Binomialverteilung: Beispiel

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1 Binomialverteilung: Beispiel
Anzahl der Erfolge bei n Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p Hormonuntersuchung bei Kälbern Wahrscheinlichkeit für Antibiotika positiv P = 1/10 gezogene Stichprobe n = 5 etc. Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

2 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

3 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

4 Stetige Zufallsgrößen
Darstellung durch Dichtefunktion f Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

5 Verteilungsfunktion stetiger Zufallsgrößen
: b Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

6 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Stetige Gleichverteilung a b Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

7 Stetige Gleichverteilung
Beschreibung: X ist eine Größe zwischen a und b, kein Punkt wird bevorzugt für für Beispiel: a=0, b=10, Wartezeit auf S-Bahn Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

8 Erwartungswert und Varianz stetiger Zufallsgrößen
Ist stetig mit Dichtefunktion , so definiert man: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

9 Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen
Für eine Zufallsvariable X gilt (mit beliebigen Konstanten a und b): Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

10 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Normalverteilung: Definition Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern , kurz X~N , falls sie die folgende Dichtefunktion besitzt: Erwartungswert Varianz Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

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Normalverteilung Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

12 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
Normalverteilung Beschreibung: „Glockenkurve“ Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

13 Anwendung der Normalverteilung
Die Normalverteilung dient als Verteilungsmodell in vielen praktischen Fragestellungen, z.B. bei Metrische Größen einer Population Summen und Durchschnitte von Zufallsgrößen Natürliche Variabilität Messfehler Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

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15 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005

16 Beispiel zur Normalverteilung
Bei 250 Katzen wurde der Creatinwert im Blut gemessen: Studie: Judit Zapirain Gastón et al. Prävalenzen des felinen Herpesvirus-1 felinen Calicivirus und von Chlamydophila felis in Mehrkatzenhaushalten Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

17 Quantile der Normalverteilung: Beispiel
Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit m=10 und =25. Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P (X > 20) P (5 < X < 20) P (-2 < X < 15) Beispiel: Fehler bei Messung Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

18 Chi-Quadrat Verteilung
Beschreibung: Summe der Quadrate von n normalverteilten Zufallsgrößen Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

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20 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 10.11.2005
i.i.d. Zufallsgrößen seien unabhängig und identisch verteilt. Man schreibt auch dafür: i.i.d. steht für „independent and identically distributed“. Ist und , so gilt: Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

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Grenzwertsätze Bei einer Stichprobenziehung werden n Personen gefragt oder n unabhängige Experimente durchgeführt. Man ordnet jedem Versuch eine Zufallsgröße Xn zu. Die n Zufallsgrößen sind dann i.i.d. Von Interesse ist dann u.a. die Verteilung des Stichprobenmittels Gesetz der großen Zahlen: Ist m der Erwartungswert einer ZG X, so liegt das der Mittelwert mit wachsendem n nahe bei m Zentraler Grenzwertsatz: ist für große n annähernd normalverteilt. Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin