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Folie 1 §15 Lineare Abbildungen (15.1) Definition: Eine Abbildung f zwischen K-Vektorräumen V und W ist linear (oder ein Vektorraumhomomorphismus), wenn.

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1 Folie 1 §15 Lineare Abbildungen (15.1) Definition: Eine Abbildung f zwischen K-Vektorräumen V und W ist linear (oder ein Vektorraumhomomorphismus), wenn für alle Vektoren x,y aus V und alle Skalare s,t aus dem Körper K gilt: f(sx + ty) = sf(x) + tf(y). (15.2) Beispiele: 1 o Ein spezielles Beispiel: 3 o Die Ableitung ist linear. 2 o (vgl o : F k := {x aus R N : x ist konvergent}) ist linear. Genauer: K-linear oder K-Vektorraumhomomorphismus 4 o Die formale Ableitung ist ebenfalls linear.

2 Folie 2 (15.3) Bemerkungen: 3 o Die Komposition linearer Abbildungen ist linear. 2 o Sei f linear. Dann gilt f(0) = 0 und 4 o Die Menge der linearen Abbildungen Hom(V,W) von V nach W ist bezüglich der punktweisen Addition und Skalarmultipli- kation ein K-Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum von W V. 5 o Sei M eine Menge und a ein Element aus M. Die Auswertung ist linear. 1 o Eine lineare Abbildung f ist insbesondere ein Gruppen- homomorphismus, sie respektiert neben der Addition zusätzlich noch die Skalarmultiplikationen. 6 o Aut(V) := {f aus Hom(V,V) : f bijektiv} ist eine Gruppe bezüglich der Komposition von Abbildungen, und zwar eine Untergruppe der Permutationsgruppe S(V). 5 o Sei f linear und bijektiv. Dann ist die Umkehrabbildung f –1 ebenfalls linear.

3 Folie 3 Kapitel III, §15 f(s 1 b 1 + s 2 b s n b n ) := s 1 w 1 + s 2 w s n w n (15.4) Definition: Sei f eine lineare Abbildung zwischen den K- Vektorräumen V und W. f heißt (15.5) Lemma: {b 1, b 2,..., b n } sei eine Basis von V. Dann wird für jedes n-Tupel (w 1, w 2,..., w n ) von Vektoren aus W durch Jede lineare Abbildung von V nach W hat diese Form. eine lineare Abbildung definiert. 1 o Isomorphismus, wenn f bijektiv ist. 3 o Monomorphismus, wenn f injektiv ist. 4 o Endomorphismus, wenn V = W gilt. 5 o Automorphismis, wenn V = W gilt, und f bijektiv ist. 2 o Epimorphismus, wenn f surjektiv ist. Eine analoge Aussage gilt für unendlichdimensionale Vektorräume V.

4 Folie 4 Kapitel III, §15 (15.6) Definition: Sei f eine lineare Abbildung zwischen den K- Vektorräumen V und W. (15.7) Lemma: Sei f linear, A Teilmenge aus V. 1 o Ker f := f –1 (0), Kern von f. 2 o Im f := f(V), Bild von f. (15.8) Satz: 1 o Zwei endlichdimensionale K-Vektorräume sind genau dann isomorph, wenn sie gleichdimensional sind. 1 o Ker f und Im f sind Untervektorräume von V bzw. W. 3 o f(Span(A)) = Span(f(A)). 4 o Wenn E Erzeugendensystem von V ist, so ist f(E) Erzeugendensystem von Im f. 5 o A ist linear unabhängig, wenn das für f(A) gilt. 2 o f ist injektiv, genau dann wenn Ker f = {0}. 6 o f(A) ist linear unabhängig, wenn das für A gilt und wenn f injektiv ist.

5 Folie 5 Kapitel III, §15 (15.10) Äquivalenzsatz für lineare Abbildungen: Für gleichdimen- sionale K-Vektorräume V und W endlicher Dimension sind die folgen- den Aussagen für lineare Abbildungen f von V nach W äquivalent: 2 o Jeder endlichdimensionale K-Vektorraum V ist zu einem K n isomorph mit n = dim V. (15.11) Satz (Dimensionsformel): Für eine lineare Abbildung f von V nach W gilt: 1 o f ist injektiv. 3 o f ist bijektiv. 2 o f ist surjektiv. (15.9) Bemerkung: Jeder K-Vektorraum ist isomorph zu K (B), wobei B eine Basis von V ist. Mehr Information liegt in der Dimensionsformel, die auch für unendlichdimensionale Vektorräume gültig ist: dim Ker f + dim Im f = dim V


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