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Anfang Präsentation 17. November, 2004 Bondgraphen I Bis anhin haben wir uns mit der symbolischen Manipulation von differentialalgebraischen Gleichungssystemen.

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1 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Bondgraphen I Bis anhin haben wir uns mit der symbolischen Manipulation von differentialalgebraischen Gleichungssystemen befasst. Die Frage, wo die Gleichungen herkommen, die die Physik der untersuchten Systeme beschreiben, haben wir eigentlich nur am Rande gestreift. Aus diesen Gründen mussten wir uns auf sehr einfache Systeme, wie z.B. einfache lineare elektrische Schaltkreise beschränken, deren Gleichungen als bekannt angenommen werden dürfen. Wir wollen uns nun der Frage der Modellierung im Sinne der Ermittlung korrekter mathematischer Beschreibungen von Systemen befassen, die zunächst unbekannt sind.

2 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Übersicht Energie und LeistungEnergie und Leistung Leistungsflüsse akausale Bondgraphenakausale Bondgraphen Beispiel Kausale BondgraphenKausale Bondgraphen

3 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Bondgraphen II Allen physikalischen Systemen gemeinsam sind die Erhaltungssätze für Energie und Masse. Bondgraphen befassen sich intim mit der Erhaltung der Energie in einem physikalischen System. Nachdem die Energie in einem geschlossenen System erhalten wird, kann Energie eigentlich nur durch drei Mechanismen verändert werden: Energie kann gespeichert werden. Energie kann von einem Ort zu einem anderen transportiert werden. Energie kann von einer Form in eine andere umgewandelt werden.

4 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Bondgraphen III Die Menge von Energie (E), die an einem Ort lokalisiert ist, kann nur ändern, wenn entweder zusätzliche Energie zufliesst oder aber wenn Energie abfliesst. In beiden Fällen benötigen wir somit Energieflüsse, die als Ableitungen der Energie bezüglich der Zeit definiert sind. P wird auch als Leistung (Power) bezeichnet. Die Energie wird in Joule [J] gemessen, während die Leistung in Watt [W] angegeben wird. P = dE/dt

5 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Bondgraphen IV In allen physikalischen Systemen können Energieflüsse als Produkt zweier anderer physikalischer Variablen geschrie- ben werden, deren eine extensiv (somit proportional zur Menge), deren andere jedoch intensiv (unabhängig von der Menge) ist. Bei gekoppelten Energieflüssen mag es nötig sein, einen einzelnen Energiefluss als Summe von Produkten solcher adjugierter Variablen zu schreiben. Beispiele: P el = u · i P mech = f · v [W] = [V] · [A] = [N] · [m/s] = [kg · m 2 · s -3 ]

6 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Bondgraphen V Die Bondgraphenmodellierung arbeitet mit der graphischen Darstellung von Energieflüssen. Dabei werden die Energieflüsse als gerichtete Harpune dargestellt. Die zwei adjugierten Variablen, die den Energiefluss bewerkstelligen, werden oberhalb (intensiv: Potentialvariable, e ) und unterhalb (extensiv: Fluss- variable, f ) der Harpune abgebildet. Die Harpune hat ihren Haken immer links in Pfeilrichtung, und oberhalb bezeichnet die Seite mit dem Haken. e f P = e · f e: Einsatz (effort) f: Fluss (flow)

7 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Quellen in Bondgraphendarstellung U 0 i v a v b U 0 + U 0 i SE I 0 I v a v b u 0 SF u I 0 Spannung und Strom gegenläufig Energie wird ins System eingespeist

8 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Passive elektrische Elemente in Bondgraphendarstellung R i v a v b u C i v a v b u L i v a v b u u i R u i C u i I Spannung und Strom gleichläufig Energie wird dem System entzogen

9 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Verzweigungen (Junctions) 0 e1e1 e2e2 e3e3 f1f1 f2f2 f3f3 1 e1e1 e2e2 e3e3 f1f1 f2f2 f3f3 e 1 = e 2 e 2 = e 3 f 1 – f 2 – f 3 = 0 f 1 = f 2 f 2 = f 3 e 1 – e 2 – e 3 = 0

10 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Ein Beispiel I

11 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Ein Beispiel II v 0 = 0 P = v 0 · i 0 = 0

12 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Ein Beispiel III

13 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Kausale Bondgraphen Jeder Bond definiert zwei Variablen, den Einsatz e und den Fluss f. Somit werden zwei Gleichungen benötigt, um die beiden Variablen zu ermitteln. Es wird immer eine Gleichung links, die andere rechts vom Bond gerechnet. Ein vertikaler Querstrich symbolisiert die Seite, bei welcher der Fluss gerechnet wird. e f

14 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Kausalisierung der Quellen U 0 = f(t) I 0 = f(t) U 0 i SE SF u I 0 Die Quelle berechnet den Einsatz. Der Fluss muss somit rechts berechnet werden. Die Quelle berechnet den Fluss. Die Kausalität der Quellen ist fest.

15 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Kausalisierung der passiven Elemente u i R u = R · i u i R i = u / R u i C du/dt = i / C u i I di/dt = u / I Die Kausalität der Widerstände ist frei. Die Kausalität der Speicher ist durch den Wunsch nach der Verwendung von Integratoren statt Differentiatoren bestimmt.

16 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Kausalisierung der Verzweigungen 0 e1e1 e2e2 e3e3 f1f1 f2f2 f3f3 e 2 = e 1 e 3 = e 1 f 1 = f 2 + f 3 1 e1e1 e2e2 e3e3 f1f1 f2f2 f3f3 f 2 = f 1 f 3 = f 1 e 1 = e 2 + e 3 Verzweigungen des Typus 0 haben nur eine Flussgleichung, und müssen daher genau einen Kausalitätsstrich aufweisen. Verzweigungen des Typus 1 haben nur eine Einsatzgleichung, und müssen daher (n-1) Kausalitätsstriche aufweisen.

17 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Kausalisierung des Bondgraphen U0.e U0.f L1.fL1.e R1.eR1.f R2.f R2.e C1.fC1.e U0.e R1.f U 0.e = f(t) U 0.f = L 1.f + R 1.f dL 1.f /dt = U 0.e / L 1 dC 1.e /dt = C 1.f / C 1 C 1.f = R 1.f – R 2.f R 2.f = C 1.e / R 2 R 1.e = U 0.e – C 1.e R 1.f = R 1.e / R 1

18 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Referenzen I Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 7.Continuous System ModelingChapter 7 Cellier, F.E. (1992), Hierarchical non-linear bond graphs: A unified methodology for modeling complex physical systems, Simulation, 58(4), pp Hierarchical non-linear bond graphs: A unified methodology for modeling complex physical systems Cellier, F.E., H. Elmqvist, and M. Otter (1995),Modeling from physical principles, The Control Handbook (W.S. Levine, ed.), CRC Press, Boca Raton, FL, pp Modeling from physical principles

19 Anfang Präsentation 17. November, 2004 Referenzen II Cellier, F.E. (1997), World Wide Web - The Global Library: A Compendium of Knowledge About Bond Graph Research, Proc. ICBGM'97, 3 rd SCS Intl. Conf. on Bond Graph Modeling and Simulation, Phoenix, AZ, pp World Wide Web - The Global Library: A Compendium of Knowledge About Bond Graph Research


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