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Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 Ein Blick ----- Einblick Wie wir in „Mathematik für.

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1 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Ein Blick ----- Einblick Wie wir in „Mathematik für alle“ die Welt der Mathematik sehen Folie 1

2 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Ein Weg ist gangbar vorbereitet Ich bin für Sie der Alpenverein der Mathematik! Folie 2 Venediger Höhenweg, gebaut vom Alpenverein

3 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Exponentialfunktion Basis k >1 Basis k mit 0 { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://images.slideplayer.org/9813735/31/slides/slide_2.jpg", "name": "Prof.Dr.", "description": "Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Exponentialfunktion Basis k >1 Basis k mit 0

4 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Exponentialfunktion Basis k >1 Basis k mit 0 { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://images.slideplayer.org/9813735/31/slides/slide_3.jpg", "name": "Prof.Dr.", "description": "Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Exponentialfunktion Basis k >1 Basis k mit 0

5 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Exponentialfunktion Folie 5 Exp-fkt Eine Basis reicht für alles! Aber welche Basis???

6 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus e-Funktion, das halbe Geheimnis Folie 6 hin

7 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus e-Funktion, das halbe Geheimnis e-Funktion ist diejenige Exponentialfunktion, die in (0/1) die Steigung 1 hat. Folie 7

8 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Die Welt der Umkehrfunktionen Folie 8

9 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Umkehr-Fragen Umkehr-Funktionen Umkehr-Relationen Folie 9

10 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Umkehr-Fragen, Umkehr-Funktionen, Umkehr-Relationen Frage: Welchen Wert hat f an der Stelle 2? Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4 Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4? Antwort: +2 und -2 sind Lösungen, f(+2)=4 und f(-2)=4 Visualisierung der Umkehrfrage: Folie 10

11 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Umkehr-Fragen, Umkehr-Funktionen, Umkehr-Relationen Frage: Welchen Wert hat f an der Stelle 2? Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4 Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4? Antwort: +2 und -2 sind Lösungen, f(+2)=4 und f(-2)=4 Visualisierung der Umkehrfrage: Gehe von der y-Achse zur Kurve und dann zur x-Achse Folie 11 Umkehrfkt

12 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Umkehr-Fragen, Umkehr-Funktionen, Umkehr-Relationen Frage: Welchen Wert hat f an der Stelle 2? Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4 Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4? Antwort: +2 und -2 sind Lösungen, f(+2)=4 und f(-2)=4 Visualisierung der Umkehrfrage: Gehe von der y-Achse zur Kurve und dann zur x-Achse Gehe von der x-Achse zum Graphen der an der Winkel halbierenden gespiegelten Kurve und dann zur y-Achse. Es ist die Umkehrrelation. Dies ist hier keine Funktion. Der Wert ist nicht eindeutig bestimmt. Folie 12 Umkehrfkt

13 Umkehr-Fragen, Umkehr-Funktionen, Umkehr-Relationen Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Frage: Welchen Wert hat f an der Stelle 2? Antwort: 4 ist der Wert, f(2)=4 Umkehrfrage: An welchen Stellen hat f hat den Wert 4? Antwort: +2 und -2 sind Lösungen, f(+2)=4 und f(-2)=4 Formalisierung der Umkehrfrage: Bilde (hier stückweise) die Umkehrfunktion Folie 13 Umkehrfkt

14 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Exponentialfunktion Eulersche e-Funktion der natürliche Logarithmus die ln-Funktion der ln Folie 14 Umkehrfkt

15 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Exponentialfunktion Eulersche e-Funktion der natürliche Logarithmus die ln-Funktion der ln Folie 15 Umkehrfkt

16 Wie langsam wächst der Logarithmus? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Folie 16

17 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Funktion frisst Umkehrfunktionen für Hauptwerte Folie 17 Umkehrfkt

18 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Die Welt der Umkehrfunktionen für Hauptwerte Folie 18

19 Funktionsgleichung y = f(x) Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Grundtypen GeoGebra Potenzfunktion Wurzelfunktion Exponentialfunktion Logarithmus Trigonometrische Funktion Arcus-Funktion Folie 19

20 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Übung mit Funktionsgraphen Folie 20 leer

21 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Übung mit Funktionsgraphen Folie 21 leer

22 Vierer-Übung Erklären Sie sich hier die Gleichungen Die, die nebeneinander sitzen, skizzieren 3 Exponential- funktionen. Die beiden anderen müssen die Funktionsgleichung herausbekommen 6 Minuten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Folie 22

23 Vierer-Übung Erklären Sie sich hier die Gleichungen Die, die nebeneinander sitzen, skizzieren 3 Exponential- funktionen. Die beiden anderen müssen die Funktionsgleichung herausbekommen 6 Minuten Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Folie 23

24 Differentiale Folie 24 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus

25 Differentiale Parabel Sekanten Folie 25 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Nur zur Vertiefung SekStF

26 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Wenn man B an A heran- rücken lässt, wird das Steigungsdreieck der Sekante immer kleiner und man erhält die Tangente in A. Das Differential Also untersuchen wir für jeden Punkt einer Funktion: Welche Steigung hat die Funktion in dem Punkt? Folie 26 SekStF Tangentensteigung in A=

27 Das Differential Also untersuchen wir für jeden Punkt einer Funktion: welche Steigung hat die Funktion in dem Punkt? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Folie 27 Fahrrad hier Fahrrad pur

28 Das Differential Also untersuchen wir für jeden Punkt einer Funktion: welche Steigung hat die Funktion in dem Punkt? Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Folie 28 Fahrrad hier Fahrrad pur

29 Die Ableitung f ‘ ist die Funktion, die für jedes x die Steigung der Funktion f angibt. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Die rote Funktion ist also die Ableitung von der blauen. Folie 29 Diff pur Fahrrad hier Fahrrad pur

30 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Übung 2 mit Funktionsgraphen Folie 30 Fahrrad frei Poly

31 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Übung 2 mit Funktionsgraphen Folie 31

32 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Übung 3 mit Funktionsgraphen und Ableitungen Folie 32 F-Nst-poly

33 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus Übung 3 mit Funktionsgraphen Folie 33 Ableitung Sattel Extremum Breit Extremum Sattel breit breites breiter

34 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus e-Funktion, das ganze Geheimnis e-Funktion ist diejenige Exponentialfunktion, die in (0/1) die Steigung 1 hat. Folie 34 Teil 2 AbleitenTeil 1

35 Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus e-Funktion, das ganze Geheimnis e-Funktion ist diejenige Exponentialfunktion, die in (0/1) die Steigung 1 hat. Die e-Funktion ist diejenige Funktion, die mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Folie 35 Teil 2 AbleitenTeil 1


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