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1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V.

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Präsentation zum Thema: "1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V."—  Präsentation transkript:

1 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V

2 2 a) Haftreibung reale, rauhe Oberfläche Normalkraft F F H Körper haftet F F H Körper gleitet Empirisch: H Haftreibungskoeffizient Exp. Test: V.1.1. Reibung V.1. Eigenschaften realer Festkörper

3 3 Messung von μ H : αHαH m αHαH α H Winkel beim Losrutschen !

4 4 Bremskraft ( Seilspannung ) Beispiel: Haftreibung eines Fixierungsseils Belasteter Stab, Poller, Abseilkarabiner,... n Windungen Seil Kraft durch Last am Stab Stabquerschnitt Infinitesimales Seilstück F(φ) Spannung φ dφdφ Nachbarseilstück: F(φ dφ) F(φ) dF Nachbarseilstück: F(φ dφ) F(φ) dF φ dφ Tafelrechnung

5 5 b) Gleitreibung Empirisch: G Gleitreibungskoeffizient reale, rauhe Oberfläche Normalkraft Hinreichend kleine Geschwindigkeiten: G v const. Große Geschwindigkeiten: G v wächst mit v

6 6 bzgl. Drehung um Finger 1 Experiment: Stock auf zwei Fingern Stock m S Finger 1Finger 2 ab F mg M a·F F1F1 F 2 M 2 ( a b )·F 2 Gleichgewicht: a b rutscht b a rutscht Treffpunkt im Schwerpunkt

7 7 c) Rollreibung Empirisch: R Rollreibungskoeffizient Deformation (übertrieben) bremsendes Drehmoment α R Winkel beim Losrollen αRαR m αRαR r i) Haftung: Beobachtung: R H

8 8 ii) Rollvorgang: Experiment: Vergleich zwischen Gleiten und Rollen: Große technische Bedeutung:Kugellager, Schmiermittel, Autoreifen, Bohren, Drehen, Fräsen, m r Gleiten m r Rollen

9 9 V.1.2. Deformationen von Festkörpern Wesentliche Einschränkung: betrachte nur isotrope, homogene Körper Allgemeine Theorie: Landau, Liftschitz (Elastizitätstheorie) Hookesches Gesetz: E Elastizitätsmodul, Materialeigenschaft, E 1 N m 2 unabhängig von Geometrie (A und L) a) Elastizitätsmodul, Hookesches Gesetz A Feste Wand L A Querschnitt F Def.: Zugspannung Relative Dehnung Kraft pro Elementarfaser Dehnung pro Elementarfeder

10 10 ε σ Proportionalitätsbereich Nichtlinearer Bereich (fast elastisch) Nicht-elastischer Bereich (plastische Verformung) Reißen Hookesches Gesetz: gültig im elastischen Bereich Taylor- Entwicklung Proportionalbereich

11 11 Beispiel: Kerbspannung ΔL / L groß Kerbspannung

12 12 Elastische Hysterese und elastische Nachwirkung: ε σ elastische Nachwirkung Plastische Verformungsarbeit ( Wärme) pro Volumen Tafelrechnung

13 13 b) Querkontraktion L D L dL D dD Def.: Poissonzahl Volumenzunahme: Zugspannung

14 14 c) Kompressionsmodul dF p dA dA Normalkraft Fläche Def.: Druck p Def.:Kompressibilität Kompressionsmodul

15 15 Zusammenhang zwischen E, und K: Beweis: dF A q.e.d.

16 16 d) Scherung und Torsionsmodul Tangentialkräfte Scherung Fläche A α Def.: Schub- / Scherspannung Hookesches Gesetz: (für hinreichend kleine ) G Schub- / Scher- / Torsionsmodul, G 1 N m 2 rad 1 Beweis: Bergmann Schaefer

17 17 L r Feste Einspannung dünnes, langes Drahtseil φ d dr α Torsionsschwingung Messung von G (vgl. Tafelrechnung) Rücktreibendes Drehmoment Richtmoment mit

18 18 Realisierung als Drehpendel: Bewegungsgleichung der Drehbewegung: Def.: Tafelrechnung Schwingungperiode T Draht Trägheitsmoment I φ z L

19 19 Beispiel: Einseitig eigespannter Balken s gedehnt gestaucht Querschnitt A ( unabhängig von s ) x y homogen yNyN 0 feste Einspannung 0L b Biegepfeil e) Biegung Messung von E Näherung kleiner Biegung: Neutrale Faser: f(s) z

20 20 neutrale Faser s s Δs ρ(s) ΔsΔs Δs Δ gedehnte Faser y – yNy – yN dx·dy elastische Gegenkraft zur Tafelrechnung:

21 21 s gedehnt gestaucht Querschnitt A ( unabhängig von s ) x y homogen yNyN 0 feste Einspannung 0L b Biegepfeil Neutrale Faser: f(s) Randbedingungen Biegekurve: z Flächenträgheitsmoment

22 22 V.2. Eigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen Statik Gleichgewichtszustände, zeitunabhängig ideale Flüssigkeit ohne Arbeit verformbar bei Volumen const. reale Flüssigkeit Oberflächenkräfte und innere Reibung Gase Form- und Volumenänderung bei kleinem Energieaufwand V.2.1. Oberfläche der idealen Flüssigkeit Ideale Flüssigkeit dV an Oberfläche Tangentialkraft entlang der Oberfläche Verschiebung Statik

23 23 Beispiel: Rotationsparaboloid z ω z0z0 r m mω2rmω2r mgmg α α Betrachtung im körperfesten System

24 24 V.2.2. Statischer Druck (ohne Schwerkraft) Äußere Kraft A dx p(x) p(x dx) dA Druckkraft: Statik: Kraftdichte: p potentielle Energiedichte

25 25 Anwendung: Hydraulische Presse Externe Kraft Interne Kraft aber

26 26 V.2.3. Kompressibilität in Flüssigkeiten i.a. sehr klein: Flüssigkeiten oft annähernd inkompressibel, d. h. Dichte

27 27 Anwendung: Schweredruck 0 z H dA ρ p const. bei konstanter Tauchtiefe Tauchtiefe

28 28 Folgerung: Hydrostatisches Paradoxon Identische Bodendrücke ρρρρ Anwendung: Kommunizierende Röhren Demo-Exp.

29 29 h1h1 h2h2 ρ1ρ1 ρ2ρ2 Anwendung: Dichtewaage A F1F1 F2F2 F 1 = F 2

30 30 V.2.4. Auftrieb Archimedisches Prinzip: Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der/des verdrängten Flüssigkeit/Gases Auftriebskraft ρ ρKρK mKmK Schwerkraft oder Trägheitskraft, wenn System beschleunigt bewegt dA Beweis: ( hier für kleinen Quader ) ( allgemein Gaußscher Integralsatz ) dz dV dm p(z dz) p(z) Flüssigkeit oder Gas

31 31 Folgerung: K Fl Körper sinkt zu Boden K Fl Körper schwimmt (partielles Eintauchen) K Fl Körper schwebt

32 32 Beispiel: Eisberg T = 0 ºC Eisberg 10 %

33 33 V.2.5. Gasdruck Gase sind komprimierbar p (Empirisches) Gesetz von Boyle-Mariotte p V const. bei konstanter Temperatur T x Druck p Volumen V x Experiment:

34 34 Folgerungen: Kompressibilität Dichte bei T const. Barometrische Höhenformel ( Tafelrechnung )

35 35 V.2.6. Luftdruck ρ Luftdruck p Vakuum Messung mit Quecksilbersäule: Def.: 1 Torr 1 mm Hg-Säule Umrechnung: 1 Torr 133,3 Pa Def.: Der Normaldruck von wird als 1 physikalische Atmosphäre bezeichnet

36 36 V.2.7. Grenzflächen einer (realen) Flüssigkeit Def.: Sei W die Arbeit, die für die Vergrößerung der Oberfläche um A aufgebracht werden muss. Dann heißt spezifische Oberflächenenergie der Flüssigkeit.

37 37 L s Flüssigkeitshaut Messung der spezifischen Oberflächenenergie: 2 Oberflächen Def.: Oberflächenspannung tangentiale Zugkraft pro Länge der Begrenzungslinie der Oberfläche

38 38 Wasserhaut h r Beispiel: Messung der Oberflächenspannung (Gewicht der Haut vernachlässigt)

39 39 Minimalflächen: Bei vorgegebenen Randlinien nimmt die Flüssigkeitshaut die zweidimensionale Form mit minimaler Energie an. Bei vernachlässigtem Gewicht ist dies eine Fläche mit (lokal) minimalem Flächeninhalt, eine Minimalfläche. Unberandete Flüssigkeiten bilden also Kugeltropfen.

40 40 Seifenblasen: r p p Seifenblase Aufblähen: dW p dW Ob :Blase expandiert dW p dW Ob :Blase schrumpft dW p dW Ob :Blase stationär Experiment: Kleine Blase bläst große Blase auf

41 41 V.2.8. Grenzflächen zwischen verschiedenen Medien Medium i Medium k Kohäsionskräfte Adhäsionskräfte Def.: Grenzflächenspannung ik Energieaufwand pro Grenzflächenvergrößerung

42 42 Beispiel: Wand, Flüssigkeit, Dampf 1 Wand 2 Flüssigkeit 3 Dampf σ 13 Achse σ 12 Achse σ 23 Achse φ (sonst Verdampfung) 12 0 Adhäsion 12 Kohäsion 2 analog für 13

43 43 Beispiel: Wand, Flüssigkeit, Dampf 1 Wand 2 Flüssigkeit 3 Dampf σ 13 Achse σ 12 Achse σ 23 Achse φ Grenzwinkel:

44 44 Def.: Adhäsionsspannung 23 cos º º vollständige Benetzung

45 45 V.2.9. Kapillaren φ benetzende Flüssigkeit 2r Kapillare h φ dF = σ · dl Kapillare enges Rohr ( Flüssigkeitsoberfläche hat nur Randbereich) Kraft nach oben: Adhäsionsspannung Kraft nach unten: Gleichgewicht:

46 46 Kapillare Depression bei nicht-benetzenden Flüssigkeiten: nicht-benetzende Flüssigkeit 2r Kapillare h

47 47 h Kapillarwirkung zwischen Platten (breit, parallel, kleiner Abstand) L d

48 48 2α2α Folgerung: Flüssigkeit im Keil Platten x 0 Hyperbel

49 49 V Innere Reibung in Flüssigkeiten und Gasen Bewegungslinien der Volumenelemente Abgleiten dünner Schichten ohne Verwirbelung Def.: Laminare (schlichte) Strömung Gegensatz: Turbulente Strömung

50 50 dV x x1x1 x 2 = x 1 +dx dA Def.: Innere Reibung im Strömungsfeld : Reibungskräfte zwischen den Randschichten allgemein Viskosität (Zähigkeit)

51 51 Anwendung: Kapillarviskosimeter R p1p1 p2p2 L Gleichgewicht: Reibungskraft = Druckkraft Parabel Durchfluss: Hagen-Poiseulle-Gesetz

52 52 ρ fl η Ruhende Flüssigkeitssäule 2r ρKρK v0v0 Gleichgewichts- Geschwindigkeit Anwendung: Kugelfallviskosimeter Schwerkraft: Auftrieb Reibungskraft (kleine Kugeln): Stokessches Gesetz: Kräfte-Gleichgewicht

53 53 V Strömungen in idealen & realen Flüssigkeiten (gilt auch für Gase) A) Grundbegriffe Stromröhre: Stromlinie (Stromfaden) Stomröhre: Gesamtheit der Stromlinien durch einen Querschnitt Strömungsfeld: Stationäres Strömungsfeld: (zeitlich konstant) Stromlinien entlang

54 54 Stromlinie (Stromfaden) Laminare Strömung: ist wirbelfrei. Stromfäden liegen nebeneinander. Reibungskräfte beschleunigende Kräfte. Turbulente Strömung: ist nicht wirbelfrei. Große Reibung an Berandungen. Kleine innere Reibung.

55 55 B) Kontinuitätsgleichung Annahme: Flüssigkeitsmasse wird weder erzeugt noch vernichtet Massenbilanz während dt (nur x-Richtung): x x dx dV dA

56 56 Gesamtmassenbilanz für dV während dt: Folge: Kontinuitätsgleichung:

57 57 Kontinuitätsgleichung: Def: Stromdichte Massenfluss durch Fläche Kontinuitätsgleichung: Folgerung: Wenn die Masse in dV abnimmt,... fließt Masse aus dV hinaus

58 58 Wasserrohre mit veränderlichem Querschnitt: A1A1 A2A2 Strömung ideale Flüssigkeit Inkompressible Flüssigkeit: ρ = const. Äquivalent: Während dt gilt dV ein dV aus Anders ausgedrückt: Die Massenstromstärke I M ist konstant.

59 59 C) Die Bernoullische Gleichung ρ Lokaler Druck p (hydrodynamischer Druck) Annahmen: 1.ideale Flüssigkeit η 0 v const. entlang Rohrquerschnitt 2.inkompressible Flüssigkeit ρ const. 3.Keine Schwerkraft ( kein Rohrgefälle )

60 60 Energiedichten: dx A dV A·dx F(x) F(x dx) v Potentielle Energiedichte: ε p = p ( Nullpunkt willkürlich bei p = 0 ) Potentielle Energiedichte: ε p = p ( Nullpunkt willkürlich bei p = 0 ) Kinetische Energiedichte: Bernoulli-Gleichung:

61 61 Beispiel: Pitot-Rohr p p0p0 v ρ h p ρ g h Statischer Druck Gesamtdruck ( Staudruck )

62 62 Erweiterung: Rohre mit Gefälle im Schwerefeld z x z(x) Potentielle Energiedichte im Schwerefeld Potentielle Energiedichte des hydrodynamischen Drucks Kinetische Energiedichte der Strömung

63 63 Anwendung: Druckverteilung in Rohren ρ h h h ΔhΔh Reibung zusätzliches kontinuierliches Druckgefälle

64 64 Anwendung: Zerstäuber Luft Unterdruck

65 65 Anwendung: Wasserstrahlpumpe Rohr Vakuumgefäß Ansaugstutzen p0p0 Luft Wasser, sehr langsam bewegt Wasser, sehr schnell bewegt Außenluftdruck

66 66 Anwendung: Aero-/Hydrodynamisches Paradoxon d Luft, v 1 v2v2 d 0 v 2 Unterdruck überwiegt Schwerkraft Chladnische Pfeife

67 67 Anwendung: Aerodynamischer Auftrieb Flügel Zirkulationsströmung Luftströmung (Fahrtwind) v 1 v 2 v2v2 Auftrieb

68 68 Anwendung: Magnus-Effekt Laminare Strömung Zirkulationsströmung durch Drehung Auftrieb v2v2 v 1 v 2

69 69 Anwendung: Prandtlsches Staurohr Luftströmung (Fahrtwind) ρ p p0p0 Flüssigkeit

70 70 Keine Angst! D) Die reale viskose Flüssigkeit Navier-Stokes-Gleichung Änderung der Impulsdichte Druck- kraftdichte Schwerkraft- dichte Reibungs- kraftdichte Spezialfall 0 Euler-Gleichung Interessanter Term: Geschwindig- keitsänderung Wirbelbildung und Dynamik Wirbelfreie (laminare) Strömung

71 71 Woher kommt ? Betrachte Punktmasse dm im Medium Bahnkurve von dm: 2. Newtonsches Axiom

72 72 Wirbelbildung: Wände/Kanten mit großer Haftreibung groß v klein keine Reibung laminar v groß Oberflächenreibung turbulent S1S1 S2S2 Q S1S1 S2S2 W ΔpΔp S 1 :v 0p(S 1 ) = p 0 Q:v maxp(Q) = min p 0 S 2 :v 0p(S 2 ) = p 0 Reibung v(W) 0 Vakuum bei S 2 Wirbel v groß in Wirbeln p bei S 2 p bei S 1 Druckwiderstand Beispiel: Umströmter Kreiszylinder

73 73 Beispiel: Kantenwirbel Rohr Kantenwirbel runde, scharfkantige Öffnung Membran Wirbelring

74 74 Wirbelstärke: Wirbelfläche A Winkelgeschwindigkeit Definition: Die Größe Ω·A bzw. heißt (integrierte) Wirbelstärke Helmholtzscher Wirbelsatz: In einer reibungsfreien Flüssigkeit ist die Wirbelstärke zeitlich konstant. Wirbel können weder entstehen noch vergehen. Anschaulich: Wegen Drehimpulserhaltung. Wirbel verhalten sich wie rotierende starre Körper.

75 75 De-Mystifizierung der Wirbelstärke: Euler-Gleichung: Inkompressibel: Wirbelstärke: Bildliche Interpretation (s.o.): aus Stokes-Integralsatz

76 76 E) Turbulente Strömung und Strömungswiderstand Luftströmung (Fahrtwind) ρ A Wirbelstraße Reibung Wirbel reißen ab Wirbelstraße Druckwiderstand Reibungswiderstand Bernoulli-Gleichung Parametrisierung F W Widerstandskraft c W Widerstandsbeiwert

77 77 F) Ähnlichkeitsgesetze Längenskala L, Zeitskala T dimensionslose Größen: Navier-Stokes-Gleichung: mit Reynoldsche Zahl Folge: Zwei Strömungen sind ähnlich, d. h. relativ skaliert in Raum und Zeit, wenn Re in beiden Fällen identisch ist und die Dimensions- verhältnisse (Gefäße, Objekte) ebenso relativ skaliert sind. Anwendung: Modelltests im Windkanal


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