf Hydrostatisches Paradox

Kommunizierende Gefässe

Messung des Drucks (1): U-Rohr Manometer  misst relativen Druck Gleichgewicht: p1p1 p2p2  Druck ist auf diesem Niveau gleich Daraus:

Messung des Drucks (2): Pressure Transducer (Piezoresistiver Halbleiterdruckaufnehmer) Nutzt Widerstandsänderung bei Deformation aus, überträgt das in einem Elektrischen Signal Druckdose Misst Deformation einer dünnen Blechdose

Messung des Drucks (3): Bourdon’sche Rohr Alle messen relativen Druck! Bei Druckaufschlag, strebt das Bourdon’sche Rohr an sich abzuwickeln  Deformation wird gemessen

Hydrostatische Kraft auf ebene Flächen (1) R =  ghA A A A R =  ghA/2R = 

Regeln: 1)Druckkraft auf Fläche = Gewicht des Druckkörpers = Volumen des Druckkörpers   g und auch = gedrückte Fläche * Druck im Flächenschwerpunkt 2)Wirkungslinie der Druckkraft geht durch den Schwerpunkt des Druckkörpers (nicht durch den Schwerpunkt der gedrückten Fläche!! sondern durch ihren Druckmittelpunkt) Hydrostatische Kraft auf ebene Flächen (2)

h Druckkörper h Für ebene Flächen sind die Umrisse des Druckkörpers durch eine flächennormale Auftragung der Druckhöhe über der gedrückten Fläche gegeben. Hydrostatische Kraft auf ebene Flächen (3)

(Fläche achsensymmetrisch um  -Achse) Daraus:  D =J/(A  S ) Hydrostatische Kraft auf ebene Flächen (4)

Regel 2: Allgemein Schwerpunkt eines homogenen Körpers Für symmetrische Körper (bezüglich  -Achse):  D = 0

a  b h  F Gesucht: F,  D b   a dd dA=b d  Wegen Symmetrie: Beispiel

Wie findet man J  ? In Formelsammlung ist gewöhnlich das Flächenträgheitsmoment (J) um eine Achse durch den Schwerpunkt (S) gegeben, also J S Das Flächenträgheitsmoment J um eine beliebige, dazu parallele Achse (z.B. die  -Achse, also J  ) folgt aus dem Steinerschen Verschiebungssatz: S  Achse SS

Zerlegung von Kräften (1)

Zerlegung von Kräften (2) Horizontale KomponenteVertikale Komponente: unterer Teil - oberer Teil = Resultierende

Hydrostatische Kraft auf gekrümmte Flächen (1) Die resultierende Kraft geht durch den Schnittpunkt der Wirkungslinien der Komponenten, der generell nicht mehr auf der gedrückten Fläche liegt.

Zylindermantelflächen oder Kugelschalen  Resultierende verläuft durch den Drehpunkt  Wasserlast bringt kein zusätzliches Moment Hydrostatische Kraft auf gekrümmte Flächen (2)

Oberflächennormale Auftragung (d.h., Volumen des Druckkörpers) zur Bestimmung der Gesamtkraft nicht mehr sinnvoll Hydrostatische Kraft auf gekrümmte Flächen (3)

Beispiel  Gesucht: Kraft, Moment um P P h b Hydrostatische Kraft auf gekrümmte Flächen (4) xsxs ysys Schwerpunkt des Viertelkreises

Auftrieb Volumen des verdrängten Fluids, V = ‚Deplacement‘ Angriffspunkt der Auftriebskraft: Schwerpunkt des Deplacements V Archimedisches Prinzip Auftrieb = Gewicht des verdrängten Fluids

Schwimmen: Homogener Körper Beispiel: Wie tief taucht ein Eiswürfel ins Wasser ein? Auftrieb F A = Gewicht des Körpers F G F A  durch Archimedisches Prinzip (V = Deplacement)

Aräometer (misst die Dichte eines Fluids) Auftriebskraft = Gewicht des Aräometers F G = konstant Eintauchtiefe grösser oder kleiner, je nach spezifischem Gewicht des Fluids Inhomogener Körper!

Denkaufgabe Der Stein wird aus dem Boot geworfen Was macht der Wasserspiegel des Sees? Steigt er, sinkt er oder bleibt er gleich? ?

Schwimmstabilität (1) Deplacement, V sDsD sDsD sKsK sKsK s K unter s D : immer schwimmstabil

Schwimmstabilität (2) s K über s D labil stabil indifferent S V1 := S D bevor Auslenkung S V2 := S D nach Auslenkung

Definitionen Schwimmfläche A: Fläche in der Schnittlinie zwischen schwimmendem Objekt und Wasserspiegel Auslenkung d  : Kleine Drehung der Schwimmfläche um Achse parallel zum Wasserspiegel (in den folgenden Bildern in die Tafelebene gerichtet) Auslenkung klein heisst: sin(d  tan(d  ) = d 

a h M <0 a h M >0 Schwimmstabilität (3) a = Abstand S K – S V entlang der Schwimmachse FAFA SKSK SVSV FGFG metazentrische Höhe M = Metazentrum (hier, ober S K ) Metazentrum (hier, unter S K )

Schwimmstabilität (4) x Drehmomente: Stabilitätsbedingung: SKSK SUSU SVSV a hMhM VV xdΦdA dΦ M FGFG Metazentrische Höhe: Also ist die Stabilitätsbedingung:

Schwimmstabilität (5) Beispiel Quader Quaderabmessungen: b,h,l t: Tiefgang f: Freibord  Quader =  Q  Fluid =  z=0 f t G FAFA h b Gesucht: Stabilitätsbedingung Lösung:

Sohlwasserdruck Welche Dichtung ist sinnvoller?

Der Operator  Nabla Operator: Definition Schreibweise, die uns das Leben leichter macht

Vier Anwendungen (1) Anwendung auf Skalar: Gradient Ergebnis der Operation: Vektor Dieser gibt die Richtung des stärksten Anstiegs des skalaren Felds p an. Beispiel: Höhenlinien

Anwendung auf Vektor als Skalarprodukt: Divergenz Ergebnis der Operation: Skalar Die Divergenz eines Vektorfeldes gibt die Stärke einer lokalen Senke oder Quelle an Eine erhaltene Vektorgrösse hat Divergenz 0 Vier Anwendungen (2)

Anwendung auf Vektor als Vektorprodukt: Rotation Ergebnis der Operation: Vektor Die Rotation eines Vektorfeldes gibt die lokale Drehgeschwindigkeit an, mit der sich ein infinitesimaler Körper im Strömungsfeld drehen würde Vier Anwendungen (3)

Anwendung auf Vektor als Tensorprodukt Ergebnis der Operation: Tensor zweiter Stufe Der Tensor enthält die Deformation durch ein Strömungsfeld:  Symm. Anteil: Drehung, asymm. Anteil: Scherung Vier Anwendungen (4)