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Biegung© Prof. Dr. Remo Ianniello Biegung © Copyright: Der Inhalt dieser Folien darf - mit Quellenangabe - kopiert und weiter gegeben werden. In diesem.

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2 Biegung© Prof. Dr. Remo Ianniello Biegung

3 © Copyright: Der Inhalt dieser Folien darf - mit Quellenangabe - kopiert und weiter gegeben werden. In diesem Foliensatz geht es um: Inhalt © Prof. Dr. Remo Ianniello Biegung Biegespannung Flächenträgheitsmoment Satz von Steiner Durchbiegung Folie 2 © Prof. Dr. Remo Ianniello

4 Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 3 Biegespannung

5 Aufgabe Quiz Biegung © Prof. Dr. Remo IannielloFolie 4 Die Balken in der Skizze denke man sich aus lauter waagerechten Schichten bestehend, etwa wie ein Buch. Die Schichten sind aber miteinander verwachsen. Durch die Kräfte am Ende der Balken werden die Balken tordiert / gestreckt / gebogen / gestaucht. In der oberen Hälfte jedes Balkens herrscht Zug / Druck / Schub / Torsion, in der unteren Druck. Nur die mittlere Schicht ist nicht gespannt. Diese Schicht besteht aus neutralen Fasern. Krümmt sich der Balken, werden die die neutralen Fasern länger / kürzer / bleiben gleich lang. Diese verschiedenen Spannungen werden als Torsions- / Schub- / Biege- Spannung zusammengefasst. Am stärksten ist die Biegespannung in der obersten / mittleren / untersten Schicht. © Prof. Dr. Remo Ianniello

6 Biegespannung Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello Bei Zug-Druck gilt für die Spannung: mit A = Querschnittsfläche Gilt das auch bei Biegung ? F und A sind bei beiden Balken gleich. Ist dann auch in beiden Balken die Biegespannung gleich? © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 5 σ = F/A

7 Aufgabe Quiz Biegemoment Biegung © Prof. Dr. Remo IannielloFolie 6 Momenten-Bilanz σ b hängt vom Biegemoment M b = F∙r / nur von der Belastungskraft F ab. Dieses Biegemoment M b wird im Querschnitt des Bretts gelöscht / kompensiert / verstärkt / geschwächt. Dazu wirken im Querschnitt Kräfte: Zugkräfte in der oberen - und Scher- / Zug-/ Druck-Kräfte in der unteren Hälfte. Diese Kräfte erzeugen eine Torsion, Kraft, ein Gegenmoment zum Biegemoment. Der Hebelarm im Querschnitt ist sehr lang / breit / kurz, daher müssen die Kräfte dort entsprechend parallel / groß / klein / senkrecht sein. © Prof. Dr. Remo Ianniello

8 Aufgabe Biegung © Prof. Dr. Remo IannielloFolie 7 Springer auf dem Brett Ein Springer steht mit seinen 81 kg am Ende eines Sprungbrettes. Betrachten Sie den Querschnitt des Brettes 3,4 m hinter dem Mann. Das Brett ist 8 cm hoch und 40 cm breit. a)Wie groß ist das Moment M b, mit dem der Springer eine Biegung im Brett verursacht? b)Würde diese Biegung durch zwei einzelne, antiparallele Kräfte im Querschnitt kompensiert (blau): Wie groß wären die Kräfte, wenn sie mittig in der oberen bzw. unteren Hälfte wirken würden? c)Wie sähe das Kräfteprofil im Querschnitt aus?

9 Aufgabe Quiz Biegespannung Biegung © Prof. Dr. Remo IannielloFolie 8 © Prof. Dr. Remo Ianniello Hebelarm L Biegespannung (Zug) Biegespannung (Druck) neutrale Faser (spannungsfrei) gestreckte Randfaser gestauchte Randfaser größte Biegepannung Biegespannung (Druck) gestreckte Randfaser Biegespannung (Zug) gestauchte Randfaser größte Biegepannung Hebelarm L

10 Aufgabe Quiz Biegespannung Biegung © Prof. Dr. Remo IannielloFolie 9 Stützwirkung Obwohl sich Biegespannungen aus Zug- und Druck-Spannungen zusammen setzen, sind die zulässigen Spannungen für Biegung größer als die für Zug oder Druck. Beispiel Einsatzstahl 18CrNi8 R e = 785 N/mm 2 <  bF = N/mm 2 Wie ist dieser Unterschied zu erklären? Die Festigkeitswerte bei Biegebelastung sind infolge der Stützwirkung größer als bei Zug- bzw. Druck-Belastung © Prof. Dr. Remo Ianniello

11 Biegespannung Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello Schmetterlings- Gleichung Flächenträgheits- Moment I Widerstands-Moment W © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 10 Gleichung der Biegespannung

12 Aufgabe Biegespannung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 11 Sprungbrett Ein stämmiger Herr steht am Ende eines Sprungbrettes, 4,5 m von der Einspannung entfernt. Mit seinen 98 kg verbiegt er das Brett (W = 10 6 mm³) bis die Randfasern stark unter Biegespannung stehen. a)Wie groß ist diese Biegespannung? b)Wo tritt sie auf? c)Das Brett ist 40 cm breit und 10 cm dick. In welchem Abstand von der neutralen Faser ist die Spannung nur halb so groß? © Prof. Dr. Remo Ianniello

13 Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 12 Flächenträgheits- Moment (FTM)

14 Aufgabe Quiz Flächenträgheitsmoment Biegung © Prof. Dr. Remo IannielloFolie 13 Das Flächenträgheitsmoment (FTM) I stellt den Widerstand gegen die Verbiegung dar. Aus der Schmetterlingsgleichung wird klar: © Prof. Dr. Remo Ianniello Fazit: Je größer das FTM ist, um so höher / geringer ist bei gegebenem M b die entstehende Biegespannung  b höher / geringer ist (bei vorgegebenem  b ) das anwendbare Moment M b, kurz: desto höher / geringer ist die Verbiegbarkeit.

15 Aufgabe Quiz Flächenträgheitsmoment Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello Stabilität Man kann einen Stab gegen Verbiegung stabilisieren, ohne mehr Material zu verwenden, in dem man seine Querschnittsfläche anders anordnet. Sie sollen z.B. den Stab eines hydraulischen Hebels besser gegen Biegung auslegen ohne Mehrausgaben für das Material zu benötigen. a)Wie könnte der Querschnitt geändert werden, um die höhere Stabilität gegen Biegung zu erreichen? b)Wie könnte man die Stabilität eines Flachstabes gegen Verbiegung erhöhen? © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 14

16 Aufgabe Quiz Flächenträgheitsmoment Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello Stabilität Man kann einen Stab gegen Verbiegung stabilisieren, ohne mehr Material zu verwenden, in dem man seine Querschnittsfläche anders anordnet. a)Wie könnte man die Stabilität einer Container-Wand erhöhen? b)Kennen Sie Beispiele aus der Praxis, bei denen die Oberflächengestaltung eine höhere Stabilität bewirkt? © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 15

17 Aufgabe Quiz Querschnitts-Größen Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 16 Wo stehen in Ihrer Formelsammlung die a)Flächenträgheitsmomente (FTM) für folgende Querschnitte ? b)Widerstandsmomente (W) für dieselben Querschnitte ? © Prof. Dr. Remo Ianniello

18 Aufgabe Widerstandsmoment Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello Achse Eine Achse aus Vergütungsstahl C 60 E mit d = 40 mm wird auf Biegung beansprucht. Die Sicherheitszahl ist hier v = 3 zu setzen. a)Wie groß ist das maximal erlaubte Biegemoment? b)Wie groß ist die Biegespannung in einer Faser, die von der Randfaser einen Abstand von 5 mm hat? © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 17

19 Aufgabe Widerstandsmoment Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello Welle Eine Welle aus S 185 mit d = 36 mm wird auf Biegung beansprucht. Die zulässige Biegespannung betrage  b zul = 183 N/mm 2. a)Wie groß ist das axiale Widerstandsmoment? b)Wie groß ist das maximal erlaubte Biegemoment? c)Wie erhält man bei bekanntem  b max (=  b zul ) die Biegespannung von  by in einer Faser, die von der Rand- faser einen Abstand von 6 mm hat? © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 18

20 Aufgabe Quiz Widerstandsmoment Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 19 Alle Balken in der Skizze sind gleich breit. Die Kräfte wirken im selben Abstand von der Mauer (gleicher Hebelarm). Ein Versuch zeigt: Bricht der Balken A durch die Last F, so bricht der Balken B, der doppelt so hoch ist, erst durch 4F. Balken C ist drei mal so hoch wie A und bricht erst bei 9F. Die Höhen der Balken verhalten sich wie 1 : 2 : 3, ihre Tragfähigkeiten aber wie 1 : 4 : 9 oder 1² : 2² : 3². Daher wächst die Tragfähigkeit linear / quadratisch mit der Höhe. Dagegen bewirkt 2fache und 3fache Breite nur 2fache und 3fache Tragfähigkeit. Daher wächst die Tragfähigkeit linear / quadratisch mit der Breite. © Prof. Dr. Remo Ianniello

21 Widerstandsmoment Das Volumen einer Walze V = b·  /4·h² wächst mit dem Quadrat des Durchmessers h und linear zur Breite b. Daher ist die Tragfähigkeit des Balkens dem Volumen der „eingeschriebenen“ Walzen proportional. Wächst die Höhe, so wächst die Tragfähigkeit quadratisch! Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 20 © Prof. Dr. Remo Ianniello

22 Aufgabe Quiz Widerstandsmoment Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 21 Je größer das Volumen der einbeschriebenen Walze, desto schwerer brechen die Balken. Die Walzen A und B haben gleiches Volumen. Also brechen die Balken A und B durch dieselbe Last. Die Querschnitts- flächen der Balken A und B sind aber verschieden! Balken B und C haben dieselbe Querschnitts- fläche, Balken C bricht aber bei kleinerer Last. Warum? Weil das Volumen der Walze in C kleiner ist. Im selben Verhältnis hat sich seine Tragfähigkeit verringert. © Prof. Dr. Remo Ianniello

23 Aufgabe Widerstandsmoment Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello Flachstahl Ein Flachstahl aus E 335 mit den Abmessungen 25 mm  10 mm soll das Biegemoment M b = 100 Nm aufnehmen. a)Wie groß sind axiales Flächen- und Widerstandsmoment, wenn der Flachstahl hochkant gebogen wird? b)Wie groß sind I und W, wenn der Flachstahl flachkant gebogen wird? © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 22

24 Fragen Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello 1)Was unterscheidet die Biegespannung von der Zugspannung? Sie ist nicht von der Kraft pro Querschnitt abhängig. 2)Wovon hängt das Widerstandsmoment ab? A) vom Werkstoff, B) vom E-Modul, C) von der Querschnittsgeometrie, D) von der Biegespannung? C) von der Querschnittsgeometrie 3)Was ist die Bedeutung des axialen Flächenträgheitmoments I ? Widerstand gegen die Verbiegung. 4)Welche geometrische Größe ist für die Biegestabilität maßgebend? Der durchschnittliche Abstand der Querschnittsfläche von der Biegeachse (neutralen Faser), das FTM, das Widerstandsmoment 5)Wie berechnet man bei unsymmetrischen Querschnitten die Position der Biegeachse? Die Biegeachse verläuft immer durch den Schwerpunkt der Querschnittsfläche. Man bildet den gemeinsamen Schwerpunkt. 6)Wie hängen Randfaserabstand e, Widerstandsmoment W und lächenträgheitsmoment I miteinander zusammen? I = W·e Fragen © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 23

25 Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 24 Satz von Steiner

26 Aufgabe Quiz Satz von Steiner Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello 1)Komplizierte geom. Flächen werden unterteilt. 2)Berechnung der Position von Gesamtschwerpunkt S 0 und der Teilschwerpunkte S i. 3)Abstand L i der Teilschwerpunkte vom Gesamtschwerpunkt bestimmen 4)Satz von Steiner auf jede Teilfläche anwenden: 5)Teil-Trägheitsmomente summieren: Was meinen Sie? Wie wird das Trägheitsmoment von „komplizierten“ Flächen berechnet? © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 25

27 Aufgabe Satz von Steiner Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 26 Winkelstahl Das FTM eines Winkelstahls 50 x 50 x 5 beträgt laut Tabelle I x = 11 cm 4. a)Verifizieren Sie diesen Wert, indem Sie den Querschnitt in zwei Teilflächen zerlegen und die FTM der beiden Teilflächen addieren. b)Wie groß ist I y ? c)Biegt man den Winkelstahl um die 45° Achse , ergibt sich ein Wert von I  = 17,4 cm 4. Warum ist dieser Wert größer als der in a) d)Welche Biegeachse müsste demnach den kleinsten Wert für I von 4,59 liefern? © Prof. Dr. Remo Ianniello

28 Satz von Steiner Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello Da nur die Abstände von der Biegeachse eingehen, und nicht die x-Position, darf man Teile parallel zur Achse verschieben. © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 27

29 Aufgabe Quiz Satz von Steiner Biegung © Prof. Dr. Remo IannielloFolie 28 Satz von Steiner Stimmt es, dass das Widerstandsmoment einer Teilfläche den kleinsten Wert annimmt, wenn seine Schwerachse mit der gemeinsamen Biegeachse übereinstimmt? Begründen Sie Ihre Antwort. Zur Erinnerung: Der Gesamtschwerpunkt liegt auf der gemeinsamen Biegeachse. © Prof. Dr. Remo Ianniello

30 Aufgabe Satz von Steiner Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello I – und T – Träger Auf einen Träger mit rechteckigem Querschnitt wirkt ein Biegemoment von M b = 180 Nm. Der Träger wird um die x-Achse gebogen. Wie groß sind … a)das axiale Flächenmoment? b)das axiale Widerstandsmoment? c)die Biegespannung ? d)Wie groß ist das axiale Flächenmoment I x desselben rechteckigen Querschnitts, wenn er ein Teil eines T-Profils ist? e)Wie groß ist das Flächen- trägheitsmoment I y des T- Querschnitts? © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 29

31 Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 30 Durchbiegung

32 Begriffe  Biegemomente M b verursachen die Krümmung k einer vorher geraden Trägerachse.  Krümmungsradius  = Kehrwert der Krümmung k.  Durchbiegung w = Abweichung der neutralen Faser (bei Belastung) von der Höhe ohne Belastung an einer Stelle.  f = maximale Durchbiegung (oft auch nur „Durchbiegung“ genannt) Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 31 © Prof. Dr. Remo Ianniello

33 Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 32 Die Biegelinie w(x) = elastische Linie = Verlauf w(x) der neutralen Faser eines belasteten Trägers über die Trägerlänge. gibt die Durchbiegung w an der Stelle x des Balkens an © Prof. Dr. Remo Ianniello

34 Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 33 Je größer das Biegemoment M b, desto so stärker wird der Träger gekrümmt (k groß) kleiner wird der Krümmungsradius . Je weniger elastisch ein Werkstoff (E-Modul groß), desto kleiner die Krümmung, größer der Krümmungsradius  Je starrer sich ein Träger gegen Biegung verhält, desto größer das Flächenträgheitsmoment I kleiner die Krümmung. Daraus ergibt sich folgender Zusammenhang: +   E +   I = © Prof. Dr. Remo Ianniello

35 Durchbiegung „Reine Biegung“: Das Biegemoment wird am einen Ende durch ein Kräftepaar eingeleitet und am anderen Ende aufgenommen. Entlang des Trägers ist M b konstant. Mit und mit E, I = konstant folgt: Krümmungsradius  = konstant. Die Biegelinie ist ein Kreisbogen. Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 34 © Prof. Dr. Remo Ianniello

36 Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 35 Biegemoment ist nicht konstant Durchbiegung w(x) kann bei best. xE zu hoch werden Zu hohe Durchbiegung w(x) kann z. Bruch führen Aufgabe: max. Durch-biegung f = wmax ermitteln f mit fzul vergleichen Bei Bedarf: Bauteil verstärken; Verkehrslast einschränken © Prof. Dr. Remo Ianniello

37 Aufgabe Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 36 Träger Ein I-Träger I-140 wird durch eine mittig angreifende Einzelkraft von F = 8,5 kN belastet. Ermitteln Sie für den Angriffspunkt von F a)den Krümmungsradius b)die Krümmung c)die maximale Durchbiegung © Prof. Dr. Remo Ianniello

38 Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 37 Ein Element des Balkens an der Stelle x  verschiebt sich nach unten um w(x) und  verdreht sich dabei um den Winkel  (x). Zusammenhang zw. w(x) und  (x)  (x) = Neigung der Biegelinie w(x) tan  (x) = Steigung der Biegelinie, d.h. tan  (x) = Ableitung dw/dx = w‘(x).  (x) x w(x) © Prof. Dr. Remo Ianniello

39 Durchbiegung Biegelinie Die Biegelinie beschreibt den Verlauf der Neutralen Faser im belasteten Zustand. Ihre Abweichung von der Linie im unbelasteten Zustand kann man als Funktion w(x) darstellen. Für verschiedene Standardsituationen ist diese Funktion bereits tabelliert als „Gleichung der Biegelinie“. Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 38

40 Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 39 © Prof. Dr. Remo Ianniello

41 Aufgabe Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 40 Stahlträger I Gegeben ist ein einseitig eingespannter Stahlträger der Länge L = 3 m, belastet durch die Einzellast F = 1 kN. Der Querschnitt ist quadratisch: h = b = 40 mm. Gesucht ist a)die Gleichung der Biegelinie, b)die Durchbiegung am Trägerende, c)der Neigungswinkel am Ende des Trägers. © Prof. Dr. Remo Ianniello Die Formelsammlung liefert:

42 Durchbiegung Zusammenhang der Größen Die Krümmung k der elastischen Linie w(x) ist die 2. Ableitung der Biegelinie. Sie lässt sich aus den Kennwerten des Bauteils darstellen: Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 41 ! Integrieren liefert die Gleichung des Neigungswinkels: Noch einmal Integrieren liefert die Biegelinie: © Prof. Dr. Remo Ianniello Vorsicht: Minuszeichen ab w‘‘(x) !

43 Durchbiegung Zusammenhang der Größen Diese Integrale sind zunächst nicht weiter bearbeitbar: Im Integral steht keine Koor- dinate x, über die sich integrieren ließe. Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 42 Daher wird M b als Funktion von x ausgedrückt, z.B. M b = F·x Jetzt ist ein Integrieren möglich: © Prof. Dr. Remo Ianniello

44 Durchbiegung Randbedingungen Erstellt man die Gleichung der Biege- linie selbt, muss man Integrale lösen. Man erhält dabei eine Integrationskonstante. Diese Konstante lässt sich mit Hilfe von Randbedingungen lösen, die sich aus der Lagerung des Trägers ergeben: Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 43

45 Aufgabe Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 44 Stahlträger II Der einseitig eingespannter Stahlträger der Länge L = 3 m ist immer noch durch die Einzellast F = 1 kN belastet. Querschnitt: h = b = 40 mm. Gesucht ist a)die selbst erstellte Gleichung der Biegelinie, b)die Durchbiegung am Trägerende, c)der Neigungswinkel am Ende des Trägers. © Prof. Dr. Remo Ianniello (1) (2) (3) RandbedingungRandbedingung

46 Aufgabe Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 45 Kran Ein Kran ist für eine maximale Traglast von m = kg aus­gelegt. Die feststehende Säule (Rohr) hat die Abmessungen D = 300 mm und d = 240 mm; Sie besteht aus Stahl und ist unten fest eingespannt. Gesucht ist die a)Biegespannung in der Säule b)Durchbiegung der Säule bei B © Prof. Dr. Remo Ianniello

47 Übungs-Aufgaben Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 46

48 Aufgabe FTM Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 47 Winkelstahl Das FTM eines Hohlprofils 50 x 30 mm² und der Wanddicke s = 3 mm beträgt laut Tabelle I x = 13,6 cm 4. Verifizieren Sie diesen Wert, indem Sie den Querschnitt in zweiTeilflächen zerlegen und die FTM der Teilflächen voneinander subtrahieren. © Prof. Dr. Remo Ianniello

49 Aufgabe Satz von Steiner Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello Abgerundeter Biegeträger Ein Biegeträger aus Baustahl S235JR hat ein Biegemoment auf­zunehmen. Wie groß darf dieses Biegemoment werden, wenn die zulässige Biegespannung σ zul 72,5 N/mm 2 beträgt, und das Bauteil um die a)x-Achse, I 1 = mm 4, I 2 = mm 4, M b max = 298,5 Nm b)y-Achse gebogen wird ? I 1 = 135,42  10³ mm 4, I 2 = 208,3  10³ mm 4, M b max = 992,52 Nm © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 48

50 Aufgabe Satz von Steiner Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello Zusammengesetzter Träger a)Wo liegt der gemeinsame Schwerpunkt der Flächen 1, 2 und 3? Ergebnis: S=(14,53 mm / 47,3 mm) b)Wie groß sind die Abstände der Teilschwerpunkte l 1 und l 2 von der neutralen Faser? l 1 = 28,7mm, l 2 =2,3mm, l 3 =37,3mm c)Wie groß sind die Flächenmomente der Teilflächen? I 1 = ,6mm 4, I 2 = ,8mm 4, I 3 = mm 4 d)Wie groß ist das Gesamt-Flächenmoment? I ges = 1,08  10 6 mm 4 e)Wie groß ist das Widerstandsmoment? W = mm³ Folie 49 © Prof. Dr. Remo Ianniello

51 Aufgabe Satz von Steiner Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello Schiene Für den dargestellten Querschnitt ist a)das Flächenträgheitsmoment I für eine Biegung um die Waagerechte zu bestimmen, I x = 907,939·10 6 mm 4 b)sowie das Widerstandsmoment W y der Fläche. W y = 517,867·10 3 mm 3 © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 50

52 Aufgabe Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 51 Schnapp-Element Die Skizze zeigt einen Deckel mit Schnapp-Element. Damit das Schnapp-Element am (nicht gezeichneten) Rahmen einrasten kann, muss sich das untere Ende des Schnapp-Elements um f = 15 mm nach rechts bewegen, während der Deckel nach unten gedrückt wird. Deckel und Rahmen sind als starr anzu- nehmen. Das Schnapp-Element der Länge l = 18 mm hat einen Rechteck- Querschnitt: Breite b = 8 mm, Dicke t. Es besteht aus Kunststoff: E-Modul E = N/mm², Biegefließspannung  bF = 50 N/mm²). Wie groß muss die Dicke t sein, damit  bmax = 0,7·  bF wird? © Prof. Dr. Remo Ianniello

53 Aufgabe Lösung Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 52

54 Aufgabe Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 53 Eingespannte Streckenlast Gegeben ist ein einseitig eingespannter Träger der Länge L, belastet durch die gleichbleibende Streckenlast q. In der Streckenlast ist das Eigengewicht des Trägers enthalten. Gesucht ist a)die Gleichung der Biegelinie b)die Durchbiegung am Ende des Trägers c)der Neigungswinkel am Ende des Trägers © Prof. Dr. Remo Ianniello

55 Aufgabe Lösung Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 54

56 Aufgabe Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 55 Freiträger Ein Freiträger vom Profil I 160 ist mit einer Streckenlast von f q = 179 N/m (Gewichts- kraft) belastet. Länge l = 4 m, F = 900 N, E = 2,1  10 5 N/mm² Berechnen Sie die Durchbiegung am freien Ende, hervorgerufen nur durch die Streckenlast, wenn die y-Achse des Querschnittes senkrecht steht. Welche Durchbiegung tritt auf, wenn statt der Streckenlast am freien Ende in der y- Richtung nur die Kraft F angreift? Wie groß ist die Durchbiegung, hervorgerufen durch Streckenlast q und Kraft F, wenn der Träger mit waagerechter y-Achse befestigt wird? Welche Stützkräfte sind in beiden Trägerlagen (horizontal und vertikal) am freien Ende erforderlich, damit der Träger an dieser Stelle keine Durchbiegung hat? a) f 1 = 2,917 mm, b) f 2 = 9,778 mm c) f = 217 mm d) F x = N = F y

57 Aufgabe Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 56 Stützträger mit mittiger Einzellast Ermitteln Sie für den Stahlträger aus der Abbildung a)den Verlauf des Biegemoments M(x) und das maximale Biegemoment b)durch 2-fache Integration der Differentialgleichung der elastischen Linie die Durchbiegung f = y max (x) c)die erforderliche Festigkeit des Werkstoffes  bmax d)den Krümmungsradius  für den Angriffspunkt von F e)die Krümmung  f)die Gleichung der Biegelinie

58 Aufgabe Lösung Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 57

59 Aufgabe Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 58 Stützträger mit Streckenlast Betrachten Sie einen Stützträger, der über seine ganze Länge mit einer Streckenlast q(x) belastet ist (DIN I 120). L = 6 m, q = 2 kN/m Gesucht sind die Gleichungen für a)die Querkraft b)das Biegemoment c)den Biegewinkel d)die maximale Durchbiegung an einer beliebigen Stelle x des Trägers.

60 Aufgabe Lösung Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 59

61 Aufgabe Durchbiegung Biegung© Prof. Dr. Remo IannielloFolie 60 Stützträger mit Mischlast Bestimmen Sie a)die Lagerkräfte b)die Gleichung der Biege­linie unter der Annahme, dass die größte Durchbiegung an der Angriffsstelle von F liegt c)das erforderliche Flächenmoment I für eine Durchbiegung von maximal 4 mm d)das dazu erforderliche IPE-Profil und die tatsächliche Durchbiegung


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