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Physische Datenorganisation Ó AIFB SS2001 1 7.2 B-Bäume / B*-Bäume als Hilfsmittel zur Indexorganisation Literatur: N. Wirth, "Algorithmen und Datenstrukturen",

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1 Physische Datenorganisation Ó AIFB SS B-Bäume / B*-Bäume als Hilfsmittel zur Indexorganisation Literatur: N. Wirth, "Algorithmen und Datenstrukturen", Teubner-Verlag, Stuttgart Idee: - mehrstufiger Index - verbinde Einfügen und Löschen von Sätzen mit Restrukturierung der Index-Organisation Ziel: - gleichmäßiger Füllgrad der Blöcke der Hauptdatei, - keine Degeneration der verwendeten Baumstruktur.

2 Physische Datenorganisation Ó AIFB SS Definitionen aus der Graphentheorie(1/12) Gerichteter Graph: G = (W, U) mit Knotenmenge W und Kantenmenge U W W Ein Tupel (a,b) U heißt gerichtete Kante oder Pfeil. a ist unmittelbarer Vorgänger von b, b ist unmittelbarer Nachfolger von a. Notation: a b ab Ein Tupel (a,b) U heißt gerichtete Kante oder Pfeil. a ist unmittelbarer Vorgänger von b, b ist unmittelbarer Nachfolger von a. Notation: a b

3 Physische Datenorganisation Ó AIFB SS Definitionen aus der Graphentheorie(2/12) Definitionen aus der Graphentheorie (2/12) Gegeben sei eine Kantenfolge –(a,a 1 ), (a 1,a 2 ),...,(a L-1,b) U. Eine solche Kantenfolge nennt man gerichteten Weg der Länge L von a nach b. a ist Vorgänger von b. b ist Nachfolger von a. Notation: a b a b

4 Physische Datenorganisation Ó AIFB SS Definitionen aus der Graphentheorie (3/12) Ein Baum ist ein gerichteter Graph G = (W, U) mit: (i) Es existiert genau ein w 0 W mit: w 0 hat keinen Vorgänger. Dieses w 0 heißt Wurzel von G. (ii) Außer der Wurzel w 0 hat jeder Knoten w W genau einen unmittelbaren Vorgänger. (iii)Für jeden Knoten w W existiert genau ein Weg von der Wurzel w 0 nach w.

5 Physische Datenorganisation Ó AIFB SS Definitionen aus der Graphentheorie (4/12) Zulässige Baumstruktur Keine Baumstruktur Bemerkung: (i) (iii) (i) (ii) (iii)

6 Physische Datenorganisation Ó AIFB SS Definitionen aus der Graphentheorie(5/12) Definitionen aus der Graphentheorie (5/12) Behauptung: (i) (iii) (i) (ii) (iii) Beweis: Angenommen, w W beliebig, w 0 W Wurzel, w w 0 Dann gilt: (iii): genau ein Weg w 0 w somit: entweder w 0 w oder w u w Somit gibt es einen unmittelbaren Vorgänger u von w.´(ggf. u =w 0 ) Sei nun v W mit v w: (mit (iii) gilt) u v (ii) w 0 u w w 0 v w

7 Physische Datenorganisation Ó AIFB SS Definitionen aus der Graphentheorie (6/12) Alternative rekursive Definition von Baum: (r1) G = ({w}, Ø) ist ein Baum mit Wurzel w. (r2) Sei für i =1..n G i = (W i, U i ) ein Baum mit Wurzel w i, W i W j = Ø für i j, W :: W i w 0 W = Dann ist auch G' = (W {w 0 }, U {(w 0, w i ) | i = 1,..,n} ) ein Baum, und zwar mit Wurzel w 0. n i=1 U = i=1 UiUi n

8 Physische Datenorganisation Ó AIFB SS Definitionen aus der Graphentheorie (7/12) (r3)Nur die so erzeugten Graphen sind Bäume n

9 Physische Datenorganisation Ó AIFB SS Definitionen aus der Graphentheorie (8/12) Begriffe zu Bäumen Sei G = (W, U) Baum mit Wurzel w 0 und seien a, b, c W. Falls (a,b) U, dann heißt -a Vater von b und -b Sohn von a. a bc

10 Physische Datenorganisation Ó AIFB SS Definitionen aus der Graphentheorie (9/12) Falls (a,b) U und (a,c) U, dann heißt b (c) Bruder von c (b). Der Ausgangsgrad (a) eines Knotens a ist definiert als die Anzahl der unmittelbaren Nachfolger von a: (a) ::= #{c | (a,c) U }. Ein Knoten w eines Baumes heißt Blatt genau dann, wenn (w) = 0. Die Höhe H(w) eines Knotens w in einem Baum G = (W,U) ist die Länge des Weges von der Wurzel w 0 zum Knoten w. Ist w ein Blatt, so bezeichnet man diesen Weg von w0 nach w als Ast.

11 Physische Datenorganisation Ó AIFB SS Definitionen aus der Graphentheorie (10/12) Die Höhe eines Baumes G = (W,U) ist H(G) := max{H(a) | a W } Die Ordnung eines Baumes G = (W,U) ist r(G) := max{ (a) | a W } Ein Teilbaum zu einem Knoten a U ist ein Baum G a = (W a, U a ) mit - W a = {a } {b W | b ist Nachfolger von a in G } und - U a = U (W a W a )

12 Physische Datenorganisation Ó AIFB SS Definitionen aus der Graphentheorie (11/12) Geordneter Baum ( W, U, < ): - (W, U) ist ein Baum. - < ist eine Teilordnung auf W, die jeweils alle Brüder anordnet. Sei w W, und seien a, b, c,... Söhne von w. Teilordnung: a < b < c <...; Es kann vom ersten / zweiten /... / nächsten / vorhergehenden / letzten Sohn von w gesprochen werden.

13 Physische Datenorganisation Ó AIFB SS Definitionen aus der Graphentheorie (12/12) In der graphischen Darstellung werden die Brüder bzgl. < von links nach rechts aufsteigend angeordnet w abc


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