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Wahrscheinlichkeit 04_wahrscheinlichkeit1 Gliederung Inferenzstatistik Definitionen für Wahrscheinlichkeiten – Relative Häufigkeit – Grenzwerte (Gesetz.

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Präsentation zum Thema: "Wahrscheinlichkeit 04_wahrscheinlichkeit1 Gliederung Inferenzstatistik Definitionen für Wahrscheinlichkeiten – Relative Häufigkeit – Grenzwerte (Gesetz."—  Präsentation transkript:

1 Wahrscheinlichkeit 04_wahrscheinlichkeit1 Gliederung Inferenzstatistik Definitionen für Wahrscheinlichkeiten – Relative Häufigkeit – Grenzwerte (Gesetz der großen Zahl) Bedingte Wahrscheinlichkeit Stochastische Unabhängigkeit Wahrscheinlichkeitsrechnung – Additionstheorem – Multiplikationstheorem – Theorem von Bayes Wahrscheinlichkeitsverteilungen

2 Inferenzstatistik Die Inferenzstatistik (schlussfolgernde Statistik) zieht aus den Daten einer Stichprobe Rückschlüsse auf die zugrundeliegende Population. Inferenzstatistik beruht auf Wahrscheinlichkeitsaussagen Beispiel: – Bei den Psychologie Erstsemester 2008 in Freiburg schätzen die Männer (31) ihre Statistikvorkenntnisse höher ein als die Frauen (24). – Ist das gleiche Muster auch für andere Semester (oder andere Universitäten) zu erwarten? – Wie wahrscheinlich ist es, dass in der Gesamt-Population aller Psychologie-Studienanfänger Männer ihre Statistikkenntnisse höher einschätzen als Frauen? – Wie wahrscheinlich wäre das gefundene Ergebnis (Männer = 31; Frauen = 24), wenn es in der Population keinen Unterschied gäbe? 04_wahrscheinlichkeit2

3 Definitionen für Wahrscheinlichkeiten Was bedeutet Wahrscheinlichkeit? 1.a priori Wahrscheinlichkeit (Laplace) – Wahrscheinlichkeit ist der relativer Anteil der günstigen Fälle an allen möglichen Ereignissen: 2.a posteriori Wahrscheinlichkeit (Bernoulli) – Wahrscheinlichkeit ist der Grenzwert der relativen Häufigkeit des Eintretens der günstigen Fälle bei sehr häufigem Durchführen eines Zufallsexperimentes: 04_wahrscheinlichkeit3

4 Relative Häufigkeit Die relative Häufigkeit ist ein Schätzer für die a posteriori Wahrscheinlichkeit. Die relative Häufigkeit wird berechnet als die Anzahl der Probanden mit einer bestimmten Ausprägung auf einer Variable geteilt durch die Stichprobengröße. 04_wahrscheinlichkeit4 HerkunftHäufigkeitp Baden-Württemberg Hessen Bayern Berlin Rest Gesamt

5 Gesetz der großen Zahl Für große Zahlen ist die relative Häufigkeit ein immer besserer Schätzer für die (a posteriori) Wahrscheinlichkeit. Der Grenzwert der relativen Häufigkeit für N gegen Unendlich entspricht der Wahrscheinlichkeit. Beispiel: Relative Häufigkeit des Ereignisses Baden- Württemberg in Abhängigkeit von N: 04_wahrscheinlichkeit5 p(98) =.54

6 Bedingte Wahrscheinlichkeit Die bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich ein Ereignis (A) ist, wenn gleichzeitig ein anderes Ereignis (B) gegeben ist. Beispiele – Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person depressiv ist (Ereignis A), wenn sie an chronischen Schmerzen leidet (Ereignis B)? – Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Schüler durch eine Prüfung fällt (Ereignis A), wenn es sich um einen Jungen handelt (Ereignis B)? Formale Schreibweise: Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B 04_wahrscheinlichkeit6

7 Bedingte Wahrscheinlichkeit Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann folgendermaßen berechnet werden: p(A|B): Wahrscheinlichkeit von A gegeben B. p(A B): Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig zutreffen p(B): Wahrscheinlichkeit von B. 04_wahrscheinlichkeit7

8 Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel: Chronische Schmerzen (S) und Depression (D) – 5% der Bevölkerung leiden an chronischen Schmerzen. – 2% der Bevölkerung leiden an chronischen Schmerzen und Depressionen. Beispiel: Misserfolg in der Prüfung (P - ) und Geschlecht (m) 04_wahrscheinlichkeit8 ErfolgMisserfolg Männlich123 Weiblich141

9 Stochastische Unabhängigkeit Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A nicht vom Eintreten von Ereignis B beeinflusst wird. Beispiel: 2 Würfelwürfe sind stochastisch unabhängig: – Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln (p(6) = 1/6), ist unabhängig vom Ergebnis des zweiten Würfels. Formal: Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B entspricht der bedingten Wahrscheinlichkeit von A gegeben nicht-B 04_wahrscheinlichkeit9

10 Stochastische Unabhängigkeit Beispiel 1: Zwei Würfelwürfe 04_wahrscheinlichkeit W1W1 W2W2

11 Stochastische Unabhängigkeit Beispiel 2: Herkunft BW und Geschlecht – Formal: Keine Stochastische Unabhängigkeit von Herkunft und Geschlecht – Aber: Exakt identische Werte sind in empirischen Erhebungen nie zu erwarten – Den statistischen Test für diese Fragestellung (Chi²-Test) lernen wir am Ende des Wintersemesters kennen 04_wahrscheinlichkeit11 HerkunftMännerFrauen Baden-Württemberg1438 sonstiges737

12 Das Additionstheorem Mit dem Additionstheorem wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B eintritt. Beispiel: – Wie wahrscheinlich ist es, eine 5 oder eine 6 zu würfeln? – Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person im Laufe Ihres Lebens an einer Angststörung und an einer depressiven Störung erkranken wird (Lebenszeitprävalenz: Angststörungen: 15%, Depressivität: 10%)? Formale Schreibweise – p(A B) – Wahrscheinlichkeit von A oder B 04_wahrscheinlichkeit12

13 Das Additionstheorem Bei disjunkten Ereignissen, die niemals gleichzeitig auftreten, werden die Einzelwahrscheinlichkeiten einfach addiert: Wenn Ereignisse auch gemeinsam auftreten können, dann muss die Formel ergänzt werden: 04_wahrscheinlichkeit13 Depression Angststörungneinja nein ja.12.03

14 Das Multiplikationstheorem Mit dem Multiplikationstheorem wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass die Ereignisse A und B gleichzeitig eintreten. Beispiel: – Wie wahrscheinlich ist es, mit 2 Würfelwürfen jeweils eine 6 zu würfeln? – Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person im Laufe Ihres Lebens an einer Angststörung und an einer depressiven Störung erkranken wird (Lebenszeitprävalenz: Angststörungen: 10%, Depressivität: 8%)? Formale Schreibweise – p(A B) – Wahrscheinlichkeit von A und B 04_wahrscheinlichkeit14

15 Das Multiplikationstheorem Bei stochastisch unabhängigen Ereignissen werden die Einzelwahrscheinlichkeiten einfach multipliziert: Wenn Ereignisse abhängig sind, dann muss folgende Formel verwendet werden: bzw. 04_wahrscheinlichkeit15 Depression Angststörungneinja nein ja.12.03

16 Das Multiplikationstheorem Beispiel Bei einer Untersuchungen von Schmerzpatienten stellen Sie fest, das 30% der Schmerzpatienten gleichzeitig Medikamenten- abhängig sind. 0.2 % der Bevölkerung leiden an einer chronischen Schmerzerkrankung. Wie viel Prozent der Bevölkerung weisen sowohl eine Schmerzerkrankung als auch eine Medikamentenabhängigkeit auf? 04_wahrscheinlichkeit16

17 Das Theorem von Bayes Das Theorem von Bayes erlaubt es, die bedingten Wahrscheinlichkeiten p(A|B) und p(B|A) in Beziehung zu setzen. Beispiel: – 75% der Alkoholabhängigen sind Männer – Lebenszeitprävalenz (insgesamt): 10% – Wie hoch ist das Risiko für einen Mann eine Alkoholabhängigkeit zu entwickeln? 04_wahrscheinlichkeit17

18 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Bisher haben wir die Wahrscheinlichkeit von Einzelereignissen betrachtet. Wahrscheinlichkeitsverteilungen geben die Auftretens- wahrscheinlichkeiten für einzelne Werte einer Variable an. Beispiel Geschlecht: – p(sex=m) =.22 – p(sex=w) =.78 Beispiel Alter – p(age=18) =.03 – p(age=19) =.19 – p(age=20) =.21 – p(age=21) =.10 –…–… 04_wahrscheinlichkeit18

19 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Da jede Person genau einen Wert für die Variable hat, sind die Ereignisse disjunkt. Daher können Bereiche durch Addition zusammengefasst werden: – p(17

20 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Graphische Darstellung 04_wahrscheinlichkeit20 50% geben einen Wert von 1 oder 2 an Die gemeinsame Fläche der Balken entspricht der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit

21 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen für kontinuierliche Variablen Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt für jeden Wert einer diskreten Variable die Auftretenswahrscheinlichkeit an. Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich ebenfalls, wenn für die Auftretenswahrscheinlichkeit für alle Kategorien einer Diskreten Variable angegeben wird (Histogramm). Eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich, wenn für eine kontinuierliche Variable unendlich kleine Kategoriebreiten verwendet werden. Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen heißen auch Dichtefunktion 04_wahrscheinlichkeit21

22 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Beispiel: Diskrete und Kontinuierliche Verteilung des Optimismusfragebogens. 04_wahrscheinlichkeit22 Hinweise: Die kontinuierliche Verteilung ergibt sich nicht direkt aus den Daten Im Beispiel wurde eine Normal- verteilung angenommen.

23 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Interpretation kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen Bei kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsvertelungen kann man nicht mehr direkt eine Wahrscheinlichkeit für eine Ausprägung der Variablen ablesen. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer kontinuierlichen Variable exakt einen bestimmter Wert auftritt ist (theoretisch) unendlich klein. Man kann aber Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Bereiche einer Verteilung sehen. Dazu wird die Fläche der Verteilung herangezogen 04_wahrscheinlichkeit23

24 Wahrscheinlichkeitsverteilungen Interpretation kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen Die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen Wert zwischen x min und x max zu erhalten entspricht der Fläche unter der Verteilung zwischen diesen Werten. 04_wahrscheinlichkeit24 x min x max

25 Die Normalverteilung Die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Psychologie ist die Normalverteilung. Sie wurde von C.F. Gauss entdeckt und war auf den alten 10 DM Scheinen abgebildet. Dort stand auch die Formel der Dichtefunktion der Normal- verteilung: Die Normalverteilung ist deshalb so wichtig, weil in der Natur sehr viele Merkmale (annähernd) normalverteilt sind. 04_wahrscheinlichkeit25

26 Die Normalverteilung Jede Normalverteilung … – hat einen glockenförmigen Verlauf und – ist symmetrisch (a 3 =0) und – hat einen normalen Exzess (a 4 = 0) Es gibt unendlich viele Normalverteilungen Diese unterscheiden sich in Ihrem Mittelwert und in der Standardabweichung (bzw. Varianz) – Der Mittelwert (μ) gibt die Position des Gipfels an. – Die Standardabweichung (σ) gibt die Breite der Verteilung an. 04_wahrscheinlichkeit26

27 Die Standardnormalverteilung Ein Normalverteilung mit einem Mittelwert μ=0 und einer Streuung von σ=1 heißt Standardnormalverteilung. Werte einer Standardnormalverteilungen können besonders einfach interpretiert werden, da die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten aus einer Tabelle im Statistikbuch nachgeschlagen werden können. Jede normalverteilte Variable kann einfach in eine Standard- normalverteilung transformiert werden (z-Transformation) 04_wahrscheinlichkeit27

28 Die Standardnormalverteilung Beispiel z-Transformation der Optimismuswerte 04_wahrscheinlichkeit28 Deskriptive Statistik NMittelwert Standardabweic hung lot 9823,10203,60266 Gültige Werte (Listenweise) 98 LOTz LOT

29 Die Standardnormalverteilung Interpretation von z-Werten (ungefähre Werte) Im Statistiklehrbuch findet man in der Tabelle zur Standard- normalverteilung für jeden z-Wert den Anteil der Fläche, die links dieses Wertes liegt. 04_wahrscheinlichkeit29

30 Zusammenfassung 04_wahrscheinlichkeit30 Die Inferenzstatistik verallgemeinert die Befunde einer Stichprobe. Wahrscheinlichkeit ist der relativer Anteil günstiger Ereignisse an allen möglichen Ereignissen. Im Nachhinein kann die Wahrscheinlichkeit über relative Häufigkeiten geschätzt werden. Das Gesetz der großen Zahl besagt, dass eine Abschätzung der Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit immer genauer wird, je größer die Stichprobe ist. Eine bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich Ereignis A ist, wenn man schon weiß, dass ein anderes Ereignis B eingetreten ist.

31 Zusammenfassung 04_wahrscheinlichkeit31 Mit dem Additionstheorem kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B eintritt. Mit dem Multiplikationstheorem kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Ereignis A und Ereignis B eintreten. Das Theorem von Bayes erlaubt es, die bedingten Wahrscheinlichkeiten p(A|B) und p(B|A) in Beziehung zu setzen. Wahrscheinlichkeitsverteilungen erlauben Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten von bestimmten Merkmalsausprägungen. Viele Psychologische Merkmale sind normalverteilt. Eine Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standard- abweichung 1 heißt Standardnormalverteilung.


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