Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich.

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1 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich leichter zu erfassen als Wahrscheinlichkeitsaussagen: An 30 von 100 solchen Tagen wie morgen regnet es Von 100 Männern im Alter von 40, die Nichtraucher sind erleiden 3 in den nächsten 10 Jahren einen Herzinfarkt In einem von 20 Fällen ist meine Prognose falsch 10 von 100 Lesern missfällt diese Werbung Aber: Wahrscheinlichkeiten sind keine relativen Häufigkeiten

2 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Beispiel: Lotto Beim Lotto ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Spiel einen 6er zu bekommen: Einmal in 13 Millionen Spielen Einmal in 268 000 Jahren Es ist wahrscheinlicher, den Tag der Ziehung nicht mehr zu erleben, als zu gewinnen Simulationsexperiment

3 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Zur Risikokommunikation –Absolutes Risiko –Relatives Risiko –Anzahl der zusätzlich geschädigten Individuen Es gibt drei Arten der Beschreibung von Risiken für die Gesundheit:

4 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Beispiel 2 : Perinatale Sterblichkeit und Reaktorunfall von Tschernobyl örblein und Küchenhoff (1997): Sterblichkeit 1987 von 0.8% auf 0.836 % erhöht Risiko um 4.5 % erhöht (relatives Risiko 1.045) ca. 317 zusätzlich verstorbene Kinder in Deutschland

5 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Beispiel 3 : Wirkung von Pravastatin Menschen mit hohem Cholesterinspiegel können das Risiko eines erstmaligem Herzinfarkts sehr schnell um 22 Prozent vermindern, wenn sie einen häufig angewandten Wirkstoff namens Pravastatin einnehmen Reduktion der Todesfälle von 41 auf 32 pro 1000 Patienten mit hohem Cholesterin 4.1% auf 3.2%. Differenz 0.9%. Reduktion um 22% (relatives Risiko 0.78) 22% werden gerettet Es müssen 111 Patienten behandelt werden, um ein Menschenleben zu retten

6 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Medizinische Tests 10 Erkrankt Personen Gesund 9 Test P1 Test N10 Test P 980 Test N

7 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Beachte: Die Bedingung entspricht der Bezugspopulation: Sensitivität: 9 von 10 Kranken werden als solche erkannt: P(Test positiv| Patient krank) = 9/10 Spezifität: 980 von 990 Gesunden werden als solche erkannt: P (Test negativ| Patient gesund) = 98/99 Positiver prädiktiver Wert: 9 von 19 Test P sind krank: P (Patient krank|Test positiv) = 9/19 Prävalenz: 1 von 100 Personen ist krank: P (krank) = 1/100 Bezugspopulation von zentraler Bedeutung

8 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Fehlspezifikationswahrscheinlichkeiten (bedingte) Klassifikationswahrscheinlichkeiten Diagnose: Klassifikation wahrer Status positiv negativ positiv negativ Sensitivität Empfindlichkeit P(T+|K+) Spezifität Treffsicherheit P(T-|K-)

9 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Krankheitswahrscheinlichkeiten im Diagnosetest In der Praxis interessieren in der Regel die Klassifikationswahrscheinlichkeiten weniger, wohl aber die Frage, ob ein Test-positives Tier wirklich krank ist, d.h. (bedingten) Krankheitswahrscheinlichkeiten Klassifikation Test Wahrheit (goldener Status) positiv negativ positiv negativ positiver prädiktiver Wert P(K+|T+) negativer prädiktiver Wert P(K-|T-)

10 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Beispiel Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getestetes Tier wirklich krank ist ? Prädiktiver Wert = ???? Sensitivität P(T+|K+) = 0.98 Spezifität P(T-|K-) = 0.95 Prävalenz P(K+) = 0.2

11 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Lösung durch hypothetische Population 200 krank 800 gesund 196 positiv4 negativ40 positiv760 negativ Positiver prädiktiver Wert:

12 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Theorie: Satz von Bayes Def.: Satz von Bayes: Multiplikationssatz:

13 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Satz von Bayes: Diagnosetests Kennt man Sensitivität, Spezifität und Prävalenz, so gilt für den positiven prädiktiven Wert

14 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Lösung durch Satz von Bayes Dann gilt für den positiven prädiktiven Wert Sensitivität P(T+|K+) = 0.98 Spezifität P(T-|K-) = 0.95 Prävalenz P(K+) = 0.2

15 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Diagnosetests: Beispiel II Dann gilt für den positiven prädiktiven Wert Sensitivität P(T+|K+) = 0.98 Spezifität P(T-|K-) = 0.95 Prävalenz P(K+) = 0.01

16 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Lösung durch hypothetische Population 100 krank 9 900 gesund 98 positiv2 negativ495 positiv9 405 negativ Positiver prädiktiver Wert:

17 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Diagnosetests: Beispiel BSE ??? Dann gilt für den postitiven prädiktiven Wert P(K+|T+) Übung Sensitivität P(T+|K+) = 0.99 (???) Spezifität P(T-|K-) = 0.99 (???) Prävalenz P(K+) = 0.001 (???)

18 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Diagnosetests und (kleine) Prävalenzen Achtung: Bei der Bewertung von diagnostischen Verfahren, falls die Prävalenz der Erkrankung sehr klein ist (BSE, HIV, …) ist die (absolute) Anzahl falsch positiver Diagnosen hoch ist der positive prädiktive Wert gering Wenn die Prävalenz gering ist,

19 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Begriff der Zufallsgröße Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt: Beispiele: Punkte beim Werfen zweier Würfel Zeit beim Warten auf den Bus Ja= 1 nein = 0 Formal Abbildung: Im Beispiel:

20 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße Zur Charakterisierung von Zufallsgrößen benutzt man die Verteilungsfunktion. Sie ist für eine Zufallsgröße definiert als Im Beispiel:

21 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße Zur Charakterisierung von diskreten Zufallsgrößen benutzt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Sie ist definiert als. Im Beispiel:

22 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsgrößen sei eine diskrete Zufallsgröße mit den möglichen Werten. Dann sind der Erwartungswert und die Varianz wie folgt definiert:

23 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Beispiel: Einfacher Würfel

24 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen Für eine Zufallsvariable gilt (mit beliebigen Konstanten a und b):

25 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Binomialverteilung: Idee Frage: Wenn man aus diesem Bestand zufällig n Tiere auswählt (mit Zurücklegen), wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass hiervon m Tiere erkrankt sind? insgesamt N Tieren davon sind M erkrankt und (N-M) nicht erkrankt Betrachtet wird ein Bestand mit

26 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Binomialverteilung: Formal Frage: ist Zufallsvariable mit möglichen Realisierungen Dann gilt:

27 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Binomialverteilung: Definition Die Zufallsvariable der Summe aus n unabhängigen 0-1-Variablen, heißt binomial-verteilt mit Parametern n und P, kurz X~Bin(n, P) Es gilt

28 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Binomialkoeffizient: Definition Beispiel Die Größe heißt Binomialkoeffizient.

29 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Binomialverteilung: Anwendungen krank vs. gesund schwarzbunt vs. braun Niedersachsen vs. Bayern Grenzwert überschritten vs. unterschritten Versuch war erfolgreich vs. nicht erfolgreich Die Binomialverteilung kann stets angewendet werden, wenn dichotome bzw. binäre, d.h. nomial skalierte Merkmale mit nur zwei Merkmalsausprägungen vorliegen

30 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Binomialverteilung: Beispiel Wahrscheinlichkeit für Antibiotika positiv P = 1/10 gezogene Stichprobe n = 5 Hormonuntersuchung bei Kälbern etc.

31 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Binomialverteilung: Eigenschaften Anzahl der erwarteten erkrankten Tiere E(X) = n P Beispiel: E(X) = 5 0.1 = 0.5 Varianz Var(X) = n P (1-P) Beispiel: Var(X) = 5 0.1 0.9 = 0.45

32 Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 03.11.2005 Weitere diskrete Verteilungen hypergeometrische Verteilung wenn die Auswahl ohne Zurücklegen erfolgt und die Gesamtheiten klein sind Poisson-Verteilung wenn die Ereignisse sehr selten sind