Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

1 VI. Systeme mit vielen Freiheitsgraden und ihr Verhalten im Mittel: Wärmelehre VI.1.Gleichgewichtszustände und Zustandsgleichungen.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "1 VI. Systeme mit vielen Freiheitsgraden und ihr Verhalten im Mittel: Wärmelehre VI.1.Gleichgewichtszustände und Zustandsgleichungen."—  Präsentation transkript:

1 1 VI. Systeme mit vielen Freiheitsgraden und ihr Verhalten im Mittel: Wärmelehre VI.1.Gleichgewichtszustände und Zustandsgleichungen

2 2 VI.1.1. Problemstellung System z.B. Gas, Flüssigkeit, Photonen, Gitterschwingungen,… Umgebung, z.B. Wärmebad Randbedingungen (z.B. Wände) Typische Größe: 1 Mol 6,02·10 23 Teilchen N A N A # 12 C-Atome in 12 g des Kohlenstoff-Isotops 12 C Avogadro-Konstante GAS

3 3 Beispiel: System von N Massenpunkten Klassische Mechanik N gekoppelte, nichtlineare Differentialgleichungen Lösungsversuch beliebig hoffnungslos Lösung experimentell unüberprüfbar Datenmenge einer Lösung nicht mal annähernd zu bewältigen Anfangsbedingungen nicht messbar/einstellbar Lösung ist chaotisch extrem beschränkte zeitliche Gültigkeit Folgerung: Makroskopische Konzepte sind notwendig Ziel ist Beschreibung des Systems im statistischen Mittel Suche vollständige Formulierung mit möglichst wenigen relevanten makroskopischen Observablen

4 4 System Makro-Observablen Makroskopische Phänomenologie Wärmelehre / Thermodynamik Makro-Beschreibung aus wenigen Axiomen der Makro-Physik (eigenständige Theorie) Statistische Physik Statistische Auswertung der Mikrophysik Klassische Mechanik / Quantenmechanik

5 5 GAS VI.1.2. Grundlegende Begriffe 1.Abgeschlossenes (isoliertes) System: Keinerlei Austausch mit Umwelt (Materie, Energie, Felder, Information,…) Beispiel: Thermoskanne mit Deckel 2.Geschlossenes System: Keinerlei Materie-Austausch mit Umwelt aber z.B. Austausch von Wärme, Volumenarbeit,… Beispiele: Dampfdruckkochtopf, Zylinder mit beweglichem Kolben 3.Offenes System: Austausch von Materie (Wärme, Arbeit,…) Beispiel: Nicht verschlossener Kochtopf 4.Wärmebad: Unendliches Energiereservoir bei konstanter Temperatur

6 6 5.Zustandsgrößen/variablen Observablen, die das makroskopische System charakterisieren Zustandsvariableenergiekonjugierte Variable Einheiten Druck p Volumen V[p]·[V] J Temperatur T Entropie S[T]·[S] J Chemisches Potential Teilchenzahl N[ ]·[N] J : Energie, die System bei Hinzufügen eines Teilchens gewinnt S k B ·ln mit,,Zahl der mikroskopischen Realisierungen Maß für die Unbestimmtheit des Mikrozustandes 6.Zustandsgleichungen Beziehungen zwischen (nicht unabhängigen) Zustandsvariablen Beispiel: Ideales Gas p V N k B T 7.Zustandsraum Aufgespannt von vollständigem Satz unabhängiger Zustandsgrößen

7 7 GAS 8.Intensive und extensive Zustandsgrößen System 1 X, Y System 2 X, Y System 1 & 2 X, 2Y X intensiv Y extensiv Beispiel: intensive Zustandsgrößen: p, T, extensive Zustandsgrößen: V, S, N, innere Energie 9.Relaxation: Beobachtung Gleichgewichtszustand nach kurzer Relaxationszeit (statistische Durchmischung) GasVakuum Schieber Gas homogene Gasverteilung (Gleichgewicht)

8 8 10.Quasistatische Prozesse Zustandsänderungen, die langsam im Vergleich zur Relaxation ablaufen darstellbar als Folge von Gleichgewichtszuständen Kurve im Zustandsraum p V A B Kreisprozess Beispiel: Ideales Gas p V N k B T (p,V)-Zustandsraum p V A B Quasistatischer Prozess A B const. T T,V p T T, V+dV p dp p Wärmebad (Heizung) thermischer Kontakt … Beispiel: Kolben

9 9 11.Reversible und irreversible Prozesse Mikrophysik: invariant unter Ersetzung t t t Mikroskopische Dynamik ist zeitlich umkehrbar (reversibel)! Makrophysik: Dynamik der Zustandsgrößen kann irreversibel sein GasVakuum Schieber Gas irreversibel: reversibel: quasi- statisch E kin = const. S wächst E kin S

10 10 VI.1.3. Temperatur (vorläufige, empirische Definition) Beobachtung: Für alle hinreichend dünne Gase ( N V 0 ) gilt bei gleicher Temperatur T Boyle-Mariotte-Gesetz: thermischer Kontakt Austausch von Wärmeenergie T 1 T 2 (im Gleichgewicht) Gas 1Gas 2 Experimentell:

11 11 Methoden zur Temperaturmessung: b) Wärmeausdehnung Quecksilber- / Alkoholthermometer c) T-abhängiger elektrischer Widerstand Demo-Experiment Eiswasser 0 °C warmes Wasser Temperatur T Konstantan (Ni, Cu) Kupfer (Cu)(Cu) U th = f (T) d) Thermospannung Thermoelement e) Wärmestrahlung Pyrometer Stefan-Boltzmann-Gesetz P T 4 a) Boyle-Mariotte-Gesetz Gasthermometer

12 12 Definition: Fixpunkte der Celsius-Skala Gefrierpunktvon H 2 O: T F 0 ºC Siedepunkt von H 2 O: T S 100 ºC ºC Grad Celsius ( bei Normaldruck von 1 atm 1, Pa 760 Torr ) T C -Skala: mit dem Gasthermometer Hierzu ausgenutzt: Ausdehnung flüssiger / fester Körper... oder einfacher auf der Quecksilbersäule

13 13 Definition von T C mit dem Gasthermometer: flexibler Schlauch Gas p V ρ z.B. Quecksilber feste Marke Vakuum Höhenadjustierung Gas 0 °C TCTC h U Heizung TCTC

14 14 T in ºC bei p,N const. V bei T C 0 ºC a) bei V,N const. p bei T C 0 ºC b) Gay-Lussac-Gesetz Experimenteller Befund: Gasthermometer: V const. Boyle-Mariotte: Gasthermometer-Def. von T (T) ist linear in T

15 15 Definition: Absolute Temperatur T, T 1 K 1 Kelvin bei V const. Aus Gay-Lussac-Gesetz folgt: Folgerung:

16 16 Thermische Ausdehnung flüssiger / fester Körper r E Bindungspotential im Kristall Ruhelage (T = 0) Wärmeschwingung Abstand benachbarter Atome thermische Ausdehnung T T Linearer Ausdehnungs- koeffizient Volumenausdehnung: linearer Raumausdehnungskoeffizient

17 17 VI.1.4. Wärme Zuführung der Wärmemenge Q Temperaturänderung T Definition (alte Einheit): 1 kcal 1 Kilokalorie ist diejenige Wärmemenge, die benötigt wird, um 1kg Wasser bei Normaldruck von 14,5 ºC auf 15,5 ºC zu erwärmen. Intuitiv: thermische Energieform thermischer Kontakt Wärmebad (Heizung) Q

18 18 Umwandlung elektrischer/mechanischer Energie in Wärme: Dewar elektrisch U I 1 kg H 2 O Vakuum °C°C mechanisch °C°C Behälter mit Wasser m r n Umdrehungen Wärme-Äquivalente

19 19 Einige mögliche Wirkungen von Q: Q Wärmebad V const. Wärmebad V const. irreversibel reversibel T Q W T Q W Verdampfen Wasser Kondensierenen Dampf Q Q

20 20 Definition: Spezifische Wärme c eines Materials: Masse des Systems spezifische Wärme Definition: Wärmekapazität C eines Systems: Definition: Spezifische Molwärme C mol eines Materials:, M mol Masse von 1 Mol Die Anzahl der Moleküle in der Stoffmenge von 1 Mol ist gleich der Anzahl der 12 C-Atome in 12 g des Kohlenstoff-Isotops 12 C. Diese Zahl lautet: Avogadro-Konstante N A 6, mol 1

21 21 °C°C Messung der spezifischen Wärme: H 2 O M W c W Mischungs- Kalorimeter C D T1T1 T2T2 M K c K Anfang:T 2 T 1 Ende:T 1 T 2 T M Anfang:T 2 T 1 Ende:T 1 T 2 T M

22 22 VI.1.5. Das ideale Gas Gasteilchen sind annähernd Punktmassen ( N·V Teilchen V ) Gasteilchen haben keine Wechselwirkung bis auf elastische Stöße untereinander und mit den Wänden Folgerung: Ideales Gas ist Grenzfall des unendlich dünnen Gases mit n Anzahl der Mole in V Definition: Boltzmann-Konstante Definition: Allgemeine Gaskonstante Thermische Zustandsgleichung: a) Thermische Zustandsgleichung

23 23 b) Kinetische Gastheorie Statistischer Zugang zum idealen Gas: Bezugssystem Ruhesystem des Gases (Schwerpunktsystem) Geschwindigkeitsverteilung ist isotrop – keine Raumrichtung ist ausgezeichnet Druck entsteht durch elastische Stöße der (fast) punktförmigen Gasatome mit den Wänden – keine weiteren Wechselwirkungen Zahl der Stöße während t: Impulsübertrag pro Stoß: Betrachte Atome mit Geschwindigkeitskomponente v x Wand. 50% davon haben v x 0 ( auf die Wand zu). x A m Druck auf Wand:

24 24 Die Temperatur charakterisiert die mittlere kinetische Energie der ungeordneten Bewegung der Gasatome Gas wechselwirkungsfrei Innere Energie Kalorische Zustandsgleichung GAS

25 25 Bemerkung: Energie verteilt sich gleichmäßig auf f 3 Freiheitsgrade der Bewegung (Translation). Gilt allgemein für beliebig viele Freiheitsgrade (Äquipartitionstheorem): einatomiges Gas f = 3(Translation) zweiatomiges Gas f = 3(Translation) + 2(Rotation) 3-atomiges Gas f = 3(Translation) + 3(Rotation) Schwingungsmoden erst bei sehr großen T (QM: ) GAS

26 26 Bemerkung: Innere Energie des Phononengases Schwingungen der Gitteratome: Phononen Kristallgitter Mittlere Energie einer Schwingungsmode: D x m 3 Schwingungsrichtungen f 3 (kinetisch) 3 (potentiell) 6 versagt für T 0K Quantenmechanik

27 27 Bemerkung: Obige Schreibweise ist mathematisch unsauber, denn v x ist eine kontinuierliche Größe. Präzisierung: ρ x v x dv x sei Wahrscheinlichkeit für d. h. Wahrscheinlichkeitsdichte

28 28 c) Maxwell-Boltzmann-Verteilung 0 Bewegung in x, y, z unabhängig Wir wissen bereits: Isotropie der Verteilung Mittelwert und Breite: Wir suchen Wahrscheinlichkeit für Geschwindigkeit im,,Volumen- element dv x dv y dv z um.

29 29 und analog für v y, v z Lösung: Normierung:Breite: Gaußverteilung

30 30 Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung Verteilung im Geschwindigkeitsbetrag v: Kugelkoordinaten

31 31 0 Gauß- Verteilung 0 v 2 Gaußfunktion mit rms-Breite (root-mean-square) root mean square GAS

32 32 Verallgemeinerung: Geschlossenes System im thermischen Gleichgewicht T E mikroskopische Energiezustände E1E1 E2E2 E3E3 E4E4 E5E5 E6E6 Realisie- rungen q 1 1 q 2 3 q 3 1 q 4 2 q 5 1 q 6 1 Besetzungs- zahl N 1 5 N 2 8 N 3 3 N 4 4 N 5 0 N 6 1 Besetzungswahrscheinlichkeit: P i = N i N Boltzmann-Verteilung (diskret / kontinuierlich) mit

33 33 Beispiele: 1) Ideales Gas: Maxwell-Verteilung 2) Ideales Gas: Maxwell-Verteilung 3) Isotherme Atmosphäre: Barometrische Höhenformel

34 34 d) Mittlere freie Weglänge mittlere Flugstrecke eines Gasteilchens bis zur Kollision mit einem anderen Gasteilchen Gasteilchen als harte Kugeln mir Radius r streuendes Teilchen Streuung falls Abstand der Mittelpunkte 2 r Stoß-Wirkungsquerschnitt:

35 35 Stoßwahrscheinlichkeit bei Durchqueren einer dünnen Schicht: ds A Streuzentren: Stoßwarscheinlichkeit: (s)ds: Wahrscheinlichkeit für freies Durchlaufen der Strecke s Stoß in der nächsten Schicht ds Mittlere freie Weglänge:

36 36 Mittlere freie Weglänge: charakteristische Stoßzeit ( Zeitskala der Relaxation) Beispiel: Luft ( Stickstoff ) Druck Temperatur normal: 10 5 Pa 300 K 70 nm 80 ps Vakuum: 10 4 Pa 300 K 70 m 80 ms Weltall: Pa 50 K 20·10 6 km 6·10 7 s 2 y (Molekülwolken)

37 37 VI.1.6. Das reale Gas a) Die Van-der Waals-Gleichung Korrekturen zum idealen Gas endliches Volumen der Gasmoleküle: V V nb Teilchenanziehung 1 Teilchen an Oberfläche: F Teilchen pro Fläche Oberflächenkraft 2 Zusatzdruck (Binnendruck) im Inneren des Gasvolumens Folgerung: Van-der-Waals-Gleichung:

38 38 Van-der-Waals-Gleichung: V p ideales Gas Koexistenz Dampf / Flüssigkeit Übersättigter Dampf Überhitzte Flüssigkeit identische Flächen Maxwell-Konstruktion kritischer Punkt ( V c, p c ) TcTc

39 39 Van-der-Waals-Gleichung: V p ideales Gas Koexistenz Dampf / Flüssigkeit kritischer Punkt ( V c, p c ) TcTc Übung: Kritischer Punkt Aus folgt

40 40 b) Aggregatzustände tägliches Leben: gasförmige flüssige Phase, teilweise koexistent fest andere Phasen: elektromagnetische Plasmen Sonnen, Sternwinde, % der Materie im Weltall in diesem Zustand Quark-Gluon-Plasma aufgelöste Kernmaterie z.B. Schwerionen-Beschleuniger, Inneres von Neutronensternen, Materie im frühen, heißen Universum Fermigase z.B. Elektronengas in Metallen oder Weißen Zwergen, Neutronengas in Neutronensternen

41 41 Koexistenz Flüssigkeit / Dampf p S : Sättigungsdampfdruck Dampf H2OH2O pSpS V T = const. Dampf H2OH2O pSpS Inhalt: 1 Mol Wasser verdampft p S = const. Gleichgewicht bei Temperatur T Sättigungsdampfdruck p S = const. T(p S ) Siedetemperatur T E kin mehr Moleküle erbringen Austrittsarbeit p S

42 42 H2OH2O Endpunkt 1: Dampf völlig kondensiert p V p Wasserdampf p Endpunkt 2: Wasser völlig verdampft V p annähernd ideales Gas

43 43 V p T T C TCTC T2T2 T1T1 PCPC Koexistenz Dampf / Flüssigkeit P C kritischer Punkt T C kritische Temperatur P C kritischer Punkt T C kritische Temperatur T pSpS T1T1 T2T2 TCTC Dampfdruckkurve Λ Verdampfungswärme pro Mol Λ Verdampfungswärme pro Mol Clausius-Clapeyron-Gleichung:

44 44 Beispiel: Geysir-Modell Auffangwanne 1 m a)Aufheizphase bis zum Sieden. Druck der Wassersäule T Siede 100°C b)Wasserauswurf durch Sieden Druckabfall Siedeverzug Explosion T 100°C c)Wasserrückfluss Druckzunahme Sieden endet, da T 100°C T siede d)Neuer Zyklus a)

45 45 Koexistenz feste Phase / Flüssigkeit analog: ersetze Sieden durch Schmelzen Schmelzwärme pro Mol: Folgerung: V flüssig V fest klein groß T p gasförmig flüssig fest Tripelpunkt: alle drei Phasen koexistieren

46 46 Phasendiagramme: T p normales Verhalten fest flüssig gasförmig Tripelpunkt Sublimation Verflüssigung durch Druckerhöhung T p anormales Verhalten fest flüssig gasförmig z. B. Wasser

47 47 Gibbsche Phasenregel: System aus einer Komponente (z.B. H 2 O) 1-phasige Bereiche Flächen im (p,T)-Diagramm 2-phasige Bereiche Linien im (p,T)-Diagramm 3-phasige Bereiche Punkt im (p,T)-Diagramm q-phasige Bereiche haben f 3 q Freiheitsgrade im (p,T)-Diagramm System aus Komponente q-phasige Bereiche haben f 2 q Freiheitsgrade im (p,T)-Diagr.

48 48 VI.1.7. Statistische Transportprozesse Statistische Transportphänomene: Energietransport Wärmeleitung Massentransport Diffusion Impulstransport innere Reibung Voraussetzung: räumliche Variationen von Temperatur T Wärmetransport Dichte bzw. Konzentration Massentransport Geschwindigkeit Impulstransport

49 49 a) Diffusion Teilchenstrom Konzentrationsgefälle Ficksches Gesetz: mittlere Teilchenstromdichte #Teilchen pro Volumen Teilchenanzahl bleibt erhalten Kontinuitätsgleichung: Diffusionskonstante Diffusionsgleichung: Mikroskopische Theorie

50 50 b) Wärmeleitung Drei Typen: Leitung ohne Massentransport z.B. in Festkörpern Elektromagnetische Strahlung (d.h. auch durchs Vakuum) Leitung mit Massentransport, Konvektion (Flüssigk., Gase) schwache Heizung T2T2 T1T1 T 1 T 2 starke Heizung Bénard-Instabilität: Spontane Strukturbildung ( Selbstorganisation ) Bénard-Zelle ( Konvektionszelle )

51 51 Wärmeleitung ohne Massentransport (ruhendes Medium fester Form, V const.) dA dQ Wärmedurchgang pro dt Def.: Wärmestromdichte : Temperaturgefälle Wärmeleitfähigkeit Kontinuitätsgleichung: mit spez. WärmeDichte Wärmeleitungsgleichung: Temperaturleitwert

52 52 Spezialfall: Metalle Freie Leitungselektronen große elektrische Leitfähigkeit kleine Masse groß große Wärmeleitfähigkeit Empirischer Befund: Wiedemann-Franz-Gesetz Faustregeln:

53 53 Beispiel: Stationäres Temperaturgefälle im dynamischen Gleichgewicht Eis T 1 = 0°C T 2 = 100°C L Kupferstab (Querschnitt A) x T(x) Randbedingungen Wärmefluss: Messe P

54 54 c) Wärmestrahlung Physik IV Stefan-Boltzmann-Strahlungsgesetz elektromagnetische Strahlungsleistung (Wärmestrahlung) A Oberfläche Stefan-Boltzmann-Konstante Kirchhoffsches Gesetz: groß Oberfläche ist guter Absorber Idealer Absorber idealer schwarzer Körper


Herunterladen ppt "1 VI. Systeme mit vielen Freiheitsgraden und ihr Verhalten im Mittel: Wärmelehre VI.1.Gleichgewichtszustände und Zustandsgleichungen."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen