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Folie 1 §20 Der Rang einer Matrix (20.1) Definition: Der Spaltenrang von A ist Bemerkung: Sei (b 1, b 2,..., b n ) eine geordnete Basis von V, sei (e 1,

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1 Folie 1 §20 Der Rang einer Matrix (20.1) Definition: Der Spaltenrang von A ist Bemerkung: Sei (b 1, b 2,..., b n ) eine geordnete Basis von V, sei (e 1, e 2,..., e m ) die Standardeinheitsbasis von K m und sei f = f(A,b,e) die durch A definierte lineare Abbildung von V nach K m. wobei Jede (m,n)-Matrix kann auch als ein n-Tupel von Spaltenvektoren geschrieben werden: srg(A) := rg {A 1, A 2,..., A n } = dim Span {A 1, A 2,..., A n }.

2 Folie 2 Kapitel IV, §20 srg A = dim Span {A 1, A 2,..., A n } = dim Im f = rg f, Dann gilt f(b j ) = A j. Denn wegen ist da Span {A 1, A 2,..., A n } = Im f. Analog: Jede (m,n)-Matrix kann auch als ein m-Tupel von Zeilenvektoren geschrieben werden: Also ist der Spaltenrang von A gleich dem Rang der linearen Abbildung f :

3 Folie 3 Kapitel IV, §20 (20.2) Definition: Der Zeilenrang von A ist zrg(A) := rg {A 1, A 2,..., A m } = dim Span {A 1, A 2,..., A m }. Als wichtiges Hilfsmittel und auch für andere Zwecke wird die Transponierte A T zu einer Matrix benötigt: Wir werden zeigen, dass für eine Matrix A stets srg(A) = zrg(A) gilt, dass man also von dem Rang einer Matrix sprechen kann. Beispiel: Ein Spaltenvektor X aus K m mit den Komponenten X j aus K ist in der Matrixnotation auch als Element von K mx1 aufzufassen. (20.3) Definition: Sei eine (m,n)-Matrix über dem Körper K. Die zu A transponierte Matrix A T – eine (n,m)-Matrix – ist durch definiert. X T = (X 1, X 2,..., X m ) ist dann der entsprechende Zeilenvektor in K 1xm, wie schon gelegentlich benutzt.

4 Folie 4 (20.5) Satz: srg(A) = zrg(A) Kapitel IV, §20 (20.4) Satz: Die Abbildung ist linear und bijektiv, also ein Isomorphismus. Es gilt (A T ) T = A. Zu dem Beweis brauchen wir den Hilfssatz: (20.6) Hilfssatz: Sei A eine (m,n)-Matrix. A* gehe aus durch eine Vertauschung von zwei Spalten oder von zwei Zeilen hervor. Dann gilt: srg(A) = srg(A*) und zrg(A) = zrg(A*). (20.7) Definition: Der Rang rg(A) einer (m,n)-Matrix A ist der Spaltenrang oder der Zeilenrang von A. Kurz: rg(A) := srg(A) = zrg(A) (20.8) Korollar: Für eine (m,n)-Matrix A gilt:

5 Folie 5 Kapitel IV, §20 (20.9) Definition: Elementare Umformungen. Sei A eine (m,n)- Matrix. Zu den elementaren Umformungen von A gehören: 1 o Addition einer Spalte von A zu einer anderen Spalte von A. 2 o Multiplikation einer Spalte von A mit einem von Null verschiedenen Skalar aus K. 3 o Addition einer Zeile von A zu einer anderen Zeile von A. Eine elementare Umformung von A ist jede Hintereinanderaus- führung von endlich vielen der Umformungen 1 o -4 o. 4 o Multiplikation einer Spalte von A mit einem von Null verschiedenen Skalar aus K. Zu den elementaren Umformungen von A gehören insbesondere die Vertauschungen von Spalten und damit beliebige Permutationen. Ebenso: Permutationen von Zeilen. (20.10) Satz: Bei elementaren Umformungen ändert sich der Rang einer Matrix nicht.

6 Folie 6 Kapitel IV, §20 Bemerkung: Der Rang einer Matrix ist inbesondere für lineare Gleichungssysteme von Bedeutung, vgl. die Sätze 16.5 – 16.8 ! Mit diesem Invarianzsatz hat man ein wichtiges und effektives Rechenverfahren zur Ermittlung des Ranges einer Matrix zur Hand. (20.11) Satz: Jede (m,n)-Matrix A kann durch elementare Umformungen auf die Form gebracht werden mit r = rg(A). Hier wird die Kästchenschreibweise benutzt; und E (r) ist die (r,r)- Matrix mit lauter Einsen in der Diagonalen und lauter Nullen sonst.


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