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Mittelwert und Standardabweichung. Inhalt Verteilung, Histogramm Mittelwert Standardabweichung –der Messwerte –des Mittelwerts Gauß- und Normalverteilung.

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Präsentation zum Thema: "Mittelwert und Standardabweichung. Inhalt Verteilung, Histogramm Mittelwert Standardabweichung –der Messwerte –des Mittelwerts Gauß- und Normalverteilung."—  Präsentation transkript:

1 Mittelwert und Standardabweichung

2 Inhalt Verteilung, Histogramm Mittelwert Standardabweichung –der Messwerte –des Mittelwerts Gauß- und Normalverteilung

3 Verteilung und Histogramm Trägt man die Anzahl der in einem Intervall einer ihrer Eigenschaften gefundenen Werte gegen die Intervalle der Eigenschaften auf, dann erhält man eine Verteilung der Werte bezüglich der Eigenschaft bzw. ein Histogramm Altersverteilung bei der Primärimplantation von Hüftendoprothesen (Datenquelle: Norwegisches Endoprothesenregister)

4 Mittelwert und Standardabweichung einer Verteilung Jede Verteilung ist durch ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung charakterisiert AlterAnzahl Alter* Anzahl (Alter- Mittelwert)^2 *Anzahl , , , ,5 Summen ,0 Mittelwert 70,3 Standard- abweichung 9,9

5 Mittelwert zu N Messwerten x n Varianz der N Messwerte x n Standardabweichung der N Messwerte x n Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung

6 Standardabweichung der Messwerte Die Standardabweichung σ ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, bei einer weiteren Messung einen Messwert im Intervall ±σ um den Mittelwert μ zu erhalten Standardabweichung der N Messwerte x n

7 Standardabweichung des Mittelwerts zu N Messwerten x n Standardabweichung des Mittelwerts Folge: Um die Standardabweichung des Mittelwerts auf die Hälfte zu reduzieren, ist die vierfache Anzahl von Beobachtungen erforderlich Standardabweichung der N Messwerte x n

8 Die Gauß-Verteilung Man nimmt mit Gauß an: jede Messung zeigt zufällige Abweichungen von einem – unbekannten- idealen, wahren Wert Die Anzahl der Messwerte mit zunehmendem Abstand vom idealen Wert nimmt gemäß der Gauß-Verteilung ab Gaußkurve mit μ = 3, σ = 1

9 Die Gaußverteilung Die Theorie beruht auf der Annahme, die Verteilung der Messwerte folge einer Gauß-Verteilung Mittelwert µ Standard- abweichung σ In der Grafik: μ = 0, σ = 1

10 Von der Gaußverteilung zur Wahrscheinlichkeit Die Gaußverteilung φ(x) zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte. φ(x 0 )·Δx ist die Wahrscheinlichkeit, bei mehrfacher Wiederholung der gleichen Messung einen Messwert x im Intervall zwischen x 0 - Δx/2 und x 0 + Δx/2 zu erhalten Mittelwert der Messungen μ = 0, Standard- abweichung σ = 1

11 Wahrscheinlichkeit eines Messwerts Die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert zwischen 1,25 und 1,75 zu erhalten, beträgt 0,065 Intervall Δx = 0,5 φ(x 0 ) = 0,13 -Bei 1000 identischen Messungen werden 65 Messwerte zwischen 1,5 und 2 erwartet- Mittelwert der Messungen μ = 0, Standard- abweichung σ = 1 Messwert x 0 = 1,5 Diese Fläche zeigt die Wahrscheinlichkeit…

12 Normierte Gaußverteilung und ihr Integral, die Normalverteilung Die Normalverteilung Φ(x) ist das Integral über die normierte Gaußverteilung φ(x). Φ(1,5) zeigt die Wahrscheinlichkeit, bei mehrfacher Wiederholung der gleichen Messung einen Messwert x kleiner als 1,5 zu erhalten Messwert x 0 = 1,5 Φ(x 0 ) = 0,93 Mittelwert der Messungen μ = 0, Standard- abweichung σ = 1 Φ(x 0 ) ist die Wahrscheinlichkeit, x

13 Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - σ) < x < (µ + σ) zu erhalten 68 % der Messwerte werden innerhalb der einfachen Standardabweichung erwartet 68% für N = 1 Φ(1) - Φ(-1) = 0,68 Φ(1) = 0,84 Φ(-1) = 0,16

14 Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - N·σ) < x < (µ + N·σ) zu erhalten 68 % der Messwerte werden innerhalb der einfachen Standardabweichung erwartet 68% für N = 1 95% für N = 2 99,7% für N = 3 95 % innerhalb der zweifachen, 99,7% der dreifachen Standardabweichung

15 Intervallbreite um den Mittelwert µ Wahrscheinlichkeit einen Messwert innerhalb dieses Intervalls zu erhalten ±1 σ68% ±2 σ95% ±3 σ99,7% Wahrscheinlichkeiten, Messwerte innerhalb eines Intervalls von ±1, ±2, ±3 Standardabweichungen um den Mittelwert zu erhalten Beispiel: Bei 1000-facher Wiederholung der gleichen Messung sind 997 Messwerte innerhalb eines Intervalls der Breite von ± drei Standard- Abweichungen um den Mittelwert zu erwarten, nur 3 mit einem größeren Abstand

16 Zusammenfassung Die Messung eines Wertes x werde mehrfach wiederholt Der Mittelwert µ ist ein Quotient, –Zähler Summe über alle Messwerte x, –Nenner Anzahl der Messwerte Die Standardabweichung σ ist ein Quotient, –Zähler: Wurzel aus der Summe über alle Quadrate der Differenzen zwischen den Messwerten x und dem Mittelwert µ, –Nenner: Wurzel aus der Anzahl der Messwerte, -1 Legt man ein Intervall der Breite ± N·σ um den Mittelwert µ, dann erwartet man bei mehrfacher Wiederholung der Messung für –N=1 68 % –N=2 95 % –N=3 99,7 % der Messwerte innerhalb, den Rest außerhalb des Intervalls

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