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1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V.

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Präsentation zum Thema: "1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V."—  Präsentation transkript:

1 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V

2 2 a) Haftreibung reale, rauhe Oberfläche Normalkraft F F H Körper haftet F F H Körper gleitet Empirisch: H Haftreibungskoeffizient Exp. Test: V.1.1. Reibung V.1. Eigenschaften realer Festkörper

3 3 Messung von μ H : αHαH m αHαH α H Winkel beim Losrutschen !

4 4 Bremskraft ( Seilspannung ) Beispiel: Haftreibung eines Fixierungsseils Belasteter Stab, Poller, Abseilkarabiner,... n Windungen Seil Kraft durch Last am Stab Stabquerschnitt Infinitesimales Seilstück F(φ) Spannung φ dφdφ Nachbarseilstück: F(φ dφ) F(φ) dF Nachbarseilstück: F(φ dφ) F(φ) dF φ dφ Tafelrechnung

5 5 b) Gleitreibung Empirisch: G Gleitreibungskoeffizient reale, rauhe Oberfläche Normalkraft Hinreichend kleine Geschwindigkeiten: G v const. Große Geschwindigkeiten: G v wächst mit v

6 6 bzgl. Drehung um Finger 1 Experiment: Stock auf zwei Fingern Stock m S Finger 1Finger 2 ab F mg M a·F F1F1 F 2 M 2 ( a b )·F 2 Gleichgewicht: a b rutscht b a rutscht Treffpunkt im Schwerpunkt

7 7 c) Rollreibung Empirisch: R Rollreibungskoeffizient Deformation (übertrieben) bremsendes Drehmoment α R Winkel beim Losrollen αRαR m αRαR r i) Haftung: Beobachtung: R H

8 8 ii) Rollvorgang: Experiment: Vergleich zwischen Gleiten und Rollen: Große technische Bedeutung:Kugellager, Schmiermittel, Autoreifen, Bohren, Drehen, Fräsen, m r Gleiten m r Rollen

9 9 V.1.2. Deformationen von Festkörpern Wesentliche Einschränkung: betrachte nur isotrope, homogene Körper Allgemeine Theorie: Landau, Liftschitz (Elastizitätstheorie) Hookesches Gesetz: E Elastizitätsmodul, Materialeigenschaft, E 1 N m 2 unabhängig von Geometrie (A und L) a) Elastizitätsmodul, Hookesches Gesetz A Feste Wand L A Querschnitt F Def.: Zugspannung Relative Dehnung Kraft pro Elementarfaser Dehnung pro Elementarfeder

10 10 ε σ Proportionalitätsbereich Nichtlinearer Bereich (fast elastisch) Nicht-elastischer Bereich (plastische Verformung) Reißen Hookesches Gesetz: gültig im elastischen Bereich Taylor- Entwicklung Proportionalbereich

11 11 Beispiel: Kerbspannung ΔL / L groß Kerbspannung

12 12 Elastische Hysterese und elastische Nachwirkung: ε σ elastische Nachwirkung Plastische Verformungsarbeit ( Wärme) pro Volumen Tafelrechnung

13 13 b) Querkontraktion L D L dL D dD Def.: Poissonzahl Volumenzunahme: Zugspannung

14 14 c) Kompressionsmodul dF p dA dA Normalkraft Fläche Def.: Druck p Def.:Kompressibilität Kompressionsmodul

15 15 Zusammenhang zwischen E, und K: Beweis: dF A q.e.d.

16 16 d) Scherung und Torsionsmodul Tangentialkräfte Scherung Fläche A α Def.: Schub- / Scherspannung Hookesches Gesetz: (für hinreichend kleine ) G Schub- / Scher- / Torsionsmodul, G 1 N m 2 rad 1 Beweis: Bergmann Schaefer

17 17 L r Feste Einspannung dünnes, langes Drahtseil φ d dr α Torsionsschwingung Messung von G (vgl. Tafelrechnung) Rücktreibendes Drehmoment Richtmoment mit

18 18 Realisierung als Drehpendel: Bewegungsgleichung der Drehbewegung: Def.: Tafelrechnung Schwingungperiode T Draht Trägheitsmoment I φ z L

19 19 Beispiel: Einseitig eigespannter Balken s gedehnt gestaucht Querschnitt A ( unabhängig von s ) x y homogen yNyN 0 feste Einspannung 0L b Biegepfeil e) Biegung Messung von E Näherung kleiner Biegung: Neutrale Faser: f(s) z

20 20 neutrale Faser s s Δs ρ(s) ΔsΔs Δs Δ gedehnte Faser y – yNy – yN dx·dy elastische Gegenkraft zur Tafelrechnung:

21 21 s gedehnt gestaucht Querschnitt A ( unabhängig von s ) x y homogen yNyN 0 feste Einspannung 0L b Biegepfeil Neutrale Faser: f(s) Randbedingungen Biegekurve: z Flächenträgheitsmoment

22 22 V.2. Statische Eigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen Statik Gleichgewichtszustände, zeitunabhängig ideale Flüssigkeit ohne Arbeit verformbar bei Volumen const. reale Flüssigkeit Oberflächenkräfte und innere Reibung Gase Form- und Volumenänderung bei kleinem Energieaufwand V.2.1. Grenzflächen idealer Flüssigkeiten Ideale Flüssigkeit dV Verschiebung Statik Oberfläche, Wand oder gedachte Grenzfläche im Inneren Kompensation durch Gegenseite

23 23 Beispiel: Rotationsparaboloid z ω z0z0 r m mω2rmω2r mgmg α α Betrachtung im körperfesten System

24 24 V.2.2. Statischer Druck Kompressions- Kraft A Kompression Dichte wächst elastische Rückstellkräfte (Druck) A A A Der statische Druck ist unabhängig von der Orientierung von A F1F1 F 2 F 1 Strömung mit Energiefreisetzung

25 25 Die Druckkraftdichte: Kompressions- Kraft dx p(x) p(x dx) dA Druckkraft: Kraftdichte: p potentielle Energiedichte der Druckkraftdichte

26 26 V.2.3. Die Grundgleichung der Hydro-/Aerostatik Druckkraftdichte: Externe Volumenkraftdichte: Statik Kräftegleichgewicht Beispiel 1: Kräftefreies Medium,

27 27 Beispiel 2: Eindimensionale Kraftdichte Druck und Dichte hängen nur von der Höhe z ab! Paradebeispiel: Schwerkraftdichte

28 28 Folgerung: Hydrostatisches Paradoxon Identische Bodendrücke Anwendung: Kommunizierende Röhren Demo-Exp. ρ(z) Gleiche Füllhöhe Gleiche Randbedingung für p(z)

29 29 V.2.4. Kompressibilität Druckkraft widersetzt sich Kompression Materialparameter: Kompressibilität (Beachte: ) hängt i. a. von Umweltparametern ab: p, T,

30 30 A) Flüssigkeiten Flüssigkeiten: oft annähernd inkompressibel, 0 z. B. Wasser Technische Anwendung: Hydraulische Antriebe Flüssigkeiten sind a) frei verformbar und b) inkompressibel ideal für Kraftübertragung über komplizierte und variable Wege

31 31 Anwendung: Hydraulische Presse Externe Kraft Interne Kraft aber Vernachlässige Schwerkraft p const.

32 32 Anwendung: Schweredruck in inkompressibler Flüssigkeit 0 z H ρ p const. bei konstanter Tauchtiefe Tauchtiefe

33 33 h1h1 h2h2 ρ1ρ1 ρ2ρ2 Anwendung: Dichtewaage A F1F1 F2F2 F 1 = F 2

34 34 B) Gase Gase sind komprimierbar p (Empirisches) Gesetz von Boyle-Mariotte p V const. bei konstanter Temperatur T x Druck p Volumen V x Experiment:

35 35 Folgerungen: Kompressibilität Dichte bei T const.

36 36 Barometrische Höhenformel Beispiel: Druck in isothermer Atmosphäre z 0 T

37 37 Messung des Luftdrucks ρ Luftdruck p Vakuum Messung mit Quecksilbersäule: Def.: 1 Torr 1 mm Hg-Säule Umrechnung: 1 Torr 133,3 Pa Def.: Der Normaldruck von wird als 1 physikalische Atmosphäre bezeichnet

38 38 V.2.5. Auftrieb Archimedisches Prinzip: Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der/des verdrängten Flüssigkeit/Gases Auftriebskraft ρ ρKρK mKmK Schwerkraft oder Trägheitskraft, wenn System beschleunigt bewegt dA Beweis: ( hier für kleinen Quader ) ( allgemein Gaußscher Integralsatz ) dz dV dm p(z dz) p(z) Flüssigkeit oder Gas

39 39 Folgerung: K Fl Körper sinkt zu Boden K Fl Körper schwimmt (partielles Eintauchen) K Fl Körper schwebt Interessante Frage: In welcher Lage schwimmt ein Körper stabil? nachzulesen z. B. im Bergmann-Schaefer große technische Relevanz (Schiffbau)

40 40 Beispiel: Eisberg T = 0 ºC Eisberg 10 %

41 41 V.2.6. Grenzflächen einer (realen) Flüssigkeit Def.: Sei W die Arbeit, die für die Vergrößerung der Oberfläche um A aufgebracht werden muss. Dann heißt spezifische Oberflächenenergie der Flüssigkeit. a) Oberflächenspannung

42 42 L s Flüssigkeitshaut Messung der spezifischen Oberflächenenergie: 2 Oberflächen Def.: Oberflächenspannung tangentiale Zugkraft pro Länge der Begrenzungslinie der Oberfläche

43 43 Wasserhaut h r Beispiel: Messung der Oberflächenspannung (Gewicht der Haut vernachlässigt)

44 44 b) Kapillarkräfte Oberfläche der Flüssigkeit Krümmungsradien Orientierung von, nach außen Tangential- fläche Hauptkrümmungslinien Krümmungsradien R 1, R 2 Lokale Koordinaten

45 45 Fläche in festen Koordinaten: z(x,y) nach außen Tangential- fläche Lokale Koordinaten x y z Feste Koordinaten Abkürzungen:

46 46 Krümmungstypen: außen konvexkonkav Sattel bzw.

47 47 Exemplarisch: Konvexe Oberfläche Für A 0 (d. h. 1 0 und 2 0): R1R1 R2R A d Gleichgewicht Infinitesimale Verschiebung um d A leistet keine Arbeit äußere Zugkraftinnere Druckkraft Innendruck durch Oberflächenspannung:

48 48 Beispiel 1: Seifenblasen R p p Seifenblase Experiment: Kleine Blase bläst große Blase auf Vernachlässige Schwerkraft- Effekte für (zähe) Seifenhaut Kugelform R 1 R 2 R Seifenhaut hat 2 Oberflächen

49 49 Beispiel 2: Seifenhäute in Drahtlamellen Statische offene Haut in einer Lamelle Drücke auf die beiden Oberflächen kompensieren sich Lamellenhäute sind Sattelflächen

50 50 Lamellenhäute sind Minimalflächen: Bei vorgegebenen Randlinien nimmt die Flüssigkeitshaut eine zweidimensionale Form mit minimaler Energie an. Bei vernachlässigtem Gewicht ist dies eine Fläche mit (lokal) minimalem Flächeninhalt, eine Minimalfläche. Unberandete Flüssigkeiten bilden also Kugeltropfen.

51 51 c) Grenzflächen zwischen verschiedenen Medien Medium i Medium k Kohäsionskräfte Adhäsionskräfte Def.: Grenzflächenspannung ik Energieaufwand pro Grenzflächenvergrößerung

52 52 Beispiel: Wand, Flüssigkeit, Dampf 1 Wand 2 Flüssigkeit 3 Dampf σ 13 Achse σ 12 Achse σ 23 Achse φ (sonst Verdampfung) 12 0 Adhäsion 12 Kohäsion 2 analog für 13

53 53 1 Wand 2 Flüssigkeit 3 Dampf σ 13 Achse σ 12 Achse σ 23 Achse φ Regeln: ( sei Oberflächenspannung der Flüssigkeit) 23 für jedes Gas (nicht nur den Dampf) ij 0 zwischen 2 Flüssigkeiten ij 0 zwischen Gas und Festkörper

54 54 1 Wand 2 Flüssigkeit 3 Dampf σ 13 Achse σ 12 Achse σ 23 Achse φ Grenzwinkel:

55 55 Def.: Adhäsionsspannung cos º º vollständige Benetzung

56 56 d) Theorie der Oberflächenform einer Flüssigkeit dA du Gleichgewicht Infinitesimale Veränderung der Oberflächenform leistet keine Arbeit Druckarbeit: Potentielle Energie (Schwerefeld): Oberfläche einer inkompressiblen Flüssigkeit

57 57 für alle Änderungen der Oberfläche (du) mit konstantem Volumen, d. h. mit Folge: Für alle Oberflächen (du): Dabei ist freier Parameter, der es (später) gestattet, die Bedingung (*) zu erfüllen.

58 58 z x 0 Beispiel: Unendliche, ebene Wand z(x) Randbedingung: h

59 59 z x 0 z(x) h Bei x 0: mit Form der Randlinie durch eine weitere Integration

60 60 e) Kapillaren φ benetzende Flüssigkeit 2r Kapillare h φ dF = σ · dl Kapillare enges Rohr ( Flüssigkeitsoberfläche hat nur Randbereich) Kraft nach oben: Adhäsionsspannung Kraft nach unten: Gleichgewicht:

61 61 Kapillare Depression bei nicht-benetzenden Flüssigkeiten: nicht-benetzende Flüssigkeit 2r Kapillare h

62 62 h Kapillarwirkung zwischen Platten (breit, parallel, kleiner Abstand) L d

63 63 2α2α Folgerung: Flüssigkeit im Keil Platten x 0 Hyperbel

64 64 V.3. Strömungslehre a) Stromlinien Massenelemente dm Schnappschuss zur Zeit t 0 Stromlinien Die Stromlinien sind die Tangentenlinien des Strömungsfeldes. Massenelemente bleiben auf ihren Stromlinien. Medium: Flüssigkeit oder Gas V.3.1. Grundbegriffe

65 65 Stationäre Strömung: 0 Stromlinien In einer stationären Strömung bewegen sich Massenelemente entlang der Stromlinien. Benachbarte Stromlinien gleiten aneinander ab (laminare bzw. schlichte Strömung). dt

66 66 Stromlinie(t dt) Nicht-stationäre Strömung: In einer nicht-stationären Strömung bewegen und verformen sich die Stromlinien. Massenelemente bewegen sich nicht entlang des Weges der momentanen Stromlinie. Stromlinie(t) Bahnkurve eines festen Massenelements dm: dm

67 67 Flügelprofil in Wasserströmung: laminar turbulenter Abriss Simulation einer Strömung um ein komplexes Hindernis Wirbel entstehen an Oberflächen (besonders Kanten), also in Bereichen großer Reibung und bewegen sich dann fast reibungsfrei durch das Medium

68 68 b) Die (substantielle) Beschleunigung Substantielle Beschleunigung Beschleunigung eines mitverfolgten festen Massenelements im Strömungsfeld. Bahnkurve von dm: örtliche Beschleunigung bei der momentanen Position des Massenelements Konvektionsbeschleunigung durch Mitführung des Massenelements durch die sich ändernden Stromlinien

69 69 Annahme: Masse wird durch Strömung weder erzeugt noch vernichtet Massenbilanz während dt (nur x-Richtung): x x dx dV dA V.3.2. Massenerhaltung und Kontinuitätsgleichung

70 70 Gesamtmassenbilanz für dV während dt: Folge: Kontinuitätsgleichung:

71 71 Kontinuitätsgleichung: Def: Stromdichte Massenfluss durch Fläche Kontinuitätsgleichung: Folgerung: Wenn die Masse in dV abnimmt,... fließt Masse aus dV hinaus Masse, die pro Zeit und pro Fläche durch diese Fläche hindurchströmt

72 72 Wasserrohre mit veränderlichem Querschnitt: A1A1 A2A2 Strömung ideale Flüssigkeit Inkompressible Flüssigkeit: ρ = const. Äquivalent: Während dt gilt dV ein dV aus Anders ausgedrückt: Die Massenstromstärke I M ist konstant. Reibungsfreiheit über Rohrquerschnitt

73 73 Keine Angst! V.3.3. Die reibungsfreie Strömung A) Bewegungsgleichung eines festen Massenelements dm: substantielle Beschleunigung Eulersche Gleichung Änderung der Impulsdichte Druck- kraftdichte Schwerkraft- dichte

74 74 B) Fazit: Die Grundgleichungen reibungsfreier Strömungen Eulersche Gleichung: (3 Komponenten) Kontinuitätsgleichung: (1 Komponente) 5 Unbekannte: Zustandsgleichung: (1 Komponente) z. B. für inkompressible Flüssigkeiten für isotherme ideale Gase

75 75 C) Die stationäre Strömung inkompressibler Medien ( const.; bei Gasen annähernd okay für ) Kontinuitätsgleichung: Interessanter Term: Geschwindig- keitsänderung Wirbelbildung und Dynamik Eulersche Gleichung:

76 76 Potentielle Energiedichte im Schwerefeld Innere potentielle Energiedichte Kinetische Energiedichte Gesamtenergiedichte In Worten: Gradient der Energiedichte Stromlinien Bernoulli-Gleichung entlang einer Stromlinie

77 77 Bernoulli-Gleichung entlang einer Stromlinie Beispiel: Stromröhre Gesamtheit der durch eine Fläche A hindurchtretenden Stromlinien Stromlinie (Stromfaden) A Ist über eine Fläche A konstant, so auch in der gesamten Stromröhre zur Fläche A.

78 78 Beispiel: dünne Rohre ρ Bernoulli-Gleichung im gesamten Rohr z p gz ist annähernd konstant über Querschnitt v ist konstant über Querschnitt

79 79 Beispiel: Pitot-Rohr p p0p0 v ρ h p ρ g h Statischer Druck Gesamtdruck

80 80 Anwendung: Druckverteilung in Rohren ρ h h h ΔhΔh Reibung zusätzliches kontinuierliches Druckgefälle

81 81 Anwendung: Zerstäuber Luft Unterdruck

82 82 Anwendung: Wasserstrahlpumpe Rohr Vakuumgefäß Ansaugstutzen p0p0 Luft Wasser, sehr langsam bewegt Wasser, sehr schnell bewegt Außenluftdruck

83 83 Anwendung: Aero-/Hydrodynamisches Paradoxon d Luft, v 1 v2v2 d 0 v 2 Unterdruck überwiegt Schwerkraft Chladnische Pfeife

84 84 Anwendung: Aerodynamischer Auftrieb Flügel Zirkulationsströmung Luftströmung (Fahrtwind) v 1 v 2 v2v2 Auftrieb Abrisskante erzeugt Wirbel (s.u.) Zirkulationsströmung

85 85 Anwendung: Magnus-Effekt Laminare Strömung Zirkulationsströmung durch Drehung Auftrieb v2v2 v 1 v 2

86 86 Anwendung: Prandtlsches Staurohr Luftströmung (Fahrtwind) ρ p p0p0 Flüssigkeit Staudruck

87 87 Wirbelstärke: Wirbelfläche A 0 Winkelgeschwindigkeit Definition: Die Größe Ω·A heißt Wirbelstärke Helmholtzscher Wirbelsatz: In einer reibungsfreien Flüssigkeit ist die Wirbelstärke zeitlich konstant. Wirbel können weder entstehen noch vergehen. Anschaulich: Wegen Drehimpulserhaltung. Wirbel verhalten sich wie rotierende starre Körper. D) Wirbel in reibungsfreien inkompressiblen Medien

88 88 Wirbelbildung: Nur an Wände/Kanten mit großer Haftreibung v klein keine Reibung laminar v groß Oberflächenreibung turbulent S1S1 S2S2 Q S1S1 S2S2 W ΔpΔp S 1 :v 0p(S 1 ) = p 0 Q:v maxp(Q) = min p 0 S 2 :v 0p(S 2 ) = p 0 Reibung v(W) 0 Vakuum bei S 2 Wirbel v groß in Wirbeln p bei S 2 p bei S 1 Druckwiderstand Beispiel: Umströmter Kreiszylinder

89 89 Beispiel: Kantenwirbel Rohr Kantenwirbel runde, scharfkantige Öffnung Membran Wirbelring

90 90 E) Turbulente Strömung und Strömungswiderstand Luftströmung (Fahrtwind) ρ A Wirbelstraße Reibung Wirbel reißen ab Wirbelstraße Druckwiderstand Reibungswiderstand Bernoulli-Gleichung Parametrisierung F W Widerstandskraft c W Widerstandsbeiwert

91 91 F) Mathematischer Hintergrund (skizzenhaft): c Strömung entlang der Kurve c: Zirkulation entlang Schleife: Strömung ohne Zirkulation für alle Schleifen Potentialströmung

92 92 Fazit: Eine Strömung ist wirbelfrei falls gilt. A Anschaulich (ohne Beweis): Wirbelvektorfeld:

93 93 Analog zum Strömungsfeld: Stromlinie A Stromröhre: (bzw. Stromfaden, falls A 0) Wirbelröhre: (bzw. Wirbelfaden, falls A 0) Wirbellinie A

94 94 A1A1 A2A2 Stromfaden: Wirbelfaden: Äquivalent: Massenstrom I v A const. im Faden. A1A1 A2A2 Äquivalent: Wirbelstärke Z A const. im Faden.

95 95 Folgerung: Wirbelfäden können im Inneren der Flüssigkeit nicht enden. Sie sind entweder in sich geschlossen oder enden auf den Gefäßwänden. Autor: Keller R., Universität Ulm Wirbelring Foto: Frederking&Thaler Wirbelröhre mit Randpunkt

96 96 Der Wirbelsatz: Euler-Gleichung: denn bac-cab- Regel

97 97 substantielle Ableitung Ist der Wirbelvektor eines Massenelements bei t 0 gleich Null, so ist das für dieses Massenelement sogar für alle Zeiten so. Wirbel können weder entstehen noch vergehen! Bemerkung: Aussage bleibt in Flüssigkeit mit innerer Reibung gültig. Wirbel entstehen nur an Gefäßwänden, Hindernissen, Kanten, …

98 98 Wirbelröhre und Materietransport: Wirbelfaden (t) A B A, B seien auf Wirbelfaden benachbart Wirbelfaden (t dt) A'A' dt B'B' Wirbelfäden/röhren enthalten immer dieselben Flüssig- keitselemente. Benachbarte Elemente bleiben benachbart. Der Wirbelfaden dehnt sich. Nimmt zu (ab), wird der Faden länger und dünner (kürzer und breiter).

99 99 dV x x1x1 x 2 = x 1 +dx dA Innere Reibung im Strömungsfeld Reibungskräfte zwischen den Randschichten allgemein Viskosität (Zähigkeit) V.3.4. Viskosität

100 100 Anwendung: Kapillarviskosimeter R p1p1 p2p2 L Gleichgewicht: Reibungskraft = Druckkraft Parabel Durchfluss: Hagen-Poiseulle-Gesetz

101 101 ρ fl η Ruhende Flüssigkeitssäule 2r ρKρK v0v0 Gleichgewichts- Geschwindigkeit Anwendung: Kugelfallviskosimeter Schwerkraft: Auftrieb Reibungskraft (kleine Kugeln): Stokessches Gesetz: Kräfte-Gleichgewicht

102 102 Keine Angst! V.3.5. Die Dynamik der viskosen Flüssigkeit Navier-Stokes-Gleichung Änderung der Impulsdichte Druck- kraftdichte Schwerkraft- dichte Reibungs- kraftdichte Spezialfall 0 Euler-Gleichung DGL 1. Ordnung ( const.) Nichtlineare, partielle Differentialgleichung 2. Ordnung Kontinuitätsgleichung: Zusätzlich:

103 103 Ähnlichkeitsgesetze:Längenskala L, Zeitskala T dimensionslose Größen: Navier-Stokes-Gleichung: mit Reynoldssche Zahl Folge: Zwei Strömungen sind ähnlich, d. h. relativ skaliert in Raum und Zeit, wenn Re in beiden Fällen identisch ist und die Dimensions- verhältnisse (Gefäße, Objekte) ebenso relativ skaliert sind. Beispiel: Kritische R.Z. Re C : laminare turbulente Strömung Anwendung: Modelltests im Windkanal


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