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M. Bostelmann - Neuhäusel 20051 / 56 Matrizen. M. Bostelmann - Neuhäusel 20052 / 56 Marktforschung Ein Marktforschungsinstitut wird von einem Verlag damit.

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1 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Matrizen

2 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Marktforschung Ein Marktforschungsinstitut wird von einem Verlag damit beauftragt, das Kaufverhalten der Kunden von Fernsehzeitschriften zu untersuchen. Dies soll Hilfen für spätere Marketingentscheidungen liefern.

3 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Modell 2 Zeitschriften A und B die Gesamtzahl der Kunden bleibt konstant der Marktmechanismus bleibt konstant Vereinfachungen

4 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Daten Das Institut ermittelt mit Hilfe von Umfragen folgende Daten: pro Woche wechseln 20% der A-Kunden nach B pro Woche wechseln 5% der B-Kunden nach A Zeitschrift B hat 3000 Kunden Zeitschrift A hat 2000 Kunden

5 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Diskussion irgendwann kaufen alle Kunden die Zeitschrift B die Kundenzahlen oszillieren es stellt sich ein Gleichgewicht ein Wie entwickeln sich die Kunden- zahlen über einen längeren Zeitraum?

6 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Übergangstabelle

7 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Übergangsgraph

8 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Baumdiagramm

9 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Erste Prognose Nach zwei WochenA: ,5 = 1562,5 B: ,5 = 3437,5

10 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Entwicklung Untersuchen Sie die Entwicklung der Kunden- zahlen über einen Zeitraum von 10 Wochen. Verwenden Sie Excel !!!

11 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Excel-Eingabe =B5*(1-$B$1)+C5*$B$2=C5*(1-$B$2)+B5*$B$1 Kopieren Einfügen

12 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Excel-Ergebnis

13 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Excel-Grafik

14 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Zwischenbilanz Die Kundenzahlen von A sinken, die von B steigen. Hält diese Tendenz an? Fragen Hat A irgendwann keine Kunden mehr? Was passiert, wenn A zu Beginn mehr (noch weniger) Kunden hat ?

15 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Dynasys Definitionen Startwerte A:=2000 B:=3000 Ventile A_nach_B:=0.2*A B_nach_A:=0.05*B Modell

16 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Dynasys Simulationsparameter

17 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Dynasys Zeitdiagramm

18 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Dynasys Simulation

19 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Dynasys Tabelle

20 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Dynasys Simulation

21 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Dynasys Simulation über 50 Wochen

22 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Dynasys Anfangswerte A=4000 ; B=1000

23 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Dynasys Anfangswerte A=0 ; B=5000

24 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Dynasys Zeitliche Abhängigkeit der Änderungsraten

25 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Dynasys Vergleich von A und dA bei gleicher Skalierung

26 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Dynasys Vergleich von A und dA bei ungleicher Skalierung

27 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Schematisierung Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: A neu : 0,8· ,05·3000 B neu : 0,2· ,95·3000

28 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Schematisierung Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: A neu : 0,8· ,05·3000 B neu : 0,2· ,95·3000 Matrix

29 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Schematisierung Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: A neu : 0,8· ,05·3000 B neu : 0,2· ,95·3000

30 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Schematisierung Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: A neu : 0,8· ,05·3000 B neu : 0,2· ,95·3000 Vektor

31 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Schematisierung Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: =

32 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Schematisierung Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: =

33 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Schematisierung Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: = Übergangs- matrix alter Kunden- vektor neuer Kunden- vektor

34 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Definition Ein rechteckiges Zahlenschema mit n Reihen und m Spalten heißt (n x m)-Matrix. Eine (n x 1)- bzw. (1 x m)-Matrix heißt auch Spaltenvektor bzw. Zeilenvektor

35 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Multiplikation Für das Produkt einer 2x2-Matrix mit einem 2x1-Vektor definieren wir

36 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Symbolisierung Für Vektoren verwenden wir Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber, für Matrizen Großbuchstaben. Anfänglicher Kundenvektor: Übergangsmatrix: M = Damit ergibt sich

37 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Eingabe bei Derive EingabeAnzeige Zeilenvektor[1,2,3] Spaltenvektor[1;2;3] Matrix[1,2,3;4,5,6]

38 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Berechnung mit Derive Eingabe des anfänglichen Kundenvektors und der Übergangsmatrix. Initialisierung des Kundenvektors k. Berechnung des neuen Kundenvektors Eingabe abschließen durch Mausklick auf Approximieren. Keinesfalls die Enter-Taste verwenden!!!

39 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Berechnung mit Derive Durch mehrmaliges Klicken mit der Maus auf Approximieren erhält man eine Folge von Kundenvektoren, die die zeitliche Entwicklung des Kundenstamms zeigt.

40 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Iteration Bei der iterativen Berechnung von z.B. k 2 haben wir gerechnet Sollte man das vielleicht auch so berechnen können? Dazu müsste eine Multiplikation von Matrizen definiert werden.

41 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Matrizenmultiplikation Wir berechnen k 1

42 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Matrizenmultiplikation und dann k 2 Das sollte dann M 2 sein

43 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Matrizenmultiplikation Damit ergibt als Definition für die Multiplikation von zwei 2x2-Matrizen:

44 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Prognose Damit können wir nun Prognosen für beliebige Zeiträume auch ohne Iteration berechnen. Nach 10 Wochen:

45 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Berechnung mit Derive Eingabe Vereinfachen ergibt

46 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Berechnung mit Derive Eingabe Vereinfachen ergibt

47 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Berechnung mit Derive Eingabe Vereinfachen ergibt

48 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Stabiler Kundenvektor Offenbar beschreibt der Vektor k s = eine stabile Situation Mathematisch bedeutet dies Mit Hilfe dieser Gleichung sollte sich k s auch direkt berechnen lassen. bzw. ein dynamisches Gleichgewicht.

49 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Berechnung von k s Aus folgt Und daraus das LGS 0.8x y = x 0.2x y = y bzw. -0.2x y = 0 0.2x y = 0

50 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Berechnung von k s -0.2x y = 0 0.2x y = 0 Dieses LGS ist jedoch nicht eindeutig lösbar! Wir müssen aber auch noch x + y = 5000 berücksichtigen. Damit ergibt sich das LGS 0.2x y = 0 x + y = 5000 mit der eindeutigen Lösung x=1000 und y=4000

51 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Lösung mit Derive Eingabe Mit Mausklick auf Eingeben und Vereinfachen erhält man die Lösung

52 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Ergebnis Insbesondere ist das LGS nicht von einer speziellen Anfangsverteilung der Kunden abhängig. Also ist auch der stabile Kundenvektor unabhängig von der Anfangsverteilung der Kunden! Die Kundenverteilung stabilisiert sich. Der stabile Kundenvektor k s lässt sich mit Hilfe der Gleichung M·k s =k s und der konstanten Kundensumme berechnen.

53 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Grenzmatrix Untersucht man mit Derive Potenzen der Überführungsmatrix, so stellt man fest, dass auch hier eine Stabilisierung stattfindet. mit der Grenzmatrix M G. Offenbar gilt

54 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Grenzmatrix Die Grenzmatrix überführt den Anfangsvektor direkt in den stabilen Vektor. Sowohl die Grenzmatrix als auch der stabile Vektor sind von einer speziellen Anfangsverteilung unabhängig. Statt der Gesamtzahl der Kunden (5000) kann man auch von einer Gesamtmenge von 100% bzw. 1 ausgehen.

55 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Grenzmatrix Der Anfangsvektor kann dann in der Form geschrieben werden.

56 M. Bostelmann - Neuhäusel / 56 Grenzmatrix Durch Multiplikation mit der Grenzmatrix erhält man die erste bzw. zweite Spalte dieser Matrix: Daraus folgt: Die Spalten der Grenzmatrix stellen den stabilen Vektor dar.


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