Transversalen im Dreieck

Präsentation zum Thema: "Transversalen im Dreieck"—  Präsentation transkript:

1 Transversalen im Dreieck
Transversalen sind besondere Linien im Dreieck man unterscheidet dabei diese 4 Arten: Mittelsenkrechte Winkelhalbierende Seitenhalbierende Höhe

2 Inhalt Mittelsenkrechte und Umkreis Winkelhalbierende und Inkreis
Definition der Mittelsenkrechten Eigenschaften der Mittelsenkrechten Umkreis Winkelhalbierende und Inkreis Definition Eigenschaften Inkreis Seitenhalbierende und Schwerpunkt Höhe Überblick

3 Mittelsenkrechte Auf der Mittelsenkrechten der Strecke [AB] liegen alle Punkte, die von A und B gleichweit entfernt sind. mAB Jeder Punkt der Mittelsenkrechte ist der Mittelpunkt eines Kreises, der durch A und B geht. A B

4 Eigenschaften der Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechte Geht durch die Mitte der Strecke Steht senkrecht auf der Strecke Ist Symmetrieachse der beiden Punkte Ist Symmetrieachse der Strecke

5 Der Umkreis eines Dreiecks
Der Schnittpunkt M der beiden Mittelsenkrechten mAB und mAC ist einerseits von A und B gleichweit entfernt, anderseits aber auch von A und C. C mAB mAC Also ist M auch von B und C gleichweit entfernt. Die Mittelsenkrechte mBC geht also auch durch M. M M ist also der Mittelpunkt des Kreises durch A, B und C. Dieser Kreis ist der Umkreis des Dreiecks ABC. A mBC B

6 Winkelhalbierende Auf der Winkelhalbierenden w des Winkels  liegen alle Punkte die von den beiden Schenkeln des Winkels gleiche Abstände haben. w Jeder Punkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt eines Kreises, der die beiden Schenkel a und b berührt b  A c

7 Eigenschaften der Winkelhalbierenden
Die Winkelhalbierende Geht durch den Scheitelpunkt des Winkels Halbiert das Winkelfeld Ist Symmetrieachse der beiden Schenkel Ist Symmetrieachse des Winkelfeldes

8 Der Inkreis im Dreieck C
Der Schnittpunkt O der beiden Winkelhalbierenden w und w ist einerseits von b und c gleichweit entfernt, anderseits aber auch von a und c.  w Also ist O auch von a und b gleichweit entfernt. Die Winkelhalbierende w geht also auch durch O. a w b O ist also der Mittelpunkt des Kreises, der c, b und a berührt. Dieser Kreis ist der Inkreis des Dreiecks ABC. O   A c w B

9 Die Seitenhalbierenden im Dreieck
Die Seitenhalbierenden gehen jeweils durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Die Seitenhalbierenden sa, sb und sc schneiden sich im Schwerpunkt S des Dreiecks. (Physikalische Bedeutung: Punkt, auf dem man das Dreieck balancieren kann.) Daher nennt man die Seitenhalbierenden auch Schwerlinien. C Ma sc Mb S sb B sa Mc A

10 Die Höhen im Dreieck Die Höhen gehen jeweils durch einen Eckpunkt und stehen auf der gegen-überliegenden Seite senkrecht. Die Höhen ha, hb und hc schneiden sich im Höhenschnittpunkt H, der keine besondere geometrische Bedeutung hat. C hc ha hb H B A

11 Eigenschaften der Transversalen im allgemeinen Dreieck
Geht durch den Eckpunkt Geht durch den Seitenmittel-punkt Steht auf der Seite senkrecht Halbiert den Winkel Mittel-senkrechte ja Seiten-halbierende Höhe Winkel-halbierende