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Entwurf superstabiler Regelkreise Betreuer Prof. A.Hofer Institut für Regelungstechnik Hauser Helmut.

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Präsentation zum Thema: "Entwurf superstabiler Regelkreise Betreuer Prof. A.Hofer Institut für Regelungstechnik Hauser Helmut."—  Präsentation transkript:

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2 Entwurf superstabiler Regelkreise Betreuer Prof. A.Hofer Institut für Regelungstechnik Hauser Helmut

3 Ausgangspunkt - L1-Theorie G(z) LTI, BIBO-stabil w(k)e(k) ZusammenhängeForderungen |w(k)| 1 für alle k ||e(k)|| möglichst klein

4 Grundidee der Diplomarbeit Nachteile der L1-Theorie Die Reglerordnung kann sehr hoch werden von Anfangsbedingungen gleich Null wird ausgegangen Vorteile der L1-Theorie Der Reglerentwurf findet direkt im Zeitbereich statt Eine Robuste Regelung und Stellgrößenbeschränkung können berücksichtigt werden Neuer Ansatz um Nachteile zu beseitigen und Vorteile zu übernehmen

5 Alte und neue Definition Eine Strecke hat l1 -Performance kleiner als l1 genau dann, wenn für die Zustandsgrößen zum Zeitpunkt Null x(0)=0 und für die Eingangsfolge |w(k)| 1 gilt, und der Betrag der Ausgangsfolge e(k) für alle Zeitpunkte k 0 unter der Schranke l1 bleibt. Eine Strecke besitzt genau dann eine Equalized Performance kleiner als, wenn für die ersten n Werte der Ausgangsfolge |e(i)| gilt, und für die Eingangsfolge |w(j)| 1, j=0,1,... gilt, und die Ausgangsfolge auch weiterhin unter der Grenze bleibt |e(k)| für k n L1-Theorie Equalized Performance

6 Berechnung der Equalized Performance μ Eingang w(k) LTI Ausgang e(k) Abschätzungen: bzw. Zugehöriges ARMA Modell

7 Berechnung der Equalized Performance μ Definition der 1-Norm Equalized Performance

8 Superstabilität 1. superstabilisieren 2. minimieren Idee für den Reglerentwurf: Superstabiles Systeme: Wenn Nennerpolynom superstabil ist ! Superstabiles Polynom:

9 Reglerentwurf Strecke Regler e(k) y(k)u(k) w(k)

10 Reglerentwurf 1.) Ziel des Reglers: Auswirkung der Störung w(k) auf Ausgang e(k) optimal unterdrücken. 3.) Problem läßt sich mich LP lösen wird außerhalb von LP durch Intervallhalbierung optimiert 2.) Übertragungsfunktion von w(k) e(k) Abhängigkeit der Koeffizienten des geschlossenen Kreises von den Reglerkoeffizienten

11 Reglerentwurf Wir suchen diejenigen Reglerkoeffizienten p i und q i, die unsere Übertragungsfunktion von w(k) e(k) superstabilisieren, und dabei die optimale Equalized Performance liefern. Mathematische Problemformulierung Verbale Problemformulierung:

12 Beispiel System 3. Ordnung Mit L1-Theorie: Gesamt ergibt es FIR mit 18 Ordnung Equalized Performance davon: = 3,01 Resultate mit neuem Ansatz: Regler- Ordnung % Ordnung +2% höheres

13 Pol- und Nullstellenlage des geschlossene Kreises Reglerordnung = 8

14 Stellgrößenbeschränkung Equalized Performance stellt eine Obergrenze für die Absolutwerte der Ausgangsfolge dar. Idee: Zusätzliche Beschränkung für die Reglerkoeffizienten Erforderliche Ordnungen werden höher sein Übertragungsfunktion G u mit Ausgang Stellgröße zusätzliche Gleichungen Ungleichungen

15 Beispiel mit u(k) Beschränkung Beispiel der Form : Forderung: |u(k)| 80 !! R(z) y(k)u(k) d(k) P(z) F(z)

16 Vergleich: u(k) beschränkt und unbeschränkt Regler- Ordnung x Regler- Ordnung xxx |u| 80 u = unbeschränkt

17 Resultate L1-Theorie liefert Regler der Ordnung = 11 mit = Mit neuem Ansatz Wenn Ordnung = 11 vorgegeben wird mit = Nullstellen Pole

18 Zusammenfassung - SISO Liefert gute Ergebnisse im Störentwurf Ordnung kann vorgegeben werden Anfangszustände ungleich Null möglich Lösung mit LP möglich Vergleich mit L1-Theorie – niedere Ordnungen Stellgrößenbeschränkung Robustheitsforderungen

19 Erweiterung auf MIMO Abschätzungen Maximal 1 Definition: ||A|| = q Induktion

20 Superstabilität - MIMO Bedingung:Equalized Performance |u(k)| = 0 |u(k)| 1

21 Reglerentwurf Statische ReglerDynamische Regler

22 Reglerentwurf Statische Regler Strecke D2 D1 u(k) d(k) y(k) K

23 Reglerentwurf Gleichungen, die Abhängigkeiten widerspiegeln Ungleichungen Analoge Idee wie im SISO-Fall Wir suchen diejenige Reglermatrix K, welche die Ungleichung ||A+BKC||<1 erfüllt, und gleichzeitig die optimale Equalized Performance liefert. Für LP wird benötigt :

24 Beispiel Papiermaschine

25 Ergebnisse Equalized Performance

26 Lage der Eigenwerte O vorher X nachher

27 Zusammenfassung - MIMO Wenige Systeme superstabilisierbar (auch mit Zustandsregelung) Oft bis knapp über der Grenze von 1 Große Systeme weiter weg von Superstabilität Regler mit Koeffizienten = Null zusätzliche Beschränkung notwendig Stark eingeschränkt in seiner Anwendbarkeit


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