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1 Pyramide im Würfel Grafischer Beweis für die Formel des Volumens einer Pyramide.

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Präsentation zum Thema: "1 Pyramide im Würfel Grafischer Beweis für die Formel des Volumens einer Pyramide."—  Präsentation transkript:

1 1 Pyramide im Würfel Grafischer Beweis für die Formel des Volumens einer Pyramide

2 2 Pyramide im Würfel Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten a.

3 3 Pyramide im Würfel Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten a. Eine Pyramide mit der selben Grundfläche wie der Würfel, also a * a und der Höhe a ist in den Würfel gestellt. Die Spitze ist die hintere, obere Ecke des Würfels.

4 4 Pyramide im Würfel Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten a. Eine Pyramide mit der selben Grundfläche wie der Würfel, also a * a und der Höhe a ist in den Würfel gestellt. Die Spitze ist die hintere, obere Ecke des Würfels. Eine 2. Pyramide mit der Grundfläche der linken Seitenfläche des Würfels und der Höhe a wird ….

5 5 Pyramide im Würfel Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten a. Eine Pyramide mit der selben Grundfläche wie der Würfel, also a * a und der Höhe a ist in den Würfel gestellt. Die Spitze ist die hintere, obere Ecke des Würfels. Eine 2. Pyramide mit der Grundfläche der linken Seitenfläche des Würfels und der Höhe a wird seitlich zur 1. Pyramide geschoben, bis ….

6 6 Pyramide im Würfel Dies ist ein Schrägriss eines Würfel mit den Seitenkanten a. Eine Pyramide mit der selben Grundfläche wie der Würfel, also a * a und der Höhe a ist in den Würfel gestellt. Die Spitze ist die hintere, obere Ecke des Würfels. Eine 2. Pyramide mit der Grundfläche der linken Seitenfläche des Würfels und der Höhe a wird seitlich zur 1. Pyramide geschoben, bis diese innerhalb der Würfelkontur Platz hat.

7 7 Pyramide im Würfel Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe a wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge- fügt, …

8 8 Pyramide im Würfel Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe a wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge- fügt, bis diese …..

9 9 Pyramide im Würfel Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe a wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge- fügt, bis diese innerhalb der Würfelkonturen Platz hat.

10 10 Pyramide im Würfel Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe a wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge- fügt, bis diese innerhalb der Würfelkonturen Platz hat. Wenn alle drei Pyramiden in dem Würfel mit dem Volumen a * a * a Platz haben, hat jede Pyramide 1/3 Volumen des Würfels. Für beide geometrischen Körper gilt: Grundfläche A = a * a und die Höhe h = a.

11 11 Pyramide im Würfel Die 3. Pyramide mit der Grundfläche der rechten Seitenfläche des Würfels und der Höhe a wird ebenfalls seitlich zu den Pyramiden 1 und 2 ge- fügt, bis diese innerhalb der Würfelkonturen Platz hat. Somit ist die Formel des Volumens der Pyramide mit bewiesen.

12 12 Pyramide im Würfel Beim Würfel war die Be- weisführung sehr klar und einfach. Wie sieht es nun beim Quader und bei unregel- mäßigen Pyramiden aus? Jede Pyramide hat eine andere Grundfläche und Höhe.

13 13 Pyramide im Würfel Der Quader hat drei Seitenkanten: a = 6cm b = 9cm c = 3cm V quad = a * b * c = 6 * 9 * 3 = = 162 cm³

14 14 Pyramide im Würfel Die 1. Pyramide hat mit dem Quader die selbe Grundfläche. Grundfläche A = a * b und die Höhe h = c Pyramide 1: V = a * b * c / 3 = 6 * 9 * 3 / 3 = 54 cm³

15 15 Pyramide im Würfel Pyramide 1: V = a * b * c / 3 = 6 * 9 * 3 / 3 = 54 cm³ Pyramide 2: V = a * c * b / 3 = 6 * 3 * 9 / 3 = 54 cm³ Bei der 2. Pyramide ist die Grundfläche die linke Seitenfläche des Quaders. Grundfläche A = a * c und die Höhe h = b

16 16 Pyramide im Würfel Pyramide 1: V = a * b * c / 3 = 6 * 9 * 3 / 3 = 54 cm³ Pyramide 2: V = a * c * b / 3 = 6 * 3 * 9 / 3 = 54 cm³ Pyramide 3: V = b * c * a / 3 = 9 * 3 * 6 / 3 = 54 cm³ Bei der 3. Pyramide ist die Grundfläche die vordere Seitenfläche des Quaders. Grundfläche A = b * c und die Höhe h = a

17 17 Pyramide im Würfel Alle drei Pyramiden sind im Quader eingefügt. Pyramide 1: V = a * b * c / 3 = 6 * 9 * 3 / 3 = 54 cm³ Pyramide 2: V = a * c * b / 3 = 6 * 3 * 9 / 3 = 54 cm³ Pyramide 3: V = b * c * a / 3 = 9 * 3 * 6 / 3 = 54 cm³ Quader : V quad = 162 cm³ Pyramide: V quad / 3 = 162 / 3 = 54 cm³ Die Kurzform dieser Erklärung ist als PDF-Datei zum Herunterladen bereitHerunterladen

18 18 Danke für´s Mitdenken! Euer Pyramide im Würfel


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