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Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit Literatur Ledolter, Burrill, Statistical Quality Control: Kap.12: Statistical Process Control: Control Charts; Kap.13:

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1 Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit Literatur Ledolter, Burrill, Statistical Quality Control: Kap.12: Statistical Process Control: Control Charts; Kap.13: Process Capability and Pre-Control Bergman, Klefsjö, Quality: Kap.12: 12: Control Charts; Kap.13: Capability

2 Prozesskontrolle2 Anwendung der Statistik zur Kontrolle (Beobachtung und Regelung) des Prozesses in Gegenwart von Prozessvariabilität Änderungen des Mittelwertes (Niveau, Level) Änderungen der Prozessvariabilität Ist der Prozess in Kontrolle (stabil)?

3 Prozesskontrolle3 Zielsetzung der Prozesskontrolle Rasch entdecken, wenn der Prozess außer Kontrolle Qualitätsverbesserung

4 Prozesskontrolle4 Shewhart-Karte

5 Prozesskontrolle5 Kontrollkarten Zeitreihen-Darstellung von Prozess- oder Produktcharakteristika Graphische Hilfe um festzustellen, ob Prozess in Kontrolle Variabilität durch common (usual) causes vs. Variabilität durch special (assignable) causes Alarm => Suche nach Ursachen Mittel, den Prozess (1) besser zu verstehen und (2) zu verbessern

6 Prozesskontrolle6 Funnel-Experiment Lasse einen stabilen Prozess unverän- dert! Trichter- (funnel-) Experiment: Kugel rollt durch Trichter; Ziel ist Nullpunkt, Kugel trifft im k-ten Versuch z k Strategien: Trichter unverändert Verschiebe Trichter um –z k Verschiebe Trichter nach –z k (Verschiebe Trichter nach z k )

7 Prozesskontrolle7 Bedeutung der Kontrollkarten Anwendung heißt: Analyse (und Verstehen) des Prozesses oder Produktes Produktentstehung ist wichtiger als fertiges Produkt; Produktionsprozess umfasst common causes und special causes (Deming: nur 6% der Fehler durch special causes) Einfache Technik

8 Prozesskontrolle8 Anwendung der Kontrollkarte Das Beantworten der zu lösenden Fragen gibt wichtige Einsichten: Was (welche Charakteristika) soll kontrolliert werden? Welche Standards sind zu erfüllen? Welche Messungen? Welcher Messvorgang? Welche Verarbeitung der Messungen?

9 Prozesskontrolle9 Prozess- vs. Annahmekontrolle Prozesskontrolle (PK) reduziert Fehler und Kosten, Annahmekontrolle (AK) kommt zu spät PK gibt Hinweise auf Ursachen für Mängel, bei AK kaum rekonstruierbar PK erlaubt Verbesserungen PK erlaubt Anpassen an Anforderungen PK erlaubt Robustifizierung

10 Prozesskontrolle10 Kontrollkarten bei Dienstleistungen Anwendungen bei IBM Kingston Vorschlagswesen (Dauer bis zur Reaktion auf Vorschlag) Medizinische Einstellungsuntersuchung (Dauer) Auftragsabwicklung (Anzahl der Fehler) Etc.

11 Prozesskontrolle11 Typen von Kontrollkarten Mittelwerts-Karte ( Karte) s-Karte (Standardabweichung) R-Karte (range) c-Karte (counts) p-Karte (proportion) Für metrische Merkmale: Mittelwerts-, s- und R-Karte: Mittelwert und Variabilität müssen kontrolliert werden!

12 Prozesskontrolle12 Aufbau einer Kontrollkarte Mittellinie (center line) untere Kontrollgrenze (lower control limit, LCL) obere Kontrollgrenze (upper control limit, UCL) Als Kontrollgrenzen sind 3-Grenzen üblich (siehe unten)

13 Prozesskontrolle13 Verwendung einer Kontrollkarte 1.In regelmäßigen Intervallen: Ziehen einer Stichprobe (n=4 oder 5) 2.Für k-te Stichprobe: MW k, s k, R k 3.Eintragen in Kontrollkarten

14 Prozesskontrolle14 Beispiel: Mittelwerts-Karte nach zGWS gilt (näherungsweise): bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Mittelwerte im Intervall Ersetzen von durch, durch gibt

15 Prozesskontrolle15 Beispiel: Mittelwerts-Karte, Forts. Alternativ schreiben wir mit A 3 (aus der Tabelle) Die Größen und werden in der Initialisierungsphase ermittelt

16 Prozesskontrolle16 Mean chartS-chartRange chart nA3A3 A2A2 B3B3 B4B4 D3D3 D4D4 d2d

17 Prozesskontrolle17 s-Karte Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Standardabweichungen s k zwischen B 3 und B 4 aus der Tabelle

18 Prozesskontrolle18 R-Karte Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Spannweiten R k zwischen D 3 und D 4 aus der Tabelle ist der Mittelwert der R k aus der Initialisierungsphase R-Karte ist einfacher, s-Karte zeigt eher Änderung an

19 Prozesskontrolle19 Bewertung von Kontrollkarten Lauflänge (run length) RL: Zahl der Stichprobenwerte, bis eine Kontrollgrenze überschritten wird (die Kontrollkarte einen Alarm gibt) Wahrscheinlichkeitsverteilung von RL: P(RL=k) = (1-w) k-1 w, k = 1, 2,... mit w = P(Stichprobenwert liegt außerhalb Kontrollgrenzen)

20 Prozesskontrolle20 ARL, mittlere Lauflänge ARL ( average run length) ARL = E(RL) = 1/w

21 Prozesskontrolle21 Beispiel: Mittelwerts-Karte Prozess in Kontrolle mit 0 und w = 1 P(LCL UCL) = und ARL = 1/ = 370 Prozess außer Kontrolle: = 0 + w = 1 P( 3 n Z 3 n)

22 Prozesskontrolle22 Praxis der Kontrollkarten Konstruktion: Auswahl des Stichproben-Intervalls Auswahl des Stichproben-Umfanges Art der Stichprobe Verwendung: Kleiner Stichproben-Umfang (4 oder 5): toleriert kleine Kosten für (1) einzelne Messung, (2) Unterbre- chung des Prozesses, (3) nicht entdecktes out- of-control Produkt Stichproben unter homogenen Bedingungen

23 Prozesskontrolle23 Kontrollkarten für Attribute p- und np-Karte: zur Kontrolle des Anteils von defekten Stücken c-Karte: bei komplexen Produkte (zB ganzer PKW): zur Kontrolle der Anzahl der Defekte (nonconformities) an einem geprüften Stück u-Karte: wie c-Karte, aber auf Einheit bezogen; i-te Stichprobe umfasst n i Einheiten

24 Prozesskontrolle24 Variablen- vs. Attributkontrolle Variablenkontrolle: berücksichtigt mehr Information reagiert rechtzeitig kleinere Stichproben Attributkontrolle auch auf metrisch-skalierte Variable anwendbar (brauchbar ja/nein) einfacher mehrere Merkmale gemeinsam robuster

25 Prozesskontrolle25 Mittelwerts-Karte mit Warngrenzen Bedingungen für außer Kontrolle eine Beobachtung außerhalb 3-Grenze mindestens zwei von drei Beobachtun- gen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 2-Grenze mindestens vier von fünf Beobachtun- gen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 1-Grenze mindestens acht Beobachtungen in Reihe ober- oder unterhalb CL

26 Prozesskontrolle26 Warngrenzen: weitere Bedingungen mindestens 15 Beobachtungen in Reihe innerhalb 1-Grenze ("hugging") mindestens 15 Beobachtungen in Reihe außerhalb C ("Misch"-Prozess) lange Folge von hoch-tief Beobachtungen ("Sägezahn") Zyklen, Trend

27 Prozesskontrolle27 Effekte der Warngrenzen Prozess außer Kontrolle wird rascher entdeckt (ARL kleiner) Achtung! Auch ARL bei Prozess in Kontrolle wird kleiner!

28 Prozesskontrolle28 Beispiel: Mittelwertskarte Entscheidung nach 1.: ARL(0) = 370 ARL() = 33.9 Entscheidung nach 1. bis 4.: ARL(0) = 100 ARL() = 9

29 Prozesskontrolle29 Prozessüberwachung Ermittlung von und nur mit Beobachtungen aus Prozess in Kontrolle Kontrollgrenzen nachjustieren! Beispiel: Gewicht von Brotlaiben Aus Beobachtungen 1 bis 25: = kg, = 1.74 kg, LCL = 98.44, UCL = Aus Beobachtungen 1 bis 20: = kg, = 1.70 kg, LCL = 97.74, UCL =

30 Prozesskontrolle30 Spezielle Kontrollkarten Kontrollkarten für Einzelwerte Gleitende Spannweiten (moving range, MR) Karte: MR i = |x i -x i-1 |, i = 1, 2,..., LCL = 0, UCL = MR-bar Karte für individuelle Beobachtungen, LCL = 3 (MR-bar/1.128), UCL = … CUSUM-Karte EWMA-Karte (: Glättungsparameter) EWMA i = x i + (-l) EWMA i-1

31 Prozesskontrolle31 EWMA- und CUSUM-Karten Vorteil: kleines ARL bei kleinen Störungen Nachteil: komplizierter

32 Prozesskontrolle32 Neuere Entwicklungen Kontrollkarten für seriell korrelierte Qualitäts-Charakteristika Kontrollkarten für multivariate Qualitäts- Charakteristika Kosten-optimale Kontrollkarten

33 Prozesskontrolle33 Prozessfähigkeit Fähigkeit des (Produktions-) Prozesses, die Anforderungen des Kunden zu erfüllen Anforderungen des Kunden Zielwert (T g, target value) Untere Spezifikationsgrenze (LSL, lower specification limit) Obere Spezifikationsgrenze (USL, upper specification limit)

34 Prozesskontrolle34 Prüfen der Prozessfähigkeit Graphische Darstellung des Prozesses zB Histogramm: optischer Eindruck der Prozessfähigkeit des Anteils, der die Anforderungen nicht erfüllt Fähigkeitsindizes Pre-control Karte

35 Prozesskontrolle35 Fähigkeitsindizes sind Indexzahlen, die das Ausmaß messen, in dem ein Prozess die Anforderungen des Kunden erfüllt. C p -Fähigkeitsindex C pk - Fähigkeitsindex C pm - Fähigkeitsindex CR- Fähigkeitsindex Engl.: capability indices

36 Prozesskontrolle36 C p -Fähigkeitsindex C p = (USL LSL)/(6) misst die zulässige Streuung des Prozesses als Anteil an der tatsächlichen Streuung

37 Prozesskontrolle37 C p -Fähigkeitsindex: Beispiel Normalverteilte Qualitätsvariable wenn = T g, enthält der ±3-Bereich 99.73% der Produkte C p = 1 bedeutet: 0.27% sind defekt wenn = T g Achtung! C p sagt nichts darüber aus, wie groß der Anteil der defekten tatsächlich ist!

38 Prozesskontrolle38 C p und Anteil der Defekten CpCp Bereich Def.ppm 1.00 ± ± ± ±

39 Prozesskontrolle39 C p -Fähigkeitsindex: Forts. Viele Unternehmen verlangen ein C p von 1.33! Schätzung von C p : wird durch s ersetzt C p -hat = (USL LSL)/(6s) Beispiel: C p -hat(Breite) = ( )/6(0.008) = 1.25; C p -hat(Stärke) = ( )/6( ) = 1.19.

40 Prozesskontrolle40 C pk -Fähigkeitsindex C pk = Min {USL, LSL}/(3) geschätzter C pk : und werden durch x-bar und s ersetzt C pk -hat = Min {USL x-bar, x-bar LSL}/(3s)

41 Prozesskontrolle41 C pk -Fähigkeitsindex: Beispiel C pk -hat(Breite) = Min{ , }/3(0.008) = Min {0.0353, }/0.024 = 1.03 C pk -hat(Stärke) = Min { , }/3( ) = 1.10.

42 Prozesskontrolle42 C pm -Fähigkeitsindex C pm = (USL LSL)/(6 ) mit (*) 2 = 2 + ( T g ) 2 Es gilt C pm = C p /[1 + ( T g ) 2 / 2 ] je größer | T g |, umso kleiner wird C pm gegenüber C p

43 Prozesskontrolle43 C pm -Fähigkeitsindex: Schätzung C pm -hat = (USL LSL)/(6s ) mit (s*) 2 = i (x i T g ) 2 /(n 1), oder C pm -hat = (USL LSL)/{6[s 2 + (x-bar T g ) 2 ]}

44 Prozesskontrolle44 C pm -Fähigkeitsindex: Beispiel C pm -hat(Breite) = ( )/ {6[(0.008) 2 + ( ) 2 ]} = 1.04 C pk -hat(Stärke) = ( )/ {6[( ) 2 +( ) 2 ]} = 1.15.

45 Prozesskontrolle45 CR-Fähigkeitsindex, Target-Z Fähigkeitsverhältnis (capability ratio) CR = 1/C p Anteil der zulässigen Streuung des Prozesses, den die tatsächliche Streuung ausnützt Target-Z: Maß für Abweichung zwischen und T g Target-Z = (T g )/

46 Prozesskontrolle46 CR-Fähigkeitsindex, Target-Z CR und Target-Z gemeinsam erlauben die Beurteilung der Prozessfähigkeit je kleiner CR und je kleiner |Target-Z|, umso besser Beispiel: Procter & Gamble: CR 1.33); |Target-Z| < 0.5 ( muss innerhalb von/2 von T g liegen)

47 Prozesskontrolle47 CR und Target-Z : Beispiel CR-hat(Breite) = 0.8 Target-Z-hat(Breite) = ( )/(0.008) = 0.66 CR-hat(Stärke) = 0.84 Target-Z-hat(Stärke) = ( )/( ) = 0.25

48 Prozesskontrolle48 Six Sigma Teil des TQM-Konzepts von Motorola Anforderungen: so, dass LSL und USL mindestens 6 von T g (USLT g, T g LSL 6) höchstens 1.5 von T g (| – T g | < 1.5) Prozess mit normalverteilter Qualitäts- variabler produziert maximal 3.4 defekte Stücke per Million!

49 Prozesskontrolle49 Six Sigma: Forts. Bei X ~ N(T g + 1.5, 2 ) P(defektes Stück) = 1 – P(T g 6 X T g +6) = 1 – P(-7.5 X 4.5) 1 – (4.5) = Beachte! C p =2; C pk = 1.5, wenn = T g + 1.5

50 Prozesskontrolle50 Fähigkeitsindizes in der Praxis Gutes Instrument zur Dokumentation Wahl von LSL und USL entscheidend Normalverteilungsannahme Stabiler Prozess vs. fähiger Prozess Schätzung der Fähigkeitsindizes

51 Prozesskontrolle51 Normalverteilungsannahme Bei Nichtzutreffen irreführend! Beispiel X ~ U(-1, 1), so dass = 0, = seien LSL = -1.5, USL = 1.5 die Wahrscheinlichkeit für defekte Produktion ist Null! Aber C p = 3/(6*0.577) = 0.87! Achtung! Bei light-tail Verteilungen ist der Prozess fähiger, als es Fähigkeitsindizes anzeigen; und umgekehrt.

52 Prozesskontrolle52 Schätzung der Fähigkeitsindizes einfache Stichprobe nicht ausreichend aus Prozesskontrolle: (n) (A 3 ) (s-bar)/3 oder (n) (A 2 ) (R-bar)/3 als Schätzer für (besser als s-bar!) x-barbar als Schätzer für Voraussetzung: stabiler Prozess!

53 Prozesskontrolle53 Konfidenzintervall für C pk C pk {1 ± 2[1/(9nC pk 2 )+1/(2(n-1))]} n: Zahl der Beobachtungen zum Schätzen von C pk Voraussetzung: Normalverteilter Prozess

54 Prozesskontrolle54 Pre-Control Karte Kontrolle der Fähigkeit; analog zur Mittelwertskarte CL: T g PC-lines: T g ± |USL- T g |/2 schließen grüne Zone ein Gelbe Zonen: PC-line bis LSL bzw. USL Rote Zonen: außerhalb LSL bis USL

55 Prozesskontrolle55 Pre-Control Karte: Verfahren Probelauf (PLauf): 5x in GrZ: Beginne Standardprüfung Wiederhole, wenn 1x in GeZ Justiere, wenn 2x in GeZ oder 1x in RZ Standardprüfung: Ziehen von Paaren 2 in GrZ oder je 1x in GrZ und GeZ: OK 2 in gleicher GeZ: justiere Niveau, PLauf 2 in versch. GeZ: justiere Prozess, PLauf 1 in RZ: justiere Prozess, PLauf


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