Tutorial Messtechnik - Spektralanalyse, Signaltheorie - Ronny Nawrodt 04.05.2016

Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse Überblick Spektralanalyse Fouriertransformation und Eigenschaften Fouriersynthese Fourieranalyse Sampling-Theorem Faltung, Fensterfunktionen Signaltheorie Vierpol Übertragungsfunktion Sprung- und Impulsantwort Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse

Zeit- und Frequenzbereich Beschreibung von Signalen äquivalent im Zeit- und Frequenz-bereich möglich: Zeitbereich: u(t) Frequenzbereich: u(f) Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse

Fouriertransformation Verknüpfung von Zeitbereich u(t) und Frequenzbereich u(f) wird durch die Fouriertransformation hergestellt: kontinuierlich:     Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse

Fouriertransformation diskrete Fouriertransformation Zeitsignal wird in Abständen Ta N-mal abgetastet Ersetzung: t durch nTa  durch k u(t) durch u(nTa) e-jt durch e-jknTa Transformation:     Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse

Fouriertransformation Fouriertransformation ist komplex Spektrum ist somit komplexe Größe = Realteil + Imaginärteil (bzw. Betrag und Phase) N Zeitwerte  N/2 Frequenzschritte hohe Frequenzauflösung erfordert die Aufnahme vieler Datenpunkte und somit eine hohe Messzeit Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse

Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse Fouriersynthese   Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse

Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse Fouriersynthese Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse

Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse Fourieranalyse Umkehrung der Fouriersynthese Berechnung des Spektrums eines Zeitsignals mathematisch: Skalarprodukt zwischen Zeitfunktion und Basisvektoren Basisvektoren = harmonische Schwingungen = Testfunktionen Fourierkoeffizienten = Projektion des Zeitsignals auf Testfunktion Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse

Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse Sampling-Theorem pro Periode müssen 2 Werte im Minimum aufgezeichnet werden, um das Signal (genauer: dessen Frequenz) rekonstruieren zu können Verletzung des Sampling-Theorems führt zum Aliasing Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse

Fensterfunktionen und Faltung Aufzeichnung eines Signals erfolgt zeitlich begrenzt (Samplingzeit) exakte Frequenz nur erreichbar für unendlich lange Abtastung endliche Samplingzeit liefert automatisch Linienbreite im Spektrum Abtastung = Einhüllende des Signals = Multiplikation Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse

Fensterfunktionen und Faltung Fouriertransformation einer Multiplikation ergibt eine Faltung: Faltung auch Überschiebung genannt     Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse

Fensterfunktionen und Faltung Abtasten mit rechteckigem Zeitfenster (steile Kanten!) liefert im Frequenzbereich Faltung mit der Fouriertransformierten des Rechtecks:   sidelobes  Spektrallinie verbreitert, Zentralamplitude verfälscht Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse

Fensterfunktionen und Faltung Ziel: genaue Messung der Höhe der Spektrallinie (= Amplitude im Spektrum) Ursache für Sidelobes sind die scharfen Kanten der Fensterfunktion  Idee: „weiche“ Fensterfunktion Rechteck Hamming Hamming-Fenster Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse

Fensterfunktionen und Faltung Charakterisierung der Fenster: Breite des Hauptpeaks (3dB-Grenzfrequenz) relative Amplitude zum 1. Nebenmaximum Lage der Nullstellen treten große Nebenmaxima auf, so ist die Amplitudentreue des Fensters schlecht eine hohe Amplitudentreue erzeugt häufig eine Verbreiterung der Spektrallinie Sidelobes stören speziell bei der Messung dicht benachbarter Frequenzen (z.B. Seitenbänder  nächster Versuch!) Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse

Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse Vierpol Ziel: Beschreibung des Systems (=„?“) durch äußere Parameter, d.h. ohne Kenntnis der Innenbeschaltung Möglichkeiten: Übertragungsfunktion (Sinusantwort) Sprungantwort Impulsantwort ? Eingangssignal Ausgangssignal Beispiel Pendel Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse

Übertragungsfunktion   Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse

Sprung- und Impulsantwort ÜF enthält vollständige Information des Vierpols Alternative: Sprung- und Impulsantwort (Zeitbereich!) Sprungantwort = Antwort des Systems auf Stufe Impulsantwort = Antwort des Systems auf Delta-Funktion Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse

Sprung- und Impulsantwort charakteristische Zeitkonstante ist verknüpft mit der Grenzfrequenz Sprung- und Impulsantwort enthalten identischen Informationsgehalt zur Übertragungsfunktion und sind häufig schneller messbar (siehe heutiger Versuch) Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse

Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse Hinweise zum Versuch Nehmen Sie sich Zeit für die Durchführung. Werten Sie Daten am Platz mit Origin aus. Probieren Sie, spielen Sie, variieren Sie die Signale. Ziel: Verständnis des Zusammenhangs zwischen Zeit- und Frequenzbereich! Messtechnik – Signaltheorie/Spektralanalyse