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Ökonometrie I Lineare Restriktionen. 3.12.2004Ökonometrie I2 Cobb-Douglas Produktionsfunktion Q(K,L) = A K L Q: Output (value added) K: eingesetzter Kapitalbestand.

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Präsentation zum Thema: "Ökonometrie I Lineare Restriktionen. 3.12.2004Ökonometrie I2 Cobb-Douglas Produktionsfunktion Q(K,L) = A K L Q: Output (value added) K: eingesetzter Kapitalbestand."—  Präsentation transkript:

1 Ökonometrie I Lineare Restriktionen

2 Ökonometrie I2 Cobb-Douglas Produktionsfunktion Q(K,L) = A K L Q: Output (value added) K: eingesetzter Kapitalbestand (capital stock) L: geleistete Arbeit (labor input) Funktion f(x) heißt homogen vom Grad r, wenn f(px)=p r f(x) Produktion mit konstanten Skalenerträgen Q(pK,pL) = A (pK) (pL) = p Q(K,L) = p Q(K,L) d.h., die Produktionsfunktion ist homogen vom Grad 1 Die Parameter erfüllen die Beziehung (lineare Restriktion) + = 1

3 Ökonometrie I3 Produktionsfunktion: Daten Nach Hildebrand & Liu (1957), Aigner et al. (1977) LOGQ: log(Q) LOGK: log(K) LOGL: log(L)

4 Ökonometrie I4 Lineare Restriktionen: Fragen Wenn die Annahme unterstellt wird, dass eine Restriktion, beispielsweise + = 1, zutrifft, wie können wir die Koeffizienten, und, schätzen, so dass auch die Schätzer diese Restriktion erfüllen? Wie können wir überprüfen, ob eine vermutete Restriktion auch tatsächlich zutrifft?

5 Ökonometrie I5 Produktionsfunktion: Forts. OLS-Anpassung von Q * =log Q = + log K + log L + u (mit = log A) gibt Für die Summe der Koeffizienten ergibt sich a + b = = %-iges Konfidenzintervall: Deutlicher Hinweis auf konstante Skalenerträge!

6 Ökonometrie I6 Lineare Restriktionen: Notation Spezifiziertes Modell: y = X + u g lineare Restriktion: H= h H hat Ordnung g x k, h ist g-Vektor

7 Ökonometrie I7 Beispiel Die Koeffizienten sollen erfüllen = 0 3 = 1 Matrixform: Hß = h mit

8 Ökonometrie I8 Beispiel Vergleich von [X: n x (k-g), Z: n x g] y = X + u und y = X + Z + v Restriktion = 0 oder mit

9 Ökonometrie I9 Restringierte Schätzer Methoden: 1.Substitutionsmethode: Berücksichtigen der Restriktionen durch Eliminieren von Regressionskoeffizienten 2.Lagrange-Methode: Erweitern der Summe der Fehlerquadrate zur Lagrange-Funktion, Minimieren der Lagrange-Funktion

10 Ökonometrie I10 Produktionsfunktion: Forts. Berücksichtigen der Restriktion + = 1 durch Eliminieren von = 1 – : Anpassen von Q * = log Q – log L = g + a (logK-logL) + u Restringierte Schätzer a R = (a = 0.376) und b R = = (b = 0.603)

11 Ökonometrie I11 Lagrange-Methode Gesucht sind Schätzer für aus y = X + u mit H=h Minimieren der Lagrange-Funktion liefert die restringierten OLS-Schätzer Je schlechter die nicht-restringierten Schätzer die Restriktionen erfüllen, umso größer ist die Abweichung zwischen dem nicht-restringierten und dem restringierten Schätzer (die Korrektur)!

12 Ökonometrie I12 Konsequenzen von Restriktionen Irrtümlich restringierter OLS-Schätzer Schätzer verzerrt Minimale Varianz des Schätzer Überschätzte Varianz der Störgrößen Irrtümlich nicht restringierter OLS-Schätzer Schätzer unverzerrt Varianz des Schätzer zu groß

13 Ökonometrie I13 Test von Restriktionen Test von H 0 : H = h 1. Waldsche Teststatistik: auf Basis von d = Hb-h mit nicht-restringiertem OLS-Schätzer b: Unter H 0 sollte einen kleinen Wert haben 2. Modellvergleich mittels F-Test (siehe Missspezifikation: Konsequenzen und Tests)

14 Ökonometrie I14 Wald-Test Test von H 0 : H = h mittels Waldscher Teststatistik Die Chi-Quadrat-Verteilung gilt unter H 0 näherungsweise (großes n) Die Teststatistik F = W/g ist näherungsweise F-verteilt mit g und n-k Freiheitsgraden Verwerfen von H 0 bei kleinem p-Wert

15 Ökonometrie I15 Modellvergleich Test durch Vergleich des restringierten Modells mit dem nicht-restringierten Modell Die F-Verteilung gilt unter H 0 näherungsweise (großes n) Ausführen der Tests: 1.Berechnung der nicht-restringierten Schätzer b und Ermitteln von S = e'e 2.Berechnung der restringierten Schätzer b R und Ermitteln von S R = e R 'e R 3.Einsetzen in F Waldsche Teststatistik kann man berechnen als W = gF

16 Ökonometrie I16 Asymptotische Tests 1.Wald-Test: überprüft, inwieweit die nicht-restringierten Schätzer die Restriktionen erfüllen 2.Lagrange-Multiplier-Test (LM-Test): untersucht, ob die Ableitung der Likelihood-Funktion (die score-Funktion), an der Stelle der restringierten Schätzer einen Wert nahe bei Null hat 3.Likelihood-Quotienten-Test (LR-Test): untersucht, ob das logarithmierte Verhältnis der Likelihood-Funktionen, die sich an der Stelle der restringierten und der nicht- restringierten Schätzer ergeben, nahe bei Null liegt Die Teststatistiken aller drei Tests folgen unter H 0 näherungsweise (großes n) der Chi-Quadrat- Verteilung mit g Freiheitsgraden

17 Ökonometrie I17 Asymptotische Tests

18 Ökonometrie I18 Asymptotische Tests: Berechnung 1.Wald-Test: W = gF siehe oben 2.Lagrange-Multiplier-Test (LM-Test): R e 2 :Bestimmtheitsmaß der Regression der restringierten Residuen e R auf X 3.Likelihood-Quotienten-Test (LR-Test):

19 Ökonometrie I19 Produktionsfunktion: Tests Wald-Test von H0: + =1: W=0.116, p-Wert: 0.734


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