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Kapitel 20 Mehrgleichungs- Modelle: Konzepte. © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 2 Mehrgleichungs-Modelle Modellierung.

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1 Kapitel 20 Mehrgleichungs- Modelle: Konzepte

2 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 2 Mehrgleichungs-Modelle Modellierung von ökonomischen Prozessen, die simultan mehrere endogene Variable betreffen Beispiele: Darstellung des Marktes für ein Produkt: Modell muss Entwicklung von Menge und Preis repräsentieren Wirtschaftsraum umfasst Gütermarkt, Finanzmarkt, Arbeitsmarkt, etc., die in Wechselwirkung stehen

3 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 3 CAP-Modell CAP-Modell (capital asset pricing model) R i : Erlös des i-ten Vermögenswertes R i - R f = i (E{R m } – R f ) + u i mit R f : Erlös eines risikolosen Vermögenswertes E{R m }: erwarteter Erlös des optimalen Portfolios Analyse von mehreren Werten: u i repräsentieren gemeinsame Faktoren, haben gemeinsame Abhängigkeitsstruktur Effiziente Nutzung der Information: gemeinsame Analyse

4 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 4 Investitionsmodell Grunfeld & Griliches (1958) I = F + 3 C + u mit I: Investitionen (gross investment) F: Marktwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode C: Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode Daten für fünf Unternehmen,

5 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 5 Marktmodell für ein Produkt, z.B. Schweinefleisch Q d = P + 3 Y + u 1 (Nachfragefunktion) Q s = P + 3 Z + u 2 (Angebotsfunktion) Q d = Q s mit Q d : Nachfragemenge, Q s : Angebotsmenge, P: Preis des Produktes, Y: Einkommen, Z: Kosten der Produktion oder Q = P + 3 Y + u 1 Q = P + 3 Z + u 2 Modell bestimmt Q und P für gegebene Werte von Y und Z Endogene Variable: Q, P; exogene Variable: Y, Z

6 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 6 Kleins Modell 1 C t = P t + 3 P t-1 + a 4 (W t p + W t g ) + u t1 (Konsum) I t = P t + 3 P t K t-1 + u t2 (Investitionen) W t p = X t + 3 X t t + u t3 (Private Löhne und Gehälter) X t = C t + I t + G t K t = I t + K t-1 P t = X t – W t p – T t C (Konsumausgaben), P (Gewinne), W p (Private Löhne und Gehälter), W g (Öffentliche Löhne und Gehälter), I (Investitionen), K -1 (Kapitalbestand des Vorjahres), X (Produktion), G (Ausgaben der Öffentlichen Hand ohne Löhne und Gehälter), T (Steuern) und t [Zeit (Trend)] Endogen: C, I, W p, X, P, K; exogene: 1, W g, G, T, t, P -1, K -1, X -1

7 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 7 Typen von Mehrgleichungs- Modellen 1.Mehrgleichungsmodelle mit (gemeinsamen) fixen Regressoren (multivariates Regressionsmodell) Nachfrage nach Gütern durch Haushalte capital asset pricing model Modell für Investitionen von Unternehmen von Grunfeld- Griliches 2.Mehrgleichungsmodelle mit stochastischen (endogenen) Regressoren (simultaneous equation model, interdependente Modelle) Marktmodell Kleins Modell Kontemporär korrelierte Störgrößen

8 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 8 Typen von Gleichungen Reaktions- oder Verhaltensgleichungen: beschreiben das Verhalten einer abhängigen Variablen als Funktion von erklärenden Variablen Definitorische Identitäten: definieren eine Variable als Summe anderer Variabler Gleichgewichts-Bedingungen: postulieren Beziehungen, die als Gleichgewicht interpretiert werden können Definitorische Identitäten und Gleichgewichts-Bedingungen enthalten keine Störgrößen!

9 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 9 Schätzprobleme Bei Mehrgleichungs-Modellen muss gerechnet werden mit Stochastischen Regressoren: abhängige Variable werden als Regressoren verwendet Kontemporär korrelierten Störgrößen: die einzelnen Gleichungen sind nicht voneinander unabhängig Konsequenzen: OLS-Schätzer der Koeffizienten sind nicht konsistent, nicht erwartungstreu!

10 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 10 Zweigleichungs-Modell Zwei abhängige Variable Y 1 und Y 2 Y 1 = Y X 1 + u 1 (Gleichung A) Y 2 = Y X 2 + u 2 (Gleichung B) 1.Verletzung der Annahme 4 (Exogenität der Regressoren): Effekt eines positiven Wertes u 1 : Wert von Y 1 wird vergrößert (siehe Gleichung A) Aus Gleichung B folgt, dass dann der Wert von Y 2 größer wird Daraus folgt: u 1 und Y 2 sind korrelierte Variablen 2.Verzerrte OLS-Schätzer: Überdurchschnittlich große Werte von Y 1 werden oft (als Folge positiver u 1 ) gemeinsam mit großen Werten von Y 2 beobachtet 2 wird überschätzt!

11 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 11 Marktmodell: Eine Simulation Mit 2 = – 1, 2 = 1, 3 = 1, 3 = 1 ergeben sich (siehe oben): Q = – P + Y + u 1 (Nachfrage) Q = P + Z + u 2 (Angebot) Generieren der Daten in EViews: Y = *nrnd Z = *rnd u 1 ~ N(0,4), u 2 ~ N(0,9) Q = (Y + Z + u 1 + u 2 )/2, P = (Y – Z + u 1 – u 2 )/2 OLS-Schätzung der beiden Gleichungen: Q = 2.98 – 0.58*P *Y; p(t P ) = 0.037, p(t Y ) = 0.000, R 2 = 0.84 Q = *P *Z; p(t P ) = 0.000, p(t Y ) = 0.000, R 2 = 0.83

12 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 12 Marktmodell, Forts. Nachfragefunktion Q = P + 3 Y + u 1 = x + u 1 mit x = (1, P, Y), = ( 1, 2, 3 ) Achtung! Endogene Variable P ist erklärende Variable: plim (X'X) -1 X'u 0 Reduzierte Form: Q = Y + 13 Z + v 1 P = Y + 23 Z + v 2 mit 11 = ( 1 2 – 2 1 )/( 2 – 2 ), v1 = ( 2 u 1 – 2 u 2 )/( 2 – 2 ), etc. Die ij können konsistent geschätzt werden! Kann man aus Schätzern für ij auf Schätzer der i und i schließen?

13 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 13 Schätzprobleme, Forts. Zwei Fragestellungen: Identifizierbarkeit: Können – bei gegebener Struktur des Modells und gegebenen Daten – die Parameter (konsistent) geschätzt werden? Schätzverfahren: Welche – (neue?) – Schätzmethoden können bei Mehrgleichungs-Modellen angewendet werden, sodass gewünschte Eigenschaften der Schätzer sichergestellt sind?

14 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 14 Typen von Variablen Endogene Variable: Werden durch das Modell bestimmt Vollständiges Modell: Anzahl der Gleichungen ist so groß, wie die Anzahl der endogenen Variablen Exogene Variable: Sind von außerhalb des Modells bestimmt Können auch verzögerte endogene (vorherbestimmte, predetermined) Variable sein Wir unterscheiden: Strikt exogene Variable: unkorreliert mit historischen, aktuellen und künftigen Störgrößen vorherbestimmte Variable: unkorreliert mit aktuellen und künftigen Störgrößen

15 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 15 Marktmodell, Forts. Zwei Gleichungen: Q = P + 3 Y + u 1 (Nachfragefunktion) Q = P + 3 Z + u 2 (Angebotsfunktion) bestimmen Q und P (endogene Variable) außerhalb des Systems bestimmt: Y, Z Offene Fragen: Rückkoppelung zwischen Q und Y? Z unabhängig von Q?

16 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 16 SUR-Modell seemingly unrelated regression allgemeiner Fall des multivariaten Regressionsmodells m Gleichungen Y t1 = x t1 1 + u t1 … Y tm = x tm m + u tm mit Var{u ti } = i 2 für i = 1,…,m; Cov{u ti,u tj } = ij 0 für i j, i,j = 1,…,m (kontemporär korrelierte Störgrößen) Regressoren können für die Gleichungen unterschiedlich sein Mehrgleichungs-Modell mit gemeinsamen Regressoren: x ti = x t für i = 1,…,m Vereinfachung des SUR-Modells (vergl. das CAP-Modell)

17 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 17 Investitionsmodell, Forts. I = F + 3 C + u I: Investitionen F: Marktwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode C: Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode General Motors: I = *F *C, R 2 = 0.92, s e = Chrysler: I = *F *C, R 2 = 0.91, s e = General Electric: I = *F *C, R 2 = 0.71, s e = Investitionen sind auch bestimmt von allgemeiner Konjunktur!

18 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 18 SUR-Modell, Notation m = 2 mit n-Vektoren y i, u i, (n x k i )-Matrix X i : y i = X i i + u i, i = 1, 2 Var{u ti } = i 2, Cov{u t1,u t2 } = 12, t = 1,…,n mit 2n-Vektoren oder mit

19 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 19 Kronecker-Produkt Definition: Ordnung: np x mq

20 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 20 Interdependente Mehrgleichungs-Modelle Strukturform: Darstellung der Beziehung zwischen endogenen Variablen einerseits und exogenen und vorherbestimmten Variablen andererseits entsprechend der ökonomischen Theorie. Reduzierte Form: Darstellung der Abhängigkeit der endogenen von den vorherbestimmten Variablen Koeffizienten der Strukturform: Interpretation als Strukturparameter im Sinn der ökonomischen Theorie Reduzierten Form: Interpretation als impact multiplicator; geben Effekt der Änderung der vorherbestimmten Variablen auf abhängige Variable an

21 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 21 Marktmodell, Forts. Strukturform Q t = P t + 3 Y t + u t1 (Nachfragefunktion) Q t = P t + 3 Z t + u t2 (Angebotsfunktion) u t = (u t1,u t2 ): bivariates Weißes Rauschen Matrixnotation: A y t = z t + u t mit y t = (Q t, P t ), z t = (1, Y t, Z t )

22 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 22 Marktmodell, Forts. Reduzierte Form y t = A -1 z t + A -1 u t = z t + v t mit In Langform: Q t = Y t + 13 Z t + v t1 P t = Y t + 23 Z t + v t2

23 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 23 Strukturform m abhängige Variable (und Gleichungen), K Regressoren: Ay t = z t + u t mit m-Vektoren y t und u t, K-Vektor z t, (mxm)-Matrix A, und (mxK)- Matrix Struktur des Mehrgleichungs-Modells: (A,, ) Strukturparameter: Elemente von A und Normalisierte Matrix A: ii = 1 für alle i Vollständiges Mehrgleichungs-Modell: A ist quadratisch und invertierbar Rekursives Mehrgleichungs-Modell: A hat Dreiecksform; die endogenen Variablen beeinflussen sich nur in einer Richtung

24 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 24 Identifizierbarkeit Fragestellung: Können aus den Schätzern der Parameter der reduzierten Form konsistente Schätzer der Strukturparameter abgeleitet werden? Können mit den exogenen und vorherbestimmten Variablen als Instrumente Instrumentvariable für die erklärenden endogenen Variablen bestimmt werden?

25 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 25 Marktmodell, Forts. Aus 13 = – 2 3 /( 2 – 2 ) und 23 = – 3 /( 2 – 2 ) ergibt sich a 2 = p 13 /p 23 als Schätzer für 2 aus den OLS-Schätzern p 13 und p 23 für 13 und 23 b 2 = p 12 /p 22 für 2 aus p 12 und p 22 für 12 und 22 Weiters ergeben sich a 3 = p 22 (b 2 – a 2 ), a 1 = p 11 – p 21 a 2 ; die Koeffizienten der Nachfragefunktion lassen sich in eindeutiger Weise aus den konsistenten Schätzern der ij bestimmen; die Nachfragefunktion ist identifizierbar Analog ergibt sich für die Koeffizienten der Angebotsfunktion b 3 = – p 23 (b 2 – a 2 ), b 1 = p 11 – p 21 b 2 ; auch die Angebotsfunktion ist identifizierbar

26 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 26 Modifiziertes Marktmodell Q t = P t + 3 Y t + u t1 (Nachfragefunktion) Q t = P t + u t2 (Angebotsfunktion) Koeffizienten der reduzierten Form: 11 = ( 1 2 – 2 1 )/( 2 – 2 ), 12 = 3 2 /( 2 – 2 ) 21 = ( 1 – 1 )/( 2 – 2 ), 22 = 3 /( 2 – 2 ) 1.Angebotsfunktion: b 2 = p 12 /p 22, b 1 = p 11 – p 21 b 2 die Angebotsfunktion ist identifizierbar 2.Nachfragefunktion: für drei Koeffizienten gibt es nur zwei Gleichungen a 1 = p 11 – p 21 a 2, a 3 = p 22 (b 2 – a 2 ) es existiert keine eindeutige Lösung. Die Funktion ist nicht identifizierbar; sie ist unteridentifiziert

27 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 27 Noch ein Marktmodell Q t = P t + 3 Y t + 3 Z t + u t1 (Nachfragefunktion) Q t = P t + u t2 (Angebotsfunktion) 1.Angebotsfunktion: b 2 = p 12 /p 22, b 2 = p 13 /p 23 für beide Lösungen ergibt sich b 1 = p 11 – p 21 b 2 die Angebotsfunktion ist identifizierbar; man sagt, die Angebotsfunktion ist überidentifiziert 2.Die Nachfragefunktion ist unteridentifiziert

28 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 28 Identifizierbarkeit: Kriterien Identifizierbarkeit einer Gleichung bedeutet, dass eine Anzahl von Modell-Variablen aus der Gleichung ausgeschlossen sind ( Nullrestriktionen) oder eine andere Restriktion zutrifft Punktrestriktion: ein Koeffizient hat einen bestimmten Wert, z.B. den Wert Null Gleichungen in den Koeffizienten, linear oder nicht-linear Restriktion für Elemente von Überprüfen der Nullrestriktionen Abzähl- oder Ordnungs-Bedingung Rang-Bedingung

29 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 29 Ordnungs-Bedingung Modell mit m abhängigen Variablen, K Regressoren : Ay t = z t + u t mit (m x m)-Matrix A, (m x K)-Matrix i-te Gleichung: m i : Anzahl der erklärenden endogenen Variablen m i *: Anzahl der durch Nullrestriktionen ausgeschlossenen endogenen Variablen (m i * = m – m i – 1) K i *: Anzahl der durch Nullrestriktionen ausgeschlossenen vorherbestimmte Variablen (K i * = K – K i ) Ordnungs-Bedingung: Die Gleichung ist identifizierbar, wenn K i * + m i * m – 1 oder K i * m i

30 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 30 Ordnungs-Bedingung: Interpretation Ordnungs-Bedingung: Die Gleichung ist identifizierbar, wenn K i * + m i * m – 1 oder K i * m i d.h., wenn die Anzahl der ausgeschlossenen Variablen (K i * + m i *) mindestens so groß ist wie die um Eins verminderte Anzahl der endogenen Variablen (m – 1) die Anzahl der ausgeschlossenen vorherbestimmten Variablen (K i *) mindestens so groß ist wie die Anzahl der erklärenden endogenen Variablen (m i ) Achtung! Die Ordnungs-Bedingung ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für die Identifizierbarkeit einer Gleichung

31 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 31 Modifiziertes Marktmodell, Forts. Q t = P t + 3 Y t + u t1 (Nachfragefunktion) Q t = P t + u t2 (Angebotsfunktion) m = 2 (Q, P), K = 2 (1, Y); 1.Nachfragefunktion (i = 1): m 1 * = 0, m 1 = 1, K 1 * = 0, K 1 = 2 die Ordnungs-Bedingung ist nicht erfüllt: K 1 * = 0 < m 1 = 1 (oder K 1 * + m 1 * = 0 < m – 1 = 1); die Nachfragefunktion ist nicht identifiziert 2.Angebotsfunktion (i = 2): m 2 * = 0, m 2 = 1, K 2 * = 1, K 2 = 1 die Ordnungs-Bedingung ist erfüllt: K 2 * = 1 = m 2 = 1 (oder K 2 * + m 2 * = 1 = m – 1 = 1); die Angebotsfunktion ist identifizierbar

32 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 32 Rang-Bedingung Modell mit m abhängigen Variablen, K Regressoren : Ay t = z t + u t mit (m x m)-Matrix A, (m x K)-Matrix i-te Gleichung: Streichen der i-ten Zeile ergibt A*: durch Streichen aller Spalten in A, die in i-ter Zeile einen von Null verschiedenen Koeffizienten haben *: durch Streichen aller Spalten in, die in i-ter Zeile einen von Null verschiedenen Koeffizienten haben Rang-Bedingung: Die Gleichung ist identifizierbar, wenn r(A*| *) m – 1

33 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 33 IS-LM-Modell C t = 11 – 14 Y t + u t1 C: Konsum; I: Investitionen, R: Zins- I t = 21 – 23 R t + u t2 satz, Y: Einkommen, M: Geldmenge, R t = – 34 Y t + 32 M t + u t3 Z: autonome Ausgaben Y t = C t + I t + Z t endogen: C, I, R, Y; exogen: 1, M, Z Erste Gleichung: Ordnungs-Bedingung: K 1 = 2 = m 1 = 2; Rang-Bedingung: die folgende Matrix hat den Rang 3 = m -1 Beide Bedingungen sind erfüllt; die 1. Gleichung ist identifizierbar

34 © 2005 Verlag Pearson Studium © Peter Hackl: Einführung in die Ökonometrie 34 Praxis der Idenfizierbarkeits- prüfung 1.Ein Mehrgleichungs-Modell ist identifizierbar, wenn jede seiner Gleichungen identifizierbar ist 2.Gleichungen, die die Ordnungs-Bedingung erfüllen, erfüllen meist auch die Rang-Bedingung 3.Kleine Modelle sind meist leicht nach beiden Kriterien prüfbar; bei umfangreichen Modellen ist die Identifizierbarkeit der Gleichungen meist kein Problem (Modell enthält viele vorherbestimmten Variable) 4.Soll ein Regressor eliminiert werden? Bei Eliminieren ist Gleichung eher identifizierbar Nicht Eliminieren kann fälschliche Identifizierbarkeit anderer Gleichungen zur Folge haben 5.Weitere Gleichung in identifizierbarem Modell: das neue Modell ist identifizierbar, wenn mindestens eine neue Variable verwendet wird


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