Seminar zum semesterbegleitenden fachdidaktischen Mathematikpraktikum Wintersemester 2009/2010 Daniela Niedzwiedz & Desiree Altmeyer

 Begriffserläuterungen  Beispielaufgaben  Wie öffnet man Aufgaben?  Aufgaben  Strategien zur Aufgabenvariation  Variationen am Dreieck  Diskussion

 Konvergente Aufgaben:  nur eine Lösung  i.d.R. ein Lösungsverfahren Ziel: Lösungsverfahren einüben bzw. abprüfen Beispiel: Löse die quadratische Gleichung x²+x-12=0

 Divergente Aufgaben:  mehr als eine Lösung  Lösungsansatz kann schon eine einzige Standardidee sein Beispiel: Suche möglichst verschiedenartig aussehende quadratische Gleichungen die alle die Lösungsmenge {-4,3} haben.

1. Variation einer Sachaufgabe  Oft lässt sich eine klassische Sachaufgabe, wie sie in jedem Schulbuch steht, ganz einfach in eine offene Aufgabe verwandeln.  Ein Parkplatz ist 5000m²groß. Jeder Stellplatz ist 3 m breit und 5 m lang, 40% der Fläche werden für Zufahrtswege benötigt. Wie viele Autos können auf dem Platz parken?  Diese Aufgabe hat genau eine Lösung.

Lassen wir nun alle Zahlenvorgaben weg:  Ein Parkplatz ist ungefähr so groß wie ein Fußballplatz. Wie viele Autos können in etwa darauf parken? Erkläre deine Überlegungen! (Von Dr. Volker Ulm)  Es entsteht eine Aufgabe, die Annahmen, Entscheidungen, Vereinfachungen und Abschätzungen erfordert, d.h. eine Aufgabe, die viel Freiraum für mathematisches Arbeiten eröffnet.

 geringfügig ändern („wackeln“) Beispiel: Was passiert mit einer Parabel, wenn man in ihrer Beschreibung durch y = ax² + bx +c die Parameter a, b, c einzeln ändert?

 Analogisieren (Ersetzen bzw. Ändern von Bedingungen)  Beispiel: mit „+“ für „-“, „ “, Viereck oder Tetraeder statt Dreieck Umfang berechnen von Dreiecken, Vierecken…

Verallgemeinern („Weglassen von Bedingungen“)  Beispiel: Thalessatz  Peripheriewinkelsatz  Zahl in einem Funktionsterm  Formvariable Lösungsverfahren für (2;2)-Gleichungssysteme  Verfahren für (n;n)-Gleichungssysteme

 Spezialisieren (Hinzufügen von Bedingungen)  Beispiel: Peripheriewinkelsatz  Thalessatz  (a+b)²  (a+a)²

 Umweltbezug herstellen (anwenden)  Beispiel: Wo außerhalb der Schule muss man denn den Flächeninhalt von Vierecken ausrechnen?  Wo außerhalb der Schule rechnet man mit dem Dreisatz?

 Dreieckszerlegung:  Erstellen Sie drei abwechslungsreiche Aufgaben (+ Lösung) zum Thema Dreieckszerlegung Zum Beispiel: Kann man ein gleichseitiges Dreieck durch eine Gerade in zwei gleichseitige Dreiecke zerlegen?

Start Situation, Information Weg Methode, Verfahren Ziel Ergebnis, Lösung Aufgabentyp x x xBeispielaufgabe x x -Geschlossene Aufgabe x - xBegründungs- aufgabe x - -Problemaufgabe - - -Offene Situation - x xUmkehraufgabe - - xProblemumkehr - x -Anwendungssuc he

 Begründungsaufgabe:  Beispiel: Begründe warum die Winkelsumme in einem 8-Eck 1080 Grad beträgt. Problemaufgabe:  Beispiel: ein Kinobesitzer will am ruhigen Montag seine Auslastung verbessern. Üblicherweise kommen nur ca. 30 Besucher. Seine Konkurrenz lockt die Besucher Montags mit niedrigeren Preisen, dass möchte er nun auch machen. Wann lohnt sich seine Aktion?

 Offene Situation:  Beispiel: wie hoch wäre ein Turm aus allen Hühnereiern, die weltweit in einem Jahr gelegt werden? Umkehraufgabe:  Beispiel: gib mögliche Längen von Grundseite und Höhe eines Dreiecks an, dessen Flächeninhalt 72cm² beträgt.

 Problemumkehr:  Beispiel: finde verschiedene Rechenaufgaben mit dem Ergebnis 138 nur mit jeweils ganzen Zahlen/mit mindestens einer neg. Zahl/nur mit Zahlen, die >0 und <1 sind. Anwendungssuche:  Beispiel: gib möglichst unterschiedliche Probleme an, die du mit dem Dreisatz lösen kannst, und löse sie. Gibt es Probleme, die du nicht mit dem Dreisatz lösen kannst?

Suchen Sie sich in Partnerarbeit fünf Aufgabentypen aus dem Klassifikationsschema für Offenheit aus und erstellen Sie jeweils ein entsprechendes Beispiel hierzu. Begründen Sie ihre Einordnung der Beispiele