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3. Deformierbare Medien 3.1. Eigenschaften deformierbarer fester Körper 3.1.1. Elastizitätsmodul, Hookesches Gesetz Wesentliche Einschränkung: betrachte.

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1 3. Deformierbare Medien 3.1. Eigenschaften deformierbarer fester Körper Elastizitätsmodul, Hookesches Gesetz Wesentliche Einschränkung: betrachte nur isotrope, homogene Körper Allgemeine Theorie: Landau, Liftschitz (Elastizitätstheorie) Def.: Zugspannung Relative Dehnung A Feste Wand L A Querschnitt F Hookesches Gesetz: E Elastizitätsmodul, Materialeigenschaft, E 1 N m 2 unabhängig von Geometrie (A und L)

2 ε σ Proportionalitätsbereich Nichtlinearer Bereich (fast elastisch) Nicht-elastischer Bereich (plastische Verformung) Reißen Hookesches Gesetz: gültig im elastischen Bereich Taylor- Entwicklung Proportionalbereich

3 Beispiel: Kerbspannung ΔL / L groß Kerbspannung

4 Elastische Hysterese und elastische Nachwirkung: ε σ elastische Nachwirkung Plastische Verformungsarbeit ( Wärme) pro Volumen Tafelrechnung

5 Querkontraktion L D L dL D dD Def.: Poissonzahl Volumenzunahme: Zugspannung

6 Kompressionsmodul F p dA dA Normalkraft Fläche Def.: Druck p Def.:Kompressibilität Kompressionsmodul

7 Zusammenhang zwischen E, und K: Beweis: dF A q.e.d.

8 Scherung und Torsionsmodul Tangentialkräfte Scherung Fläche A α Def.: Schub- / Scherspannung Hookesches Gesetz: (für hinreichend kleine ) G Schub- / Scher- / Torsionsmodul, G 1 N m 2 rad 1 Beweis: Bergmann Schaefer

9 L r Feste Einspannung dünnes, langes Drahtseil φ dφ dr α Torsionsschwingung Messung von G (vgl. Tafelrechnung) Rücktreibendes Drehmoment Richtmoment mit

10 Realisierung als Drehpendel: Bewegungsgleichung der Drehbewegung: (vgl. Kap. 4.2.) Def.: Tafelrechnung Schwingungperiode T Draht Trägheitsmoment J φ z L

11 Beispiel: Einseitig eigespannter Balken Querschnitt A ( unabhängig von s ) x y homogen s gedehnt gestaucht yNyN 0 feste Einspannung Neutrale Faser: f(s) Steigung: a f ´(L) 0L b Biegepfeil Biegung Messung von E Näherung kleiner Biegung:

12 neutrale Faser s s Δs ρ(s) ΔsΔs Δs Δ gedehnte Faser y – yNy – yN dx·dy elastische Gegenkraft zur Tafelrechnung:

13 feste Einspannung Querschnitt A ( unabhängig von s ) x y homogen s gedehnt gestaucht yNyN 0 Neutrale Faser: f(s) Steigung: a f ´(L) 0L b Biegepfeil Randbedingungen Biegekurve:

14 3.2. Hydro- und Aerostatik Statik Gleichgewichtszustände, zeitunabhängig ideale Flüssigkeit ohne Arbeit verformbar bei Volumen const. reale Flüssigkeit Oberflächenkräfte und innere Reibung Gase Form- und Volumenänderung bei kleinem Energieaufwand Oberfläche der idealen Flüssigkeit Ideale Flüssigkeit dV an Oberfläche Tangentialkraft entlang der Oberfläche Verschiebung Statik

15 Beispiel: Rotationsparaboloid z ω z0z0 r m mω2rmω2r mgmg α α

16 Statischer Druck (ohne Schwerkraft) Äußere Kraft A dx p(x) p(x dx) dA Druckkraft: Kraftdichte: Statik:

17 Anwendung: Hydraulische Presse Externe Kraft Interne Kraft aber

18 Kompressibilität in Flüssigkeiten i.a. sehr klein: Flüssigkeiten oft annähernd inkompressibel, d. h. Dichte

19 Anwendung: Schweredruck 0 z H dA ρ p const. bei konstanter Tauchtiefe Tauchtiefe

20 Folgerung: Hydrostatisches Paradoxon Identische Bodendrücke ρρρρ Anwendung: Kommunizierende Röhren Demo-Exp.

21 h1h1 h2h2 ρ1ρ1 ρ2ρ2 Anwendung: Dichtewaage A F1F1 F2F2 F 1 = F 2

22 Auftrieb Archimedisches Prinzip: Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der/des verdrängten Flüssigkeit/Gases Auftriebskraft ρ Fl ρKρK mKmK Schwerkraft oder Trägheitskraft, wenn System beschleunigt bewegt dA Beweis: ( hier für kleinen Quader ) ( allgemein Gaußscher Integralsatz ) dz dV dm Fl p(z dz) p(z)

23 Folgerung: K Fl Körper sinkt zu Boden K Fl Körper schwimmt (partielles Eintauchen) K Fl Körper schwebt

24 Beispiel: Eisberg T = 0 ºC Eisberg 10 %

25 Gasdruck Gase sind komprimierbar p (Empirisches) Gesetz von Boyle-Mariotte p V const. bei konstanter Temperatur T x Druck p Volumen V x Experiment:

26 Folgerungen: Kompressibilität Dichte bei T const. Barometrische Höhenformel ( Tafelrechnung )

27 Luftdruck ρ Luftdruck p Vakuum Messung mit Quecksilbersäule: Def.: 1 Torr 1 mm Hg-Säule Umrechnung: 1 Torr 133,3 Pa Def.: Der Normaldruck von wird als 1 physikalische Atmosphäre bezeichnet

28 Grenzflächen einer (realen) Flüssigkeit Def.: Sei W die Arbeit, die für die Vergrößerung der Oberfläche um A aufgebracht werden muss. Dann heißt spezifische Oberflächenenergie der Flüssigkeit.

29 L s Flüssigkeitshaut Messung der spezifischen Oberflächenenergie: 2 Oberflächen Def.: Oberflächenspannung tangentiale Zugkraft pro Länge der Begrenzungslinie der Oberfläche

30 Wasserhaut h r Beispiel: Messung der Zerreißfestigkeit einer Wasserhaut (Gewicht der Haut vernachlässigt)

31 Minimalflächen: Bei vorgegebenen Randlinien nimmt die Flüssigkeitshaut die zweidimensionale Form mit minimaler Energie an. Bei vernachlässigtem Gewicht ist dies eine Fläche mit (relativ) minimalem Flächeninhalt, eine Minimalfläche. Unberandete Flüssigkeiten bilden also Kugeltropfen.

32 Seifenblasen: r p p Seifenblase Aufblähen: dW p dW Ob :Blase expandiert dW p dW Ob :Blase schrumpft dW p dW Ob :Blase stationär Experiment: Kleine Blase bläst große Blase auf

33 Grenzflächen zwischen verschiedenen Medien Medium i Medium k Kohäsionskräfte Adhäsionskräfte Def.: Grenzflächenspannung ik Energieaufwand pro Grenzflächenvergrößerung

34 Beispiel: Wand, Flüssigkeit, Dampf 1 Wand 2 Flüssigkeit 3 Dampf σ 13 Achse σ 12 Achse σ 23 Achse φ (sonst Verdampfung) 12 0 Adhäsion 12 Kohäsion 2 analog für 13

35 Beispiel: Wand, Flüssigkeit, Dampf 1 Wand 2 Flüssigkeit 3 Dampf σ 13 Achse σ 12 Achse σ 23 Achse φ Grenzwinkel:

36 Def.: Adhäsionsspannung 23 cos º º vollständige Benetzung

37 Kapillaren φ benetzende Flüssigkeit 2r Kapillare h φ dF = σ · dl Kapillare enges Rohr ( Flüssigkeitsoberfläche hat nur Randbereich) Kraft nach oben: Adhäsionsspannung Kraft nach unten: Gleichgewicht:

38 Kapillare Depression bei nicht-benetzenden Flüssigkeiten: nicht-benetzende Flüssigkeit 2r Kapillare h

39 h Kapillarwirkung zwischen Platten (breit, parallel, kleiner Abstand) L d

40 2α2α Folgerung: Flüssigkeit im Keil Platten x 0 Hyperbel

41 3.3. Innere Reibung in Flüssigkeiten und Gasen Bewegungslinien der Volumenelemente Abgleiten dünner Schichten ohne Verwirbelung Def.: Laminare (schlichte) Strömung Gegensatz: Turbulente Strömung

42 dV x x1x1 x 2 = x 1 +dx dA Def.: Innere Reibung im Strömungsfeld : Reibungskräfte zwischen den Randschichten allgemein Viskosität (Zähigkeit)

43 Anwendung: Kapillarviskosimeter R p1p1 p2p2 L Gleichgewicht: Reibungskraft = Druckkraft Parabel Durchfluss: Hagen-Poiseulle-Gesetz

44 ρ fl η Ruhende Flüssigkeitssäule 2r ρKρK v0v0 Gleichgewichts- Geschwindigkeit Anwendung: Kugelfallviskosimeter Schwerkraft: Auftrieb Reibungskraft (kleine Kugeln): Stokessches Gesetz: Kräfte-Gleichgewicht

45 3.4. Strömungen in idealen und realen Flüssigkeiten (gilt auch für Gase) Grundbegriffe Stromröhre: Stromlinie (Stromfaden) Stomröhre: Gesamtheit der Stromlinien durch einen Querschnitt Strömungsfeld: Stationäres Strömungsfeld: (zeitlich konstant) Stromlinien entlang

46 Stromlinie (Stromfaden) Laminare Strömung: ist wirbelfrei. Stromfäden liegen nebeneinander. Reibungskräfte beschleunigende Kräfte. Turbulente Strömung: ist nicht wirbelfrei. Große Reibung an Berandungen. Kleine innere Reibung.

47 Kontinuitätsgleichung Annahme: Flüssigkeitsmasse wird weder erzeugt noch vernichtet Massenbilanz während dt (nur x-Richtung): x x dx dV dA

48 Gesamtmassenbilanz für dV während dt: Folge: Kontinuitätsgleichung:

49 Def: Stromdichte Massenfluss durch Fläche Kontinuitätsgleichung: Folgerung: Wenn die Masse in dV abnimmt,... fließt Masse aus dV hinaus

50 Wasserrohre mit veränderlichem Querschnitt: A1A1 A2A2 Strömung ideale Flüssigkeit Inkompressible Flüssigkeit: ρ = const. Äquivalent: Während dt gilt dV ein dV aus Anders ausgedrückt: Die Massenstromstärke I M ist konstant.

51 Die Bernoullische Gleichung ρ Lokaler Druck p (hydrodynamischer Druck) Annahmen: 1.ideale Flüssigkeit η 0 v const. entlang Rohrquerschnitt 2.inkompressible Flüssigkeit ρ const. 3.Keine Schwerkraft ( kein Rohrgefälle )

52 Energiedichten: dx dA dV dA·dx F(x) F(x dx) v Potentielle Energiedichte: ε p = p ( Nullpunkt willkürlich bei p = 0 ) Potentielle Energiedichte: ε p = p ( Nullpunkt willkürlich bei p = 0 ) Kinetische Energiedichte: Bernoulli-Gleichung:

53 Beispiel: Pitot-Rohr p p0p0 v ρ h p ρ g h Statischer Druck Gesamtdruck ( Staudruck )

54 Erweiterung: Rohre mit Gefälle im Schwerefeld z x z(x) Potentielle Energiedichte im Schwerefeld Potentielle Energiedichte des hydrodynamischen Drucks Kinetische Energiedichte der Strömung

55 Anwendung: Druckverteilung in Rohren ρ h h h ΔhΔh Reibung zusätzliches kontinuierliches Druckgefälle

56 Anwendung: Zerstäuber Luft Unterdruck

57 Anwendung: Wasserstrahlpumpe Rohr Vakuumgefäß Ansaugstutzen p0p0 Luft Wasser, sehr langsam bewegt Wasser, sehr schnell bewegt Außenluftdruck

58 Anwendung: Aero-/Hydrodynamisches Paradoxon d Luft, v 1 v2v2 d 0 v 2 Unterdruck überwiegt Schwerkraft Chladnische Pfeife

59 Anwendung: Aerodynamischer Auftrieb Flügel Zirkulationsströmung Luftströmung (Fahrtwind) v 1 v 2 v2v2 Auftrieb

60 Anwendung: Magnus-Effekt Laminare Strömung Zirkulationsströmung durch Drehung Auftrieb v2v2 v 1 v 2

61 Anwendung: Prandtlsches Staurohr Luftströmung (Fahrtwind) ρ p p0p0 Flüssigkeit

62 Die reale viskose Flüssigkeit Navier-Stokes-Gleichung Änderung der Impulsdichte Druck- kraftdichte Schwerkraft- dichte Reibungs- kraftdichte Spezialfall 0 Euler-Gleichung Interessanter Term: Geschwindig- keitsänderung Wirbelbildung und Dynamik Wirbelfreie (laminare) Strömung

63 Wirbelbildung: Wände/Kanten mit großer Haftreibung groß v klein keine Reibung laminar v groß Oberflächenreibung turbulent S1S1 S2S2 Q S1S1 S2S2 W ΔpΔp S 1 :v 0p(S 1 ) = p 0 Q:v maxp(Q) = min p 0 S 2 :v 0p(S 2 ) = p 0 Reibung v(W) 0 Vakuum bei S 2 Wirbel v groß in Wirbeln p bei S 2 p bei S 1 Druckwiderstand Beispiel: Umströmter Kreiszylinder

64 Beispiel: Kantenwirbel Rohr Kantenwirbel Membran runde, scharfkantige Öffnung Wirbelring

65 Wirbelstärke: Wirbelfläche A Winkelgeschwindigkeit Definition: Die Größe Ω·A bzw. heißt Wirbelstärke Helmholtzscher Wirbelsatz: In einer reibungsfreien Flüssigkeit ist die Wirbelstärke zeitlich konstant. Wirbel können weder entstehen noch vergehen. Anschaulich: Wegen Drehimpulserhaltung. Wirbel verhalten sich wie rotierende starre Körper.

66 Turbulente Strömung und Strömungswiderstand Luftströmung (Fahrtwind) ρ A Wirbelstraße Reibung Wirbel reißen ab Wirbelstraße Druckwiderstand Reibungswiderstand Bernoulli-Gleichung Parametrisierung F W Widerstandskraft c W Widerstandsbeiwert

67 Ähnlichkeitsgesetze Längenskala L, Zeitskala T dimensionslose Größen: Navier-Stokes-Gleichung: mit Reynoldsche Zahl Folge: Zwei Strömungen sind ähnlich, d. h. relativ skaliert in Raum und Zeit, wenn Re in beiden Fällen identisch ist und die Dimensions- verhältnisse (Gefäße, Objekte) ebenso relativ skaliert sind. Anwendung: Modelltests im Windkanal

68 3.5. Reibung zwischen festen Körpern Haftreibung reale, rauhe Oberfläche Normalkraft F F H Körper haftet F F H Körper gleitet Empirisch: H Haftreibungskoeffizient Experimenteller Test:

69 Messung von μ H : αHαH m αHαH α H Winkel beim Losrutschen !

70 Bremskraft ( Seilspannung ) Beispiel: Haftreibung eines Fixierungsseils Belasteter Stab, Poller, Abseilkarabiner,... n Windungen Seil Kraft durch Last am Stab Stabquerschnitt Infinitesimales Seilstück F(φ) Spannung φ dφdφ Nachbarseilstück: F(φ dφ) F(φ) dF Nachbarseilstück: F(φ dφ) F(φ) dF φ dφ Tafelrechnung

71 Gleitreibung Empirisch: G Gleitreibungskoeffizient reale, rauhe Oberfläche Normalkraft Stokes-Reibung: G v (für kleine, langsame Körper) Newton-Reibung: G v 2 (für große, schnelle Körper)

72 bzgl. Drehung um Finger 1 Experiment: Stock auf zwei Fingern Stock m S Finger 1Finger 2 ab F mg M a·F F1F1 F 2 M 2 ( a b )·F 2 Gleichgewicht: a b rutscht b a rutscht Treffpunkt im Schwerpunkt

73 Rollreibung Empirisch: R Rollreibungskoeffizient Deformation (übertrieben) bremsendes Drehmoment α R Winkel beim Losrollen αRαR m αRαR r i) Haftung: Beobachtung: R H

74 ii) Rollvorgang: Experiment: Vergleich zwischen Gleiten und Rollen: Große technische Bedeutung:Kugellager, Schmiermittel, Autoreifen, Bohren, Drehen, Fräsen, m r Gleiten m r Rollen


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