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Physik für Studierende der Fakultät III: Punktmechanik Vorlesung SS 2006 Prof. Adalbert Ding.

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Physik für Studierende der Bio- und Lebensmitteltechnologie: Punktmechanik Vorlesung WS 2003/04 Prof. Adalbert Ding.

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1 Physik für Studierende der Fakultät III: Punktmechanik Vorlesung SS 2006 Prof. Adalbert Ding

2 Physikalische Grundgrößen bestehend aus Zahlenwert und Einheit GrößeEinheitAbk. OrtMeter [m] ZeitSekunde[s] LadungCoulomb[C] MasseKilogramm[kg] (TemperaturKelvin[K]) (StoffmengeMol[1] )

3 Abgeleitete Größen (differentiell) Dies sind Vektorgrößen, die orts- und zeitabhängig sein können

4 Vektoren (1) Vektoren beschreiben gerichtete Größen. Sie können durch Länge (Größe) und Richtung oder durch Komponenten beschrieben werden Dreidimensionaler (3D) Vektor (Normalfall) 3 Komponten (z.B. x, y, z) oder 1 Länge, 2 Winkel Zweidimensionaler (2D) Vektor (ebenes Problem) 2 Komponten (z.B.x,y) oder 1 Länge [r], 1 Winkel[φ] Mehrdimensionaler Vektor n Komponten (z.B.x 1,..x i,..x n )

5 Vektoren (2) Haben 2 Multiplikationsarten: Inneres Produkt: Ergebnis skalar Vektorprodukt: Ergebnis vektoriell Keine Division! Sonderfall: komplexe Zahlen definiert durch 2 Komponenten, bzw. Länge und Winkel Produkt: Ergebnis komplex (nicht skalar) Division: Ergebnis komplex (nicht skalar)

6 Vektorfelder Die ortsabhängigen Vektoren werden in Vektorfeldern zusammengefasst: Beispiele: Geschwindigkeitsfelder (z.B. Wetter, Meeresströmung) Wärmeströmung Elektrische und magnetische Felder

7 Beispiele für Vektorfelder: Meeresströmung im Schwarzen Meer

8 Beispiele für Vektor- felder: Ostsee

9 Erhaltungssätze Ladung Masse Energie Impuls Drehimpuls (nichtrelativistisch)

10 Der Impuls Die Größe der Bewegung ist durch die Geschwindigkeit v und die Masse m (Menge der Materie) bestimmt: p = m·v Sie wird Impuls genannt. Der Impuls ist eine Vektorgröße, ist also gerichtet. Der Impuls kann nur durch das Einwirken einer Kraft geändert werden (s. 1. bzw. 2. Newtonsches Axiom).

11 m1m1 Einzel- und Gesamtimpuls m2m2 P = p 1 + p 2 = m 1 V 1 + m 2 V 2 V2V2 V1V1 p1p1 p2p2 V: Geschwindigkeit im Laborsystem

12 Erstes Newtonsches Axiom Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte F i gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern, d.h. bei abwesenden Kräften bleibt der Impuls konstant: p = const. wenn F i = 0

13 Zweites Newtonsches Axiom Die Änderung des Impulses ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und wirkt in die Richtung der einwirkenden Kraft: F = dp/dt =m·dv/dt + v·dm/dt Sonderfall m = const.: F = m·dv/dt = m·a NB: Das 1. Newtonsche Axiom ist ein Sonderfall des 2. Newtonsche Axioms für F=0

14 Drittes Newtonsches Axiom Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich oder Die Wirkung zweier Körper aufeinander ist stets gleich und von entgegengesetzter Richtung

15 Lineare Superposition von Kräften Kräfte werden vektoriell überlagert Die meisten physikalischen Größen können linear (skalar oder vektoriell) überlagert werden Da die Vektoren ortsabhängig sind entstehen ortsabhängige Vektorfelder

16 Überlagerung von Kräften An der Masse greifen 6 Kräfte an (Pfeile zeigen die Richtung an). Wie groß ist die resultierende Kraft? 60° 5N 3N 6N 2N 4N Wie groß ist die resultierende Kraft? Geben Sie diese graphisch und numerisch an! Welche Kraft muss addiert werden, damit die Masse in Ruhe (d.h. kraftfrei) bleibt.

17 Überlagerung von Kräften (2) An der Masse greifen 5 Kräfte an (Pfeile zeigen die Richtung an). Wie groß ist die resultierende Kraft? 45° 90° 11N 3N 6N 4N Wie groß ist die resultierende Kraft? Geben Sie diese graphisch und numerisch an! Welche Kraft muss addiert werden, damit die Masse in Ruhe (d.h. kraftfrei) bleibt. 45°

18 Grundlegende Kräfte Gravitationskraft Elektrostatische Kraft Magnetische (Lorenz-)Kraft 2 Kernkräfte

19 Gravitationsgesetz Für einen kleinen Körper auf der Erdoberfläche ist r 12 = r E Erdradius, m 2 = m E Erdmasse, m 1 Probemasse: F = m (1) ·g; g: Erdbeschleunigung=9,81 m·s -2 r 12 : Abstand der Massenmittelpunkte, r 12 0 gibt die Richtung an (Länge = 1) G: Gravitationskonstante G = 6,67· Nm 2 kg -2

20 Große Physiker und Astronomen vor 1700 ° Thales v. Milet( v.u.Z.) Pythagoras( v.u.Z) Demokrit(ca. 420 v.u.Z.) Archimedes ( v.u.Z.) Erathosthenes( v.u.Z.) Hipparch( v.u.Z.) Ibn Junus(ca. 1000) Leonardo da Vinci (1452 – 1519) Gallileo Gallilei (1564 – 1642) Nikolaus Kopernikus(1473 – 1543) Johannes Kepler (1571 – 1630) Rene Descartes (1596 – 1650) Pierre Fermat (1601 – 1665) Otto v. Guericke (1602 – 1686) Christian Huygens (1629 – 1695) Isaac Newton (1643 – 1727) E. Torricelli(1608 – 1647) Blaise Pascal (1623 – 1662) Robert Boyle(1627 – 1691) E. Maylotte(1620 – 1684)

21 Experimentelle Bestimmung der Gravitationskonstante G ° G: Gravitationskonstante G = 6,67· Nm 2 kg -2

22 Kräfte (abgeleitete) Reibungskräfte Fliehkräfte Corioliskraft ° Atomare und molekulare Kräfte ° z.B. zwischen Teilchen im Atom, zwischen Atomen, aber auch in Flüssigkeiten und Festkörpern

23 Spezifische Größen: Druck p Druck: Kraft pro Fläche p = F n /A

24 Kinetische Energie ist mechanische Bewegungsenergie E kin =m/2 v 2 Energiesatz gilt

25 Erhaltungssätze Ladung Masse Energie Impuls Drehimpuls (nichtrelativistisch)

26 Energie, Arbeit, Leistung Mechanische (kinetische) Energie: m/2·v 2 Mechanische Arbeit W = F·s F·ds Leistung N= W/t Wenn die Arbeit, einen Gegenstand von Punkt nach Punkt B zu bringen, unabhängig ist vom Weg, kann die Kraft F als 3D-Ableitung (Gradient, Steigung) eines Potentials V geschrieben werden: F = -grad V (-dV/dx, -dV/dy, -dV/dz) Solche Kräfte werden konservativ genannt Die Gravitationskraft, die Coulombkraft sind konser- vative Kräfte, die Reibungskräfte, die Corioliskraft sind nicht konservativ.

27 Erhaltung der mechanischen Energie E gesamt = E pot + E kin + E rot + E therm + E photon + E elstat + E magn + ( E grav ) Bei Abwesenheit anderer Energieformen (Thermische Energie, Photonen, Feldenergien) gilt E gesamt = E pot + E kin + E rot

28 Erhaltung der mechanischen Energie Beginn: E kin =0, E rot =0 E gesamt = E pot (1) Ende: E gesamt = E pot (2) + E kin + E rot V 12 = E pot (2) - E pot (1) = E kin + E rot

29 Freier Fall Die Energie eines im Erdfeld fallenden Körpers ist F· h = m·g·h Nach Durchfallen der Höhe h ist die kinetische Energie

30 Die Vakuumkanone(2) Arbeit = kinetische Energie = F·l Beispiel Tennisball: 68g Durchmesser: 6,6 cm m=0,08kg (inklusive Leitwerk); A =34,2 cm 2 =34,2·10 -3 m 2 p 10 5 Pa (1000 hPa) E kin = 34,2 ·10 -4 m 2 ·10 5 ·Nm -2 · 1m = 342 J E kin = m / 2 ·v 2 v = ( 2E / m ) 0,5 =8553 0,5 92,5 m ·s -1 {332 km/h} l Ein Tennisball mit Leitwerk wird in ein evakuiertes Rohr (blau) hineingesaugt und durchläuft dort die Strecke l=1m. Der Außendruck beträgt 1000 hPa. Wie groß ist die kinetische Energie E kin und die Geschwindigkeit v nach Durchlaufen dieser Strecke? Lösung: F=A·p

31 Schwerpunkt Der Schwerpunkt eines Körpers ist ein ideeller Punkt, in dem man sich die gesamte Masse des Körpers oder der Körper (z.B. Punktmassen) vereinigt denken kann. Im Schwerefeld kann der Körper durch eine Gegen- kraft, die auf den Schwerpunkt wirkt und gleich aber entgegengesetzt der Kraft ist, die auf die Gesamt- masse wirkt, im Gleichgewicht gehalten werden Der Schwerpunkt kann auch außerhalb des oder der Körper liegen

32 m1m1 x Schwerpunktgeschwindigkeit m2m2 P = p 1 + p 2 = m 1 V 1 + m 2 V 2 V2V2 V1V1 p1p1 p2p2 P = M·v s = (m 1 + m 2 )V s vsvs vsvs v2v2 v1v1 y z R1R1 R2R2 Schwer- punkt r2r2 r1r1 rsrs V i : Geschwindigkeit im Laborsystem v i : Geschwindigkeit im Schwerpunkt- system v s : Geschwindigkeit des Schwerpunkts

33 m2m2 m1m1 y z x Schwerpunkt von 2 Punktmassen rsrs Schwer- punkt R2R2 R1R1 r2r2 r1r1 R i : Koordinaten im Laborsystem r i : Koordinaten im Schwerpunkt- system r s : Koordinate des Schwerpunkts m i : Punktmassen

34 y z x Schwerpunkt von mehreren Punktmassen m3m3 m1m1 m2m2 m5m5 m4m4 R5R5 R2R2 R4R4 R1R1 R3R3 r5r5 r4r4 r2r2 r1r1 r3r3 Schwer- punkt rsrs

35 Einfaches Tragwerk Wand Regal (2D) Last Beispiel: gegeben m=10 kg, y=1m, x=2m gesucht: F L, F hor, F diag (Druck oder Zugkräfte?) Lösung: F L =100N, F hor =(x/y)·F L =200N; F diag =(F L 2 +F hor 2 ) 0,5 =224N Zug Druck x=2m y=1m DübelF hor FLFL F diag F dübel = F hor

36 Einfaches Tragwerk (2) Fundament Unsymmetrische Schaukel (2D) Last F G = m·g F ly F ry F lx F rx F ly F lx + F rx = 0 F ly + F ry + F G = 0 FGFG Newton I Gegeben: m, h, x l, x r Gesucht: F G, F l, F r (in Komponenten) und Vektordarstellung h xlxl xrxr

37 Drehgrößen Neue Größen: Winkelgeschwindigkeit = dφ/dt Winkelbeschleunigung = d /dt Drehimpuls : l = r x p Drehmoment : M = r x F Rotationsenergie : E rot = p 2 /2m = I/2 · 2 Drehimpuls- und Drehmomentvektoren zeigen in Richtung Drehachse !

38 Erhaltungssätze (im geschlossenen System, nichtrelativistisch) Ladung Masse Energie Impuls Drehimpuls

39 Drehgrößen vs. Lineare Größen Drehgrößen Drehimpuls Drehmoment Rotationsenergie Lineare Größen Impuls Kraft Kinetische Energie

40 Gegenüberstellung von linearen G r ößen und Drehgrößen (1) Strecke s Drehwinkel Geschwindigkeit v Winkelgeschwindigkeit Beschleunigung a Winkelbeschleunigung Masse m Trägheitsmoment J Kraft F Drehmoment M Impuls p Drehimpuls l Man beachte die unterschiedlichen Dimensionen auf der linken und der rechten Seite

41 Gegenüberstellung von linearen Größen und Drehgrößen°

42 Zentrifugal- beschleunigung v0v0 v1v1 v·cos( ) v·1 = v v·sin( ) v· t |v 1 | = |v 2 | = v

43 Zentrifugalkraft v0v0 v1v1 t r

44 Karussel r Beispiel: m=50 kg, r = 10 m, =2πf = 1 s -1 (1 Umdrehung in ca.6 s) gesucht: F g, F zent, F res, θ F res 700 N ; θ = 45° (θ unabhängig von der Masse) θ

45 Corioliskraft ° Verschiedene Koordinatensysteme, die sich gegenseitig linear bewegen, haben dieselben Naturgesetze (Inertialsysteme). Rotieren sie gegeneinander, so treten zusätzliche (Pseudo-)Kräfte auf: 1.Die Zentrifugalbeschleunigung (s.o) 2.Corioliskräfte

46 Das Foucaultsche Pendel: Ein auf der Erde in x-y-Richtung beweg- liches Pendel erfährt eine Coriolis-Beschleunigung, die senkrecht zur Pendelbewegung wirkt. Dadurch wird die Ebene, in der das Pendel schwingt, gedreht (an den Polen: 360°/d). Corioliskraft (1) °

47 Corioliskraft (2) ° Wettersystem: rechts: Nordhalbkugel unten: Südhalbkugel

48 Corioliskraft (3): Tornado °

49 Anwendung Newtonsche Axiome: Statik Keine beschleunigte Bewegung, wenn die Summe aller an einem Punkt angreifenden Kräfte gleich Null wird: Keine beschleunigte Drehung, wenn die Summe aller Momente verschwindet:

50 Einfaches Tragwerk (alternative Berechnungsmethode) Wand Regal (2D) Last Beispiel: gegeben m=10 kg, y=1m, x=2m gesucht: F L, M L,, M D, F dübel (Druck oder Zugkraft?) Beispiel: m=10 kg F L =100N M L =200Nm F dübel = M D /y = -M L /y = -200N Zug Druck x=2m y=1m Dübel M D =y·F dübel FLFL F dübel Anwendung von Momenten: M L =x·F L M L + M D = 0 Drehpunkt

51 Belasteter Balken (2D) Beispiel: gegeben x=2m, y=3m, w=10m, m 1 =100kg, m 2 =200kg, m 3 =0 (gewichtsloser Balken) oder m 3 = 50kg (Gewicht des Balkens) gesucht: F L1, F L2, F LS, F Lager (linkes und rechtes Lager; Kraftrichtung?) und die entsprechenden Drehmomente Anleitung: der Drehpunkt wird in das linke oder das rechte Lager gelegt! F Lager Lager xy m1m1 F L1 F L2 F LS m2m2 m3m3 Schwerpunkt des Balkens w s1s1 sSsS s2s2 s3s3

52 Belasteter Balken (Fortsetzung) Aufgabe: gegeben x=2m, y=3m, w=10m, m 1 =100kg, m 2 =200kg, m 3 =0 (gewichtsloser Balken) oder 50kg (Gewicht des Balkens) gesucht: F L1, F L2, F L3, F Lager (linkes und rechtes Lager; Kraftrichtung?) und die entsprechenden Drehmomente Anleitung: der Drehpunkt wird in das linke oder rechte Lager gelegt! Lösung: Gewichtsloser Balken: F L1 =1000N, F L2 =2000N, F LS =0, s 1 =2m, s 2 =7m, s S =5m, s 3 =10m, M 1 =200Nm, M 2 =1400Nm, M 3 =10*F lager - >M 1 +M 2 +M 3 =0 -> M 3 =-16000Nm, F Lager =-1600N Balken mit Gewicht: F L1 =1000N, F L2 =2000N, F LS =500N, s 1 =2m, s 2 =7m, s S =5m, s 3 =10m, M 1 =2000Nm, M 2 =14000Nm, M 1S =250Nm, M 3 =100* F lager -> M 1 +M 2 +M S +M 3 =0 -> M 3 =-16250Nm, F Lager =-1625N

53 Komplexes Tragwerk ° Fachwerkbrücke Modell einer Fachwerkbrücke mit 2 Lagern und 5 Knoten belastet durch 2 x 50 Krafteinheiten (Pfeile nach unten). Berechnet werden die Druckspannungen (blau) und die Zugspannungen (rot) sowie die auf die Lager wirkende Kraft (Pfeil nach oben). In allen Knoten muss die Summe der Kräfte gleich Null sein. Zusätzlich muss die Summe der externen Kräfte (Pfeile) verschwinden.

54 Erhaltungssätze Ladung Masse Energie Impuls Drehimpuls (nichtrelativistisch)

55 Energiearten Kinetische Energie Potentielle Energie Thermische Energie Elektrostatische Energie Magnetostatische Energie Elektromagnetische Energie (z.B. Licht) Kernenergie

56 Beispiel Energiespeicher Mechanischer Energieinhalt eines Wasserbeckens: E pot =F s ·h=m ·g ·h m: Masse, h:Höhe, g:Erdbeschleunigung Beispiel: Becken (50m·20m·2m=2000t), Höhe 20m 2·10 6 kg ·10ms -2 ·10m=2·10 8 kgm 2 s -2 (Nm=J) 55kWh

57 Keplersche Gesetze

58 Keplersche Gesetze (1) Die Planeten laufen auf Elipsenbahnen, in deren (einem) Brennpunkt die Sonne steht. Das Produkt aus Bahnradius und Geschwin- digkeit ist konstant (Erhaltung des Dreh- impulses) Das Quadrat der Umlaufzeit ist proportional zur 3. Potenz des Bahnradius

59 Keplersche Gesetze (1a)° Wie ist die Umlaufzeit definiert? Ein (siderischer) Umlauf eines Him- melskörpers entspricht einem Bahn- winkel von 360° (in Richtung auf weit entfernte Sterne und nicht auf die Sonne). Beispiel: Mond (Zentralgestirn Sonne). Die scheinbare Umlaufzeit (gleiche Richtung (Sternbild) am nächtlichen Himmel) ist mit 27,32 d 2,2 d kürzer als die Zeit (29,5 d) zwischen Neumond und Neumond (gleiche Richtung zur Sonne)

60 Keplersche Gesetze (2)

61 Beispiele zu den Keplerschen Gesetzen Die Keplerschen Gesetze gelten nicht nur für die Bewegung der Planeten um die Sonne, sondern auch für die Bewegung der Monde und Satelliten um die Planeten Beipiel Erde: Mond:Bahnradius: r Mond 3,84·10 5 km Umlaufzeit: T Mond 27,32 d Frage: Wie gross ist der Bahnradius, wenn die Umlaufzeit T Sat = 1d beträgt (geostationäre Satelliten)?

62 Beispiele zu den Keplerschen Gesetzen (2) ° (genauere Berechnung: siderale Umlaufzeiten und Berücksichtigung des Schwerpunkts zwischen Erde und Mond) Beipiel geostationärer Satellit : Mond: Bahnradius: r M-E 3,84402·10 5 km siderale Umlaufzeit: T Mond 27,32 d Abstand vom Schwerpunkt: Frage: Wie gross ist der Bahnradius, wenn die siderale Umlaufzeit beträgt? Die Bahnradien werden vom Mittelpunkt der Massen gemessen!

63 Bahn- und Eigendrehimpulse der Himmelskörper ° Die Bahn- ( ) und Eigendrehimpulsvektoren ( ) von Sonne, Planeten, Monden und Planeten- bzw. Mondbahnen, zeigen ebenso wie der Drehimpuls der Sonnenbahn um die Zentralgalaxie in etwa dieselbe Richtung:

64 Schiefe Ebene ohne Reibung l Gegeben: Masse des Körpers m=1,3 kg Neigungswinkel α = 30° Länge der schiefen Ebene l=5 m m F HA FGFG FNFN α α α h Wie groß ist die Gewichtskraft F G, die Normalkraft F N und die Hangabtriebkraft F HA ? Wie groß ist die Geschwindigkeit v und die Energie E kin des Körpers am Ende der schiefen Ebene? Wie groß ist h? Was bewirkt F HA? Welche Rolle spielt F N ?

65 Reibung Reibungskraft F R Die Reibungskraft eines festen Körpers auf einer festen Unterlage hängt nur von der senkrecht auf die Unterlage wirkenden Kraft, der sog. Normal- kraft F N ab, nicht jedoch von der Kontaktfläche. Der Proportionalitätsfaktor wird mit μ bezeichnet. Die Richtung der Reibungskraft ist immer entgegengesetzt der Bewegungsrichtung. Im Gegensatz dazu hängen die Reibungskräfte von festen Körpern, die sich in einer Flüssigkeit bzw. einem Gas bewegen von der Geschwindig- keit und der Form des Körpers ab.

66 Reibung Reibungskraft F R Fester Körper auf Unterlage: F R =μ · F N Bewegung in einer viskosen Flüssigkeit: F R =c v ·v = 6πηrv für eine Kugel v Geschwindigkeit η dynamische Viskosität, r Kugelradius Schnelle Bewegung in einem Gas. F R =c w ·ρ/2 · v 2 c w Widerstandsbeiwert (formabhängig), ρ Dichte

67 Reibungskraft F R Fester Körper auf Unterlage: F R =μ · F N Schiefe Ebene F R ~F HA ~F Last =F N F Last F HA α α FRFR

68 Reibungskraft F R Fester Körper auf Unterlage: F R =μ · F N Schiefe Ebene F R ~F HA ~F Last =F N F Last F HA α α FRFR F Last F HA α FRFR

69 Reibung fester Körper Reibungskraft F R, Normalkraft: F N, Fester Körper auf Unterlage: F R =μ · F N μ: Reibungskoeffizient Die Reibung ist vor Beginn der Bewegung am größten (Haftreibung; μ H ), Gleitet der Körper auf der Unterlage so verringert sich der Reibungskoeffizient (Gleitreibung; μ G ) Rollt der Körper so ist die Reibung am geringsten (Rollreibung; μ R )

70 Reibung fester Körper ° Reibungskraft F R, Normalkraft: F N, Reibungskoeffzient Haftreibung µ 0 Gleitreibung µ Autoreifen auf Asphalt0,950,8 Holz auf Holz0,50,25 Stein auf Stein0,60,5 Stahl auf Eis0,0150,01 Stahl auf Stahl0,150,1 Stahl auf Teflon0,040,04 Leder auf Metal0,40,3 Ski auf Schnee0,04...0,20,04...0,2

71 Reibung fester Körper: Beispiel Stein auf Stein, Übungsaufgabe: gegeben m 1,m 2, μ, μ =0,4 (Stein auf Stein) gesucht:F G, F S, F N, F R, a(m 1 ) Reibungskraft F R =μ ·F N, Normalkraft: F N =g ·m Im Gleichgewicht ist 2F S =F G und F G =10·100 =1000 N F S =500 N F N = 10·60=600 N F R =0,4 ·300 = 240 N Resultierende Kraft: F res = F S - F R =500 – 240 =260 N Die Beschleunigung der Masse m 1 ist m 1 ·a(m 1 ) = 260N a(m 1 ) = 260N/60kg=4,33m·s -2 FRFR FSFS FSFS FSFS FGFG FNFN m 2 = 100kg m 1 =60kg Rollen, Ohne Reibung FSFS


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