ANALYSIS KLASSE 10 - Einführung des Ableitungsbegriffs - Felix Pohl Michael Gabler

Ablauf Einordnung in den Lehrplan Mathematischer Sachverhalt Lernvoraussetzungen Zugänge Gruppenarbeit Präsentation

Lehrplan Klasse 10 ThemaStunden Allgemeine Sinusfunktion10 Stunden Stereometrie10 Stunden Folgen13 Stunden Eigenschaften stetiger Funktionen14 Stunden Einführung in die Differenzialrechnung13 Stunden

Lehrplan Klasse 10 ThemaStunden Allgemeine Sinusfunktion10 Stunden Stereometrie10 Stunden Folgen13 Stunden Eigenschaften stetiger Funktionen14 Stunden Einführung in die Differenzialrechnung13 Stunden

Lehrplan Klasse 10 Einführung in die Differenzialrechnung Globale Änderungsrate  Differenzenquotient Lokale Änderungsrate  Differenzialquotient Ableitung von Funktionen  Ableitungsregeln Anwendungen  Computereinsatz

Lehrplan Klasse 10 Einführung in die Differenzialrechnung Globale Änderungsrate  Differenzenquotient Lokale Änderungsrate  Differenzialquotient Ableitung von Funktionen  Ableitungsregeln Anwendungen  Computereinsatz

Mathematischer Sachverhalt Differenzenquotient

Mathematischer Sachverhalt Differenzenquotient Differenzialquotient

Mathematischer Sachverhalt Die Funktion f heißt differenzierbar in x 0,wenn existiert. In diesem Fall wird dieser Grenzwert mit f′(x 0 ) bezeichnet und heißt die Ableitung von f in x 0. Wir nennen f differenzierbar, wenn f in jedem Punkt x 0 aus dem Definitionsbereich von f differenzierbar ist.

Vorkenntnisse Aus früheren Klassen: Klassenstufe 7: Funktionen, Steigung Klassenstufe 8: Termumformungen, Mittelwerte, Geradengleichungen

Vorkenntnisse Aus Klasse 10: Grenzwertrechnung Globale Änderungen, Sekantensteigung Differenzenquotient

Der klassische Zugang über Tangenten und Sekanten Definition der Steigung einer Kurve in einem Punkt über der Tangente Die Tangente als Spezialfall von Sekanten Berechnung der Tangentensteigung als Grenzwert [Geogebra Anwendung]

Der klassische Zugang über Tangenten und Sekanten Vorteile – Häufigste Zugangsmethode – Veranschaulichung – Historischer Kontext Nachteile – Nicht anwendungsorientiert – Neuer Tangentenbegriff nicht unmittelbar mit bereits bekanntem verknüpfbar (Tangenten am Kreis) -> Conceptual Change

Zugang über die mittlere Änderungsrate Einführung anhand eines anwendungsorientierten Beispiels (z.B. Bevölkerungswachstum, Geschwindigkeit…) Differenzenquotient: Mittlere Änderungsrate auf dem Intervall [a;b] Übergang zur lokalen Änderungsrate im Punkt x durch Übergang zum Differenzialquotient:

Zugang über die mittlere Änderungsrate Vorteile: – Anwendungsorientierter Kontext – Übergang von der mittleren zur lokalen Änderungsrate ist logisch und nachvollziehbar Nachteile: – Geometrischer Zusammenhang muss nachfolgende behandelt werden

Zugang über den Aspekt der linearen Approximierung

Wir stellen fest: Für jede beliebige Gerade durch xo gilt: lim r(h) = 0 für h-> 0 (Die absolute Abweichung geht gegen 0) Beachte: Nur im Fall der Tangenten durch x 0 gilt: (Die relative Abweichung geht gegen 0) Darstellung von f in der Form: f(x 0 + h) = f(x 0 )+Lh+r(h) wobei L die Steigung der Tangenten im Punkt x 0 ist (Begriff der totalen Differenzierbarkeit im eindimensionalen Fall)

Zugang über den Aspekt der linearen Approximierung Vorteile: - Anwendungsorientierter Kontext - Umstellen ergibt sofort den Differentialquotienten - Ableitungsregeln lassen sich direkt beweisen (evtl sogar von den Schülern) Nachteile: - Kaum Schulbücher mit diesem Zugang - Daher im Schulkontext weniger bekannt - Anfangs schwierig zu verstehen

Gruppenarbeit Plant eine Stunde zur Einführung des Ableitungsbegriffs! (mit Tafelbild)

Eigener Vorschlag Numerische Approximation mit Excel Beispiel: f(x)=x 2 Steigung an der Stelle x 0 =1, Graph zeichnen, Tangente einzeichnen und versuchen Steigung ungefähr zu ermitteln, Verifizierung mit Excel via Intervallschachtelung

Eigener Vorschlag Begründung: Beim Erstellen der Formeln in Excel wird der Ableitungsbegriff vertieft und der mathematische Sachverhalt verdeutlicht.

Eigener Vorschlag Bemerkungen: Dieser Zugang setzt Erfahrung der Schüler im Umgang mit Excel voraus. Diskutiert werden muss, welche Hilfestellung gegeben wird (konkrete Arbeitsanweisung)

Vielen Dank…...für eure Aufmerksamkeit!