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Statistik: 19.10.04 Quantitative Merkmale. 19.10.04PI Statistik, WS 20042 Metrische Merkmale 22718484621318579912482696 1631536979718799740371576 655660800750949478566718.

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1 Statistik: Quantitative Merkmale

2 PI Statistik, WS Metrische Merkmale Beispiel: 50 Rechnungsbeträge in der Elektroabteilung eines Einkaufszentrums (in Euro)

3 PI Statistik, WS Metrisches Merkmal Das Merkmal wird als (reelles) Vielfaches einer Maßeinheit gemessen Stetig, z.B. Rechnungsbeträge Diskret, z.B. beim Test erzielte Punkte

4 PI Statistik, WS Klasse Häufig keit größer0 Metrisches Merkmal: Tabelle Beispiel: Rechnungsbeträge in der Elektroabteilung eines Einkaufszentrums (in Euro)

5 PI Statistik, WS Metr. Merkmal: Histogramm Beispiel: Rechnungsbeträge

6 PI Statistik, WS Histogramm Klassenhäufigkeiten: Häufigkeiten, mit der die Klassen der Merkmalsausprägungen besetzt sind Darstellung der Klassenhäufigkeiten als Flächen Größe der Fläche ist proportional zur Häufigkeit Am einfachsten sind Klassen gleicher Breite (dann ist Höhe proportional zu Häufigkeit) Histogramm (für stetige Merkmale) Balkendiagramm (für diskrete Merkmale)

7 PI Statistik, WS Histogramm in EXCEL Beispiel: Rechnungsbeträge

8 PI Statistik, WS Histogramm in EXCEL Teil der Analyse-Funktionen Probleme und deren Lösung: Balken (vergl. Balkendiagramm) statt Flächen Anklicken eines Stabes -> Datenreihen formatieren -> Optionen -> Abstandsbreite auf 0 setzen Klassengrenzen werden als Klassenmitten angezeigt Bereich mit Klassenmitten erzeugen Diagramm anklicken -> Datenquelle -> als Beschriftung der Rubrikenachse (X): Bereich mit Klassenmitten angeben X-Achse anklicken -> Muster -> Hauptstriche auf innen setzen -> Hilfsstriche auf außen setzen ->

9 PI Statistik, WS Verbessertes Histogramm Beispiel: 50 Rechnungsbeträge

10 PI Statistik, WS Histogramm-Konstruktion 1. Ordne die n Beobachtungen nach steigender Größe, bestimme die Spannweite der Häufigkeitsverteilung. 2. Zur Festlegung der Klassen unterteile die Spannweite in Intervalle gleicher Länge; die Zahl k der Klassen soll zwischen fünf und 20 liegen. Die Klassenmitten sollen einfache Zahlen sein. 3. Bestimme die Zahl der Beobachtungen jeder Klasse, d.s. die (absoluten) Klassenhäufigkeiten. 4. Zeichne das Histogramm. Bei gleichen Klassenbreiten sind die Höhen der Flächen proportional den Häufigkeiten; bei ungleichen Klassenbreiten sind die Höhen proportional den Quotienten aus Häufigkeit und Klassenbreite (gesamte Fläche: n oder 100%)

11 PI Statistik, WS Zahl k der Klassen nnn kleinstes k mit k n k soll nicht kleiner als 5 nicht größer als 20 sein (siehe Demo)

12 PI Statistik, WS Altersverteilung aus College

13 PI Statistik, WS Nochmals College

14 PI Statistik, WS College 3

15 PI Statistik, WS College 4

16 PI Statistik, WS Beispiele von Verteilungen Rechnungsbeträge CO-Emission von PKWs Lebensalter Schäden durch Wirbelstürme (in Mio USD)

17 PI Statistik, WS Schäden durch Wirbelstürme

18 PI Statistik, WS Schäden durch Wirbelstürme KlasseKl.-BreiteHäufigk'trel.Häufigk'tDichte 0 – ,500, – ,110, – ,260, ,130, ,00 Dichte: Relative Häufigkeit/Klassenbreite Dichtehistogramm: Fläche beträgt 1

19 PI Statistik, WS Schuh- und Körpergröße Nach R. Hatzinger, 2003

20 PI Statistik, WS Charakteristika von Verteilungen Beschreiben durch Kennzahlen wesentliche Eigenschaften der Verteilung Dazu gehören: Quantile, Minimum, Maximum Lagemaße Streuungsmaße Schiefe: charakterisiert Symmetrie Wölbung (Kurtosis): Vergleich von symmetrischer Verteilung mit Gaussscher Glockenform

21 PI Statistik, WS Populationskenngrößen Analyse-Funktion in EXCEL Rechnungsbeträge Mittelwert772,46 Standardfehler50,10 Median714,62 Modus718,46 Standardabweichung354,29 Stichprobenvarianz125518,49 Kurtosis3,29 Schiefe1,60 Wertebereich1746,15 Minimum226,92 Maximum1973,08 Summe38623,15 Anzahl50

22 PI Statistik, WS Lage- und Streuungsmaße Lagemaße Mittelwert Median, getrimmter Mittelwert Modus Streuungsmaße Standardabweichung s Varianz s 2 Interquartilsabstand I Spannweite R

23 PI Statistik, WS Lagemaße Mittelwert: Median: nach der Größe geordnete Beobachtungen: den Index i nennen wir den Rang von Median: wenn n=2m+1 ungerade (m ist Rang der mittleren Beobachtung): wenn n=2m gerade:

24 PI Statistik, WS Robuste Lagemaße Median: extreme Werte (Ausreißer) haben keinen Effekt Getrimmter Mittelwert: Mittelwert von 80% der Beobachtungen, je 10% größte und kleinste Beobachtungen bleiben unberücksichtigt

25 PI Statistik, WS Quantil (Perzentil) Quantil der Ordnung p aus n Beobachtungen x 1, …, x n ist die Beobachtung x (r) mit Rang r = (n+1)p wenn (n+1)p keine ganze Zahl ist: Mittel der benachbarten Beobachtungen Runden des Ranges (n+1)p Beispiel: Rechnungsbeträge (50 Beobachtungen) Quantil der Ordnung 0.8 (oder 0.8-Quantil): Mittel aus Beobachtungen mit Rängen 40 und Quartil oder 0.25-Quantil: Mittel aus Beobachtungen mit Rängen 12 und 13

26 PI Statistik, WS Einige Quantile Quartile: 0.25-Quantil oder 1. Quartil (Q 1, Q u ) 0.75-Quantil oder 3. Quartil (Q 3, Q o ) 0.5-Quantil ist der Median Dezile Unteres Dezil oder 0.1-Quantil Oberes Dezil oder 0.9-Quantil

27 PI Statistik, WS Standardabweichung Ist die Wurzel aus der Varianz s 2 : Varianz oder Stichprobenvarianz: Eigenschaften der Standardabweichung: s kann nicht negativ sein s = 0: alle Beobachtungen haben gleichen Wert s wird in den gleichen Einheiten gemessen wie X

28 PI Statistik, WS Überdeckung Intervall Anteil der Beobachtungen 2/3 95% ~ 100% Gilt für die Normalverteilung exakt Gilt weitgehend für alle symmetrischen, unimodalen Verteilungen

29 PI Statistik, WS Andere Streuungsmaße Interquartilsabstand I = Q o – Q u = Q 3 – Q 1 überdeckt die zentralen 50% der Beobachtungen Spannweite (range) R = x (n) – x (1) Variationskoeffizient (s in Prozent des Mittelwertes): für nicht-neg. Merkmale; unabhängig von Maßeinheit MAD (mean absolute deviation)

30 PI Statistik, WS Schiefe und Wölbung Schiefe: Maß für Asymmetrie (unimodale Verteilung) rechtsschief: Modus < < Momentkoeffizient (Fisher): mit Wölbung: g 2 = 0: Gausssche Glockenkurve g 2 < 0: abgeplattet, platykurtisch, heavy tail g 2 > 0: spitz, leptokurtisch, light tail

31 PI Statistik, WS Box Plot Darstellung einer Häufigkeitsverteilung; gibt die wesentlichen Charakteristika wieder. (siehe Hackl & Katzenbeisser, S ) Ausreißer Whisker Q o Median Q u Whisker 50% der Daten

32 PI Statistik, WS Beispiel: Heilmittelkosten Heilmittelkosten je Patient (in Euro) bei 1682 Praktischen Ärzten (AM) 176 Internisten (IN) 242 Orthopäden (OP) WGKG, 2002

33 PI Statistik, WS Box Plot: Elemente Box: mittlere 50% der Beobachtungen; Begrenzungen sind Quartile; Median als Mittellinie Innere Grenzen (inner fences): Q u - 1.5I, Q u + 1.5I Äußere Grenzen (outer fences): Q u - 3I, Q u + 3I Beobachtungen innerhalb der Inneren Grenzen werden verbunden (whiskers) Beobachtungen außerhalb der Inneren Grenzen und innerhalb der Äußeren Grenzen: einzeln mit einem + einzeichnen (outlier) Beobachtungen außerhalb der Äußeren Grenzen: einzeln mit einem * einzeichnen (far outlier)

34 PI Statistik, WS Fragestellungen In welchem Bereich kann man einen Mittelwert in der Grundgesamtheit erwarten ? Ist ein Mittelwert anders (kleiner, größer, oder ungleich) als eine bestimmte Vorgabe ?


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