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Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation Vorlesung 9 SS 2001 Voronoi-Diagramme: Bestimmung der Tangente bei der.

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Präsentation zum Thema: "Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation Vorlesung 9 SS 2001 Voronoi-Diagramme: Bestimmung der Tangente bei der."—  Präsentation transkript:

1 Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation Vorlesung 9 SS 2001 Voronoi-Diagramme: Bestimmung der Tangente bei der Konstruktion des trennenden Kantenzuges

2 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 2 Übersicht I Bestimmung der Tangente Extrempunkte von CH(P1) CH(P2) Tangente von CH(P1) CH(P2) Nochmals zur konvexen Hülle CH Tangente Nachfolger - Bestimmung Nachfolger Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen Hüllen

3 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 3 Übersicht II Extrempunkte 2 vertikal monotone Kantenzüge Tangente Bestimmung des Nachfolgers Konvexe Hülle Bestimmung des Nachfolgers Konvexe Hülle

4 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 4 Bestimmung der Tangente im Detail

5 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 5 max y min y max y Extrempunkte von CH(P 1 ) bzw. CH(P 2 )

6 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 6 Tangente von CH(P 1 ) CH(P 2 )

7 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 7 Tangente von CH(P 1 ) CH(P 2 )

8 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 8 Extrempunkte: Funktioniert das immer ?

9 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 9 Nochmals zur konvexen Hülle CH Was wissen wir über die konvexe Hülle CH(P) einer Punktmenge P? Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH. Zu je zwei Punkten P 1 und P 2 ist die verbindende Kante ganz in CH enthalten. Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH in zwei vertikal monotone Kantenzüge. Die Verbindungskante k zweier Punkte P 1 und P 2 aus P definiert eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte von P auf der gleichen Seite von k liegen. P 2 ist genau dann Nachfolger von P 1 auf dem Rand von CH, wenn der zugehörige polare Winkel von P 2 minimal ist.

10 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 10 Tangente

11 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 11 Nochmals zur konvexen Hülle CH Was wissen wir über die konvexe Hülle CH(P) einer Punktmenge P? Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH. Zu je zwei Punkten P 1 und P 2 ist die verbindende Kante ganz in CH enthalten. Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH in zwei vertikal monotone Kantenzüge. Die Verbindungskante k zweier Punkte P 1 und P 2 aus P definiert eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte von P auf der gleichen Seite von k liegen. P 2 ist genau dann Nachfolger von P 1 auf dem Rand von CH, wenn der zugehörige polare Winkel von P 2 minimal ist.

12 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 12 Extrempunkte

13 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung vertikal monotone Kantenzüge

14 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 14 Tangente

15 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 15 Nochmals zur konvexen Hülle CH Was wissen wir über die konvexe Hülle CH(P) einer Punktmenge P? Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH. Zu je zwei Punkten P 1 und P 2 ist die verbindende Kante ganz in CH enthalten. Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH in zwei vertikal monotone Kantenzüge. Die Verbindungskante k zweier Punkte P 1 und P 2 aus P definiert eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte von P auf der gleichen Seite von k liegen. P 2 ist genau dann Nachfolger von P 1 auf dem Rand von CH, wenn der zugehörige polare Winkel von P 2 minimal ist.

16 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 16 Nachfolger - Bestimmung Winkel minimal P1P1 P2P2 P3P3 P4P4

17 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 17 Nachfolger Winkel minimal P2P2 P1P1 P3P3 P4P4

18 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 18 Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen Hüllen 1.Betrachte die oberen Extrempunkte P 1 und Q 1 und die Nachfolger P 2 und Q 2 im Uhrzeigersinn, und sei P 1 höher als Q 1 2.Bestimme das Minimum der mit P 1 P 2, P 1 Q 1 und P 1 Q 2 assoziierten Winkel 3.Fälle: –P 1 Q 1 ist minimal: Tangente gefunden, fertig –P 1 P 2 minimal: ersetze P 1 durch P 2 und P 2 durch P 3 (wandere auf der linken konvexen Hülle im Uhrzeigersinn) –P 1 Q 2 minimal: ersetze Q 1 durch Q 2 und Q 2 durch Q 3 (wandere auf der rechten konvexen Hülle im Uhrzeigersinn) 4.weiter mit 2. Der Fall der unteren Tangente ist symmetrisch

19 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 19 Bestimmung des Nachfolgers Winkel nicht minimal P1P1 P2P2 Q1Q1 Q2Q2

20 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 20 Bestimmung des Nachfolgers Winkel minimal P1P1 P2P2 Q1Q1 Q2Q2

21 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 21 Bestimmung des Nachfolgers P1P1 P2P2 Q1Q1 Q2Q2 P3P3

22 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 22 Bestimmung des Nachfolgers

23 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 23 Bestimmung des Nachfolgers

24 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 24 Bestimmung des Nachfolgers

25 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS Vorlesung 9 25 Konvexe Hülle


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