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Kapitel 21 Mehrgleichungs- Modelle: Schätzverfahren.

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Präsentation zum Thema: "Kapitel 21 Mehrgleichungs- Modelle: Schätzverfahren."—  Präsentation transkript:

1 Kapitel 21 Mehrgleichungs- Modelle: Schätzverfahren

2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 2 Multivariate Regression Allgemeinste Form: SUR-Modell y i = X i i + u i, i = 1, …, m mit n-Vektoren y i und u i, (n x k i )-Matrix X i ; der m-Vektor u t = (u t1,…, u tm ) hat die Kovarianzmatrix Gleichungsweises Schätzen: b i = (X iX i ) -1 X i y i berücksichtigt nicht kontemporäre Korrelation der Störgrößen

3 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 3 Multivariate Regression, Forts. In Matrixnotation mit mn-Vektoren und ũ etc. lautet das SUR-Modell oder mit

4 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 4 GLS-Schätzer für aus SUR-Modell Standardfehler erhält man aus Effizienzgewinn GLS-Schätzung umso größer, je stärker die Störgrößen korrelieren je weniger die Regressoren korrelieren GLS-Schätzer stimmt mit b i überein, wenn X i = X für alle i u ti mit übrigen u tj, j i unkorreliert ist

5 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 5 FGLS-Schätzer Zwei-stufiges Verfahren: 1.Schätzung der Einzelgleichungen; Schätzen von aus den Residuen 2.GLS-Schätzung unter Verwendung der geschätzten Matrix In EViews: Modellierung als System

6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 6 Investitionsmodell Grunfeld & Griliches (1958) I = F + 3 C + u mit I: Investitionen (gross investment) F: Marktwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode C: Anlagenwert des Unternehmens am Ende der Vorperiode Daten für fünf Unternehmen, General Motors: I = *F *C, R 2 = 0.92, s e = Chrysler: I = *F *C, R 2 = 0.91, s e = General Electric: I = *F *C, R 2 = 0.71, s e = 27.88

7 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 7 Investitionsmodell, Forts. General Motors: I FGLS = *F *C, R 2 = 0.92, s e = I OLS = *F *C, R 2 = 0.92, s e = Chrysler: I FGLS = *F *C, R 2 = 0.91, s e = I OLS = *F *C, R 2 = 0.91, s e = General Electric: I FGLS = *F *C, R 2 = 0.71, s e = I OLS = *F *C, R 2 = 0.71, s e = 27.88

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 8 Bestimmtheitsmaß Definition mit : Residuen aus FGLS-Schätzung S yy : Matrix der Stichproben-Kovarianzen Alternatives Bestimmtheitsmaß:

9 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 9 Investitionsmodell, Forts. Berechnen des Bestimmtheitsmaßes 1.Generieren der Gruppe GR1 der Residuen aus Sys_3: Sys_3.makeresids 2.Berechnen der Kovarianzmatrix der Residuen aus Sys_3: matrix sig_tilde = 3.Analog Berechnen der Kovarianzmatrix Sig_hat der Residuen der Einzelgleichungen und der abhängigen Variablen (S yy )

10 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 10 Simultane Mehrgleichungs- Modelle: Schätzverfahren 1.Einzelgleichungs-Schätzverfahren oder Methoden bei beschränkter Information (limited information methods) Indirekte Kleinste-Quadrate-Schätzung (ILS) Zweistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung (2SLS) ML-Schätzung bei beschränkter Information (LIML) 2.Simultane Schätzverfahren (System-Schätzmethoden Dreistufige Kleinste-Quadrate-Schätzung (3SLS) ML-Schätzung bei voller Information (FIML)

11 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 11 Marktmodell Gesucht ist ein Schätzer für 2 aus Q = 2 P + 3 Y + u 1 (Nachfragefunktion) Q = 2 P + u 2 (Angebotsfunktion) wobei die Störgrößen kontemporär korreliert sind 1.OLS-Schätzung von 2 aus Angebotsfunktion: b 2 = (pp) -1 pq mit n-Vektoren p und q; b 2 ist verzerrt! 2.IV-Schätzer mit Hilfsvariabler Y: = (yp) -1 yq; konsistent 3.ILS-Schätzer: = p 2 /p 1 = (yp) -1 yq mit OLS-Schätzern p 1 und p 2 von 1 und 2 aus der reduzierten Form P = 1 Y + v 1 Q = 2 Y + v 2

12 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 12 Marktmodell, Forts. 4.2SLS-Schätzung: 1. Stufe: OLS-Anpassung der Hilfsvariablen = [(yy) -1 yp] y 2. Stufe: OLS-Schätzung von 2 aus Q = :

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 13 OLS-Schätzung OLS-Schätzer der Strukturparameter eines Mehrgleichungs-Modells: im Allgemeinen weder erwartungstreu noch konsistent OLS-Schätzer sind oft interessant: Sie sind effizient, d.h. haben minimale Varianz; sie können daher – trotz der fehlenden Erwartungstreue – günstig sein Sie sind tendenziell robuster gegen nicht erfüllte Voraussetzungen als andere Verfahren OLS-Schätzer spielen eine wichtige Rolle in allen Verfahren zum Schätzen der Parameter von simultanen Mehrgleichungs- Modellen Rekursive Mehrgleichungs-Modelle: OLS-Schätzer sind asymptotisch unverzerrt, sie können auch bei endlichem n weitgehend unverzerrt sein

14 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 14 Indirekte Kleinste-Quadrate- Schätzung Erfolgt In zwei Schritten: OLS-Schätzung der Koeffizienten der reduzierten Form Berechnung der Koeffizienten der Strukturform aus den Schätzern der Koeffizienten der reduzierten Form Voraussetzung: Die Gleichung, deren Koeffizienten geschätzt werden, muss identifizierbar sein

15 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 15 2SLS-Schätzung Die Koeffizienten der i-ten Gleichung y i = X i i + u i = Y i i + Z i i + u i sollen geschätzt werden; Y i : (n x (m i -1))-Matrix der endogenen Variablen, Z i : (n x K i )-Matrix der vorherbestimmten Variablen 2SLS-Schätzung erfolgt in zwei Schritten: 1.Berechnen der Hilfsvariabeln Ŷ i mit Hilfe der OLS-Schätzung der Regressionskoeffizienten der reduzierten Form Y i = Z ( ') i + V i 2.Berechnen der Schätzer durch OLS-Anpassung von y i = i + u i mit = (Ŷ i Z i )

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 16 Markt für Schweinefleisch Q = P + 3 Y + u 1 (Nachfragefunktion) Q = P + 3 Z + u 2 (Angebotsfunktion) Endogen: Q, P ; exogen: Y, Z 2SLS-Schätzung: 1.Stufe: = Y Z [t(Y)=1.41, t(Z)=11.19; R 2 =0.89] = Y – 0.236Z [t(Y)=6.50, t(Z)=2.96; R 2 =0.73] 2.Stufe: = 60.9 – 3.088P Y [t(P)=11.2, t(Y)=11.7; R 2 =0.89] = P Z [t(P)=1.41, t(Z)=11.8; R 2 =0.89]

17 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 17 Markt für Schweinefleisch, Forts. Vergleich von OLS-, ILS-, und 2SLS-Schätzung NachfrageAngebot PYPZ OLS ILS SLS

18 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 18 2SLS-Schätzer: Eigenschaften Voraussetzung dafür, dass i-te Gleichung schätzbar ist: Identifizierbarkeit der i-ten Gleichung Abzählbedingung: Anzahl der aus der Gleichung ausgeschlossenen, vorherbestimmten Variablen (K-K i ) ist mindestens so groß wie die um Eins verminderte Zahl der endogenen Variablen (m i -1) Also: die Anzahl der als Instrumente in Frage kommenden, vorherbestimmten Variablen muss mindestens so groß sein wie die Anzahl der endogenen Variablen, die durch Hilfsvariable zu ersetzen sind Eigenschaften: 2SLS-Schätzer sind 1.konsistent 2.asymptotisch normalverteilt

19 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 19 LIML-Schätzung ML-Schätzung bei beschränkter Information (limited information ML oder LIML-Schätzung) Die ältere, aufwendigere LIML-Schätzung ist durch die 2SLS-Schätzung weitgehend verdrängt Ähnliche Eigenschaften: Beide Schätzer sind konsistent und asymptotisch effizient Die Schätzer der Koeffizienten einer Gleichung stimmen überein, wenn die Gleichung exakt identifiziert ist

20 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 20 Schätzer bei voller Information Die 2SLS-Schätzung ignoriert die kontemporäre Korrelation der Störgrößen Schätzmethoden bei voller Information (full information methods): Das Berücksichtigen der kontemporären Korrelation macht die Schätzung der Koeffizienten einer Gleichung effizienter, da sie Information verwendet, die in allen anderen Gleichungen zu den Parametern dieser Gleichung enthalten ist 3SLS-Schätzung: Erweiterung des 2SLS-Schätzers im Sinn der FGLS- Schätzung; vergleiche die SUR-Schätzer

21 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 21 3SLS-Schätzung Die m Gleichungen des Modells werden geschrieben als oder mit

22 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 22 3SLS-Schätzung 3SLS-Schätzung erfolgt in drei Schritten: Berechnen für jede Gleichung 1.Hilfsvariable 2.2SLS-Schätzer und 3.2SLS-Residuen Berechnen von mit Ermitteln der 3SLS-Schätzer als FGLS_Schätzer für

23 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 23 3SLS-Schätzer: Eigenschaften Voraussetzung: Identifizierbarkeit aller Gleichungen Eigenschaften: 3SLS-Schätzer sind 1.konsistent 2.asymptotisch normalverteilt 3SLS-Schätzer stimmen mit 2SLS-Schätzer überein, wenn Alle Gleichungen exakt identifizierbar sind diagonal ist, die Störgrößen als kontemporär unkorreliert sind

24 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 24 Markt für Schweinefleisch, Forts. Vergleich von 2SLS- und 3SLS-Schätzung 3SLS-Schätzer stimmen gut mit 2SLS-Schätzern überein: beide sind konsistente Schätzer Die größeren t-Statistiken weisen auf höhere Effizienz der 3SLS- Schätzer hin NachfrageAngebot PYPZ 2SLS t-Stat SLS t-Stat

25 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (21) 25 Weitere Schätzer bei voller Information Iterative 3SLS-Schätzung Iteratives Berechnen der Hilfsvariablen und Residuen (1.Stufe) FIML-Schätzung (full information ML): unterstellt normalverteilte Störgrößen, ermittelt Schätzer der Strukturparameter durch Maximieren der Likelihood-Funktion in Bezug auf Elemente von A und FIML-Schätzer sind konsistent asymptotisch normalverteilt asymptotisch äquivalent den 3SLS-Schätzern In EViews: 3SLS- und FIML-Schätzer


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