Datenstrukturen für Landkarten

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1 Datenstrukturen für Landkarten
Geoinformation I Vorlesung 6 WS 2000/2001 Datenstrukturen für Landkarten

2 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6
Kanten mit Flügeln Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

3 Geflügelte Kanten Kanten: Außen B C A P1 P8 P2 P3 P6 P7 P9 P5 P4 E1 E2
Wie bei Knoten-Kanten- Struktur Nachfolger im Umring der rechten Masche Geflügelte Kanten Vorgänger im Umring der linken Masche P1 P8 P2 P3 P6 P7 P9 A B C P5 P4 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 Außen E1 P1 P2 A Außen E5 E2 E2 P2 P3 A Außen E1 E6 E3 P3 P4 A B E2 E8 E4 P4 P5 A C E3 E11 E5 P5 P1 A Außen E4 E1 E6 P3 P6 B Außen E3 E7 Kanten: Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

4 Geflügelte Kanten Kanten: Außen B C A P8 P2 P3 P6 P7 P9 P5 P4 E1 E2 E3
Nachfolger im Umring der rechten Masche Geflügelte Kanten Vorgänger im Umring der linken Masche P8 P2 P3 P6 P7 P9 A B C P5 P4 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 Außen Kanten: E1 P1 P2 A Außen E5 E2 E2 P2 P3 A Außen E1 E6 E3 P3 P4 A B E2 E8 E4 P4 P5 A C E3 E11 E5 P5 P1 A Außen E4 E1 E6 P3 P6 B Außen E3 E7 P1 Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

5 Geflügelte Kanten Kanten: Außen B C A P8 E9 P7 E7 P6 E10 E8
Nachfolger im Umring der rechten Masche Geflügelte Kanten Vorgänger im Umring der linken Masche P8 Außen E9 P7 E7 P6 Kanten: E10 E8 E1 P1 P2 A Außen E5 E2 E2 P2 P3 A Außen E1 E6 E3 P3 P4 A B E2 E8 E4 P4 P5 A C E3 E11 E5 P5 P1 A Außen E4 E1 E6 P3 P6 B Außen E3 E7 B E6 C P4 P9 E4 E3 P3 E11 A E2 P5 P2 E5 E1 P1 Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

6 Geflügelte Kanten Kanten: Außen B C A P8 E9 P7 E7 P6 E10 E8
Nachfolger im Umring der rechten Masche Geflügelte Kanten Vorgänger im Umring der linken Masche P8 Außen E9 P7 E7 P6 Kanten: E10 E8 E1 P1 P2 A Außen E5 E2 E2 P2 P3 A Außen E1 E6 E3 P3 P4 A B E2 E8 E4 P4 P5 A C E3 E11 E5 P5 P1 A Außen E4 E1 E6 P3 P6 B Außen E3 E7 B E6 C P4 E3 P9 E4 P3 E11 A E2 P5 P2 E5 E1 P1 Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

7 Geflügelte Kanten Kanten: Außen B C A P8 E9 P7 E7 P6 E10 E8
Nachfolger im Umring der rechten Masche Geflügelte Kanten Vorgänger im Umring der linken Masche P8 Außen E9 P7 E7 P6 Kanten: E10 E8 E1 P1 P2 A Außen E5 E2 E2 P2 P3 A Außen E1 E6 E3 P3 P4 A B E2 E8 E4 P4 P5 A C E3 E11 E5 P5 P1 A Außen E4 E1 E6 P3 P6 B Außen E3 E7 B E6 C P4 E3 P9 E4 P3 E11 A E2 P5 P2 E5 E1 P1 Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

8 Geflügelte Kanten Kanten: Außen B C A P8 E9 P7 E7 P6 E10 E8
Nachfolger im Umring der rechten Masche Geflügelte Kanten Vorgänger im Umring der linken Masche P8 Außen E9 P7 E7 P6 Kanten: E10 E8 E1 P1 P2 A Außen E5 E2 E2 P2 P3 A Außen E1 E6 E3 P3 P4 A B E2 E8 E4 P4 P5 A C E3 E11 E5 P5 P1 A Außen E4 E1 E6 P3 P6 B Außen E3 E7 B E6 C P4 E3 P9 E4 P3 E11 A E2 P5 P2 E5 E1 P1 Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

9 Geflügelte Kanten Kanten: Außen B C A P8 E9 P7 E7 P6 E10 E8
Nachfolger im Umring der rechten Masche Geflügelte Kanten Vorgänger im Umring der linken Masche P8 Außen E9 P7 E7 P6 Kanten: E10 E8 E1 P1 P2 A Außen E5 E2 E2 P2 P3 A Außen E1 E6 E3 P3 P4 A B E2 E8 E4 P4 P5 A C E3 E11 E5 P5 P1 A Außen E4 E1 E6 P3 P6 B Außen E3 E7 B E6 C P4 E3 P9 E4 P3 E11 A E2 P5 P2 E5 E1 P1 Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

10 Geflügelte Kanten Kanten: Außen B C A P8 E9 P7 E7 P6 E10 E8
Nachfolger im Umring der rechten Masche Geflügelte Kanten Vorgänger im Umring der linken Masche P8 Außen E9 P7 E7 P6 Kanten: E10 E8 E1 P1 P2 A Außen E5 E2 E2 P2 P3 A Außen E1 E6 E3 P3 P4 A B E2 E8 E4 P4 P5 A C E3 E11 E5 P5 P1 A Außen E4 E1 E6 P3 P6 B Außen E3 E7 B E6 C P4 E3 P9 E4 P3 E11 A E2 P5 P2 E5 E1 P1 Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

11 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6
Kanten mit Flügeln Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

12 Die Euler-Formel Für jede Landkarte mit Euler-Charakteristik:
f Maschen (face) e Kanten (edge) v Knoten (vertex) gilt: f - e + v = 2 Euler-Charakteristik: Landkarte: 2 Landkarte mit n Kontinenten: n + 1 Landkarte mit n Kontinenten und m Inseln : n + m + 1 beachte: Außen zählt als eigene Masche! Euler-Charakteristik Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

13 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6
Topologische Fehler Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

14 Zwei Referenzpunkte (Namen)
Topologische Fehler I Fehlender Knoten Zwei Referenzpunkte (Namen) Overshoot Fehlender Referenz- punkt (Name) Undershoot Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

15 Topologische Fehler II
Überlappung zweier Maschen ohne Überschneidung von Kanten Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

16 Topologische Fehler II
Überlappung zweier Maschen ohne Überschneidung von Kanten Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

17 Integritätsbedingungen für Landkarten I
falsch richtig 1. Schnittfreiheit der Kanten 2. Jede Kante hat zwei Maschen auf verschiedenen Seiten 3. Jede Masche wird von einem einfachen Zyklus begrenzt 4. Kein Mittelpunkt einer Kante liegt in einer Masche Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

18 Integritätsbedingungen für Landkarten II
falsch richtig 1. Schnittfreiheit der Kanten 2. Jede Kante hat zwei Maschen auf verschiedenen Seiten 3. Jede Masche wird von einem einfachen Zyklus begrenzt 4. Es gibt genau eine unbeschränkte Masche 4. Kein Mittelpunkt einer Kante liegt in einer Masche Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

19 Zusammenfassung: „Geometrisch-Topologische Datenstrukturen“
Spaghetti mit Koordinaten: redundante Geometrie Spaghetti mit Punkten: redundante Geometrie Spaghetti mit Punkten als Objekten: redundanzfreie Geometrie Knoten-Kanten-Struktur: redundanzfreie Geometrie, explizite Topologie, Maschenumring muß berechnet werden geflügelte Kanten: redundanzfreie Geometrie, explizite Topologie, Maschenumring leicht zu berechnen Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

20 Aus Landkarten abgeleitete Strukturen
quadratische Maschen gleicher Größe: Raster, Grid kompakte Speicherung homogene Informationsdichte Maschen sind Dreiecke Triangulation gut zur Modellierung des Geländes Verallgemeinerung Simplizes Simpliziale Komplexe Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

21 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6
Simplizes Ein 0-Simplex ist ein Punkt Ein 1-Simplex ist eine gerade Kante Ein 2-Simplex ist ein Dreieck (Inneres + 3 Kanten + 3 Knoten) Ein 3-Simplex ist ein Tetraeder Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

22 Beachte: Das Schwierige an den Simplexen ...
... ist der Plural

23 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6
Teilsimplizes Ein Knoten ist Teilsimplex einer Kante Eine Kante ist Teilsimplex eines Dreiecks Ein Dreieck ist Teilsimplex eines Tetraeders Der Teilsimplex T eines Simplex S ist ein Simplex, dessen Knoten alle in S vorkommen. Rand eines Dreiecks Der Rand eines Simplex ist die Menge aller Teilsimplizes. Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

24 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6
Simpliziale Komplexe Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften: jeder Teilsimplex in C ist ebenfalls in C der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder ein Teilsimplex beider Simplizes falsch: Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

25 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6
Simpliziale Komplexe Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften: jeder Teilsimplex in C ist ebenfalls in C der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder ein Teilsimplex beider Simplizes Korrektur: Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

26 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6
Simpliziale Komplexe Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften: jeder Teilsimplex in C ist ebenfalls in C der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder ein Teilsimplex beider Simplizes Korrektur: Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

27 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6
Anwendungen Geländemodell Computergraphik Eisberge ... Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6

28 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6
Resümee Landkarten 2D beliebige Polygone Simpliziale Komplexe Dreiecke auch 3D Gemeinsamkeiten Konstruktion des Raumes durch Aggregation atomarer Primitive „algebraische“ oder „kombinatorische“ Topologie zurück zur „Punktmengentopologie“ Lutz Plümer - Geoinformation /5. Semester - WS 00/ Vorlesung 6